197191OPTICAE LIBER VI.
QVòd aũt forma in his ſpeculis aliquando uideatur maior re uiſa:
ſcilicet cum cõprehenditur
à tali longitudine, à qua eius certa quantitas nõ poſsit diſcerni: declarabitur. Sit a centrum
ſpeculi: & ſuperficies ſumatur reflexionis: quæ ſecabit ſpeculum ſuper circulum: [per 1 th. 1
ſphær. ] ſit circulus ille e d b: e d diameter illius circuli: & producatur diameter e d uſq; ad z, ut multi
plicatio e z in z d ſit æqualis quadrato a d: quod planũ eſt, cum ſit poſsibile diametro e d talem addi
lineam, ut ductus totalis in partem additam, ſit æqualis quadrato a d: [id uerò quomodo expeditè
fiat, oſtenſum eſt 32 n 5] & diuidatur linea z d in partes æquales, in puncto h [per 10 p 1. ] Erit igi-
tur a h medietas e z. [Nam ſi a d, a e per 15 d 1 æquales, addantur æqualibus h d, h z: æquabitur a h
ipſis z h & a e. Tota igitur e z dupla eſt ipſius a h. ] Ductus ergo a h in h d erit æqualis quartæ parti
quadrati a d. [Quia enim oblongum comprehenſum ſub e z & z d æquatur quadrato a d per fabri-
cationem: ergo quod comprehend: tur ſub a h dimidiata baſi & z d altitudine eadem, æquatur di-
midiato quadrato a d per 1 p 6: rurſusq́; oblongũ comprehenſum ſub a h baſi eadem & h d altitudi-
ne dimidiata, æquatur dimidiato oblongo ſub a h & z d. Quare æquatur quadranti quadrati a d. ] Et
quoniam ductus a h in h d maior eſt quadrato h d: [quia per 3 p 2 æquatur quadrato h d, & oblongo
comprehenſo ſub a d, & d h] ſit ductus a h in h t, æqualis quadrato h d [fiet autem æqualis, ſi ipſis
a h & h d tertiam proportionalem per 11 p 6 inueneris: tum enim per 17 p 6 oblongum extremarum
æquabitur quadrato mediæ h d. Itaq; ſi de h d detraxeris æqualem inuentæ proportionali, manda-
tum executus fueris. ] Fiat circulus ſecundum quantitatem a h: & à puncto h producatur chorda,
æqualis medietati lineæ h d: [per 1 p 4] quæ ſit h q: & producantur lineæ q a, q t: & [per 23 p 1] ſuper
punctũ q fiat angulus, æqualis angulo q a h: qui ſit h q n. Cum ergo in his duobus triangulis hi duo
anguli ſint æquales, & unus cõmunis, ſcilicet q h a: erit [per 32 p 1] tertius tertio æqualis, ſcilicet a q h
angulo h n q: & erũt triangula ſimilia: [per 4 p. 1 d 6] & erit proportio a h ad h q, ſi cut h q ad h n. Igi-
tur [per 17 p 6] qđ fit ex ductu a h in h n, æquale eſt quadrato h q: ſed, [per conſectariũ 4 p 2] quadra
tum h q eſt quarta pars quadrati h d: cũ h q ſit medietas h d [per fabricationẽ. ] Igitur multiplicatio
a h in h n, ęqualis eſt quartæ parti multiplicationis a h in h t. Quare h n eſt quarta pars h t [per 1 p 6. ]
Igitur n cadit inter h & t: reſtat, ut ductus h t in t n ſint tres quartæ quadrati h t. [Quia enim h n eſt
quadrans ipſius h t: reliqua igitur n t eſt dodrans, ſeu tres quartæ h t. Et quoniam rectangula com-
prehenſa ſub tota h t & ſegmentis n t & n h æquantur quadrato h t per 2 p 2: rectangulum igitur
comprehenſum ſub tota h t & ſegmento t n (quod eſt dodrans totius h t) æquatur dodranti quadra
ti h t. ] Verùm angulus q h a acutus eſt: [ut oſtenſum eſt 60 n 5] & [per 5 p 1] æqualis angulo h q a:
quia reſpiciunt æqualia latera in triangulo maiori. Igitur angulus q h n æqualis angulo h n q: [æqua
lis enim concluſus eſt angulus a q h angulo h n q] & ita [per 6 p 1] h q æqualis q n, & angulus h n q
acutus: quare [per 13 p 1] angulus q n t obtuſus. Quadratum igitur t q ſuperat quadratum q n & qua-
dratum t n, ductu lineæ t n in h n. Quoniam, ut dicit Euclides [12 p 2] quadratum lateris oppoſiti ob-
ruſo ſuperat quadrata duorũ laterũ, quantũ eſt, quod fit ex ductu unius lateris bis in partẽ ei adiun-
ctam, procedentẽ uſq; ad locũ caſus perpendicularis à capite alterius lateris ductæ. Nam ſi à pũctò q
ducatur perpendicularis ſuper lineam h t: cadet in punctũ me-
157[Figure 157]o z l h m n q t d a b e dium lineæ h n: [non enim cadit extra puncta h & n: ſecus per
16 p 1 angulus acutus maior eſſet recto contra 12 d 1: caditigitur
in medium rectæ h n per 26 p 1] & [per 1 p 2] ductus t n in medie-
tatem h n bis, æquipollet ductui t n in h n. Igitur quadratum t q
ſuperat quadrata q n, t n, ductu tn in n h. Sed [per 3 p 2] ductus
t n in h n, cum quadrato tn, æqualis eſt ductui h t in tn. Igitur
[ſubducto quadrato tn] ductus h t in t n eſt exceſſus quadrati
t q ſupra quadratum h q. [nam quadratum q h æquatur quadra-
to q n: quia rectæ q h, q n æquales oſtenſæ ſunt. ] Amplius: ſit
proportio a i ad a h, ſicut q t ad q h: [per 12 p 6] erit [per 22 p 6]
quadratum [ai] ad quadratum [a h] ficut quadratum [qt] ad
quadratum [qh] & erit [per 17 p 5] proportio exceſſus quadra-
ti a i ſupra quadratum a h, ad quadratum a h, ſicut ductus h t in
t n, ad quadratum q h. [Nam a i maior eſt a h: quia q t maior eſt
q h: cum quadratum q t ſit maius quadrato q h: & oblongũ com
prehenſum ſub h t, t n eſt exuperantia quadrati q t ſupra quadra
tum q h. ] Et quoniã quadratum q h quater ſumptũ, efficit quadratum h d: [per conſectarium 4 p 2:
quia q h dimidia eſt ipſius h d per fabricationẽ] & ductus h t in t n quater ſumptus, efficit triplũ qua-
drati h t: [oſtenſum eſt enim rectangulũ cõprehenſum ſub h t & t n, eſſe dodrantẽ quadrati h t: itaq;
quater ſumptũ, erit triplũ quadrati h t] erit [per 15 p 5] ductus h t in t n ad quadratũ h q, ſicut triplum
quadrati h t ad quadratum h d. Sit autem h o tripla ad h t: erit ductus h o in h t triplus ad quadratum
h t [per 1 p 6. ] Sed quoniã proportio a h ad h d eſt, ſicut h d ad h t: [Nam per theſin rectangulum com
prehenſum ſub a h & h t ęquatur quadrato h d: ergo per 17 p 6, ut a h ad h d, ſic h d ad h t] erit [per cõ-
ſectaria 20 p 6. 4 p 5] h t ad a h, ſicut quadratũ h t ad quadratum h d. Verùm proportio o h ad a h, ſi-
cut ductus o h in h t ad ductum a h in h t [per 1 p 6] & [per 11 p 5] proportio o h ad h a, ſicut propor-
tio tripli quadrati h t ad quadratũ h d. Sed hæc erat ꝓportio exceſſus quadrati a i ſupra quadratũ a
h ad quadratũ a h. Igitur o h ad a h, ſicut exceſſus quadrati a i ſupra quadratũ a h ad quadratum a h.
à tali longitudine, à qua eius certa quantitas nõ poſsit diſcerni: declarabitur. Sit a centrum
ſpeculi: & ſuperficies ſumatur reflexionis: quæ ſecabit ſpeculum ſuper circulum: [per 1 th. 1
ſphær. ] ſit circulus ille e d b: e d diameter illius circuli: & producatur diameter e d uſq; ad z, ut multi
plicatio e z in z d ſit æqualis quadrato a d: quod planũ eſt, cum ſit poſsibile diametro e d talem addi
lineam, ut ductus totalis in partem additam, ſit æqualis quadrato a d: [id uerò quomodo expeditè
fiat, oſtenſum eſt 32 n 5] & diuidatur linea z d in partes æquales, in puncto h [per 10 p 1. ] Erit igi-
tur a h medietas e z. [Nam ſi a d, a e per 15 d 1 æquales, addantur æqualibus h d, h z: æquabitur a h
ipſis z h & a e. Tota igitur e z dupla eſt ipſius a h. ] Ductus ergo a h in h d erit æqualis quartæ parti
quadrati a d. [Quia enim oblongum comprehenſum ſub e z & z d æquatur quadrato a d per fabri-
cationem: ergo quod comprehend: tur ſub a h dimidiata baſi & z d altitudine eadem, æquatur di-
midiato quadrato a d per 1 p 6: rurſusq́; oblongũ comprehenſum ſub a h baſi eadem & h d altitudi-
ne dimidiata, æquatur dimidiato oblongo ſub a h & z d. Quare æquatur quadranti quadrati a d. ] Et
quoniam ductus a h in h d maior eſt quadrato h d: [quia per 3 p 2 æquatur quadrato h d, & oblongo
comprehenſo ſub a d, & d h] ſit ductus a h in h t, æqualis quadrato h d [fiet autem æqualis, ſi ipſis
a h & h d tertiam proportionalem per 11 p 6 inueneris: tum enim per 17 p 6 oblongum extremarum
æquabitur quadrato mediæ h d. Itaq; ſi de h d detraxeris æqualem inuentæ proportionali, manda-
tum executus fueris. ] Fiat circulus ſecundum quantitatem a h: & à puncto h producatur chorda,
æqualis medietati lineæ h d: [per 1 p 4] quæ ſit h q: & producantur lineæ q a, q t: & [per 23 p 1] ſuper
punctũ q fiat angulus, æqualis angulo q a h: qui ſit h q n. Cum ergo in his duobus triangulis hi duo
anguli ſint æquales, & unus cõmunis, ſcilicet q h a: erit [per 32 p 1] tertius tertio æqualis, ſcilicet a q h
angulo h n q: & erũt triangula ſimilia: [per 4 p. 1 d 6] & erit proportio a h ad h q, ſi cut h q ad h n. Igi-
tur [per 17 p 6] qđ fit ex ductu a h in h n, æquale eſt quadrato h q: ſed, [per conſectariũ 4 p 2] quadra
tum h q eſt quarta pars quadrati h d: cũ h q ſit medietas h d [per fabricationẽ. ] Igitur multiplicatio
a h in h n, ęqualis eſt quartæ parti multiplicationis a h in h t. Quare h n eſt quarta pars h t [per 1 p 6. ]
Igitur n cadit inter h & t: reſtat, ut ductus h t in t n ſint tres quartæ quadrati h t. [Quia enim h n eſt
quadrans ipſius h t: reliqua igitur n t eſt dodrans, ſeu tres quartæ h t. Et quoniam rectangula com-
prehenſa ſub tota h t & ſegmentis n t & n h æquantur quadrato h t per 2 p 2: rectangulum igitur
comprehenſum ſub tota h t & ſegmento t n (quod eſt dodrans totius h t) æquatur dodranti quadra
ti h t. ] Verùm angulus q h a acutus eſt: [ut oſtenſum eſt 60 n 5] & [per 5 p 1] æqualis angulo h q a:
quia reſpiciunt æqualia latera in triangulo maiori. Igitur angulus q h n æqualis angulo h n q: [æqua
lis enim concluſus eſt angulus a q h angulo h n q] & ita [per 6 p 1] h q æqualis q n, & angulus h n q
acutus: quare [per 13 p 1] angulus q n t obtuſus. Quadratum igitur t q ſuperat quadratum q n & qua-
dratum t n, ductu lineæ t n in h n. Quoniam, ut dicit Euclides [12 p 2] quadratum lateris oppoſiti ob-
ruſo ſuperat quadrata duorũ laterũ, quantũ eſt, quod fit ex ductu unius lateris bis in partẽ ei adiun-
ctam, procedentẽ uſq; ad locũ caſus perpendicularis à capite alterius lateris ductæ. Nam ſi à pũctò q
ducatur perpendicularis ſuper lineam h t: cadet in punctũ me-
157[Figure 157]o z l h m n q t d a b e dium lineæ h n: [non enim cadit extra puncta h & n: ſecus per
16 p 1 angulus acutus maior eſſet recto contra 12 d 1: caditigitur
in medium rectæ h n per 26 p 1] & [per 1 p 2] ductus t n in medie-
tatem h n bis, æquipollet ductui t n in h n. Igitur quadratum t q
ſuperat quadrata q n, t n, ductu tn in n h. Sed [per 3 p 2] ductus
t n in h n, cum quadrato tn, æqualis eſt ductui h t in tn. Igitur
[ſubducto quadrato tn] ductus h t in t n eſt exceſſus quadrati
t q ſupra quadratum h q. [nam quadratum q h æquatur quadra-
to q n: quia rectæ q h, q n æquales oſtenſæ ſunt. ] Amplius: ſit
proportio a i ad a h, ſicut q t ad q h: [per 12 p 6] erit [per 22 p 6]
quadratum [ai] ad quadratum [a h] ficut quadratum [qt] ad
quadratum [qh] & erit [per 17 p 5] proportio exceſſus quadra-
ti a i ſupra quadratum a h, ad quadratum a h, ſicut ductus h t in
t n, ad quadratum q h. [Nam a i maior eſt a h: quia q t maior eſt
q h: cum quadratum q t ſit maius quadrato q h: & oblongũ com
prehenſum ſub h t, t n eſt exuperantia quadrati q t ſupra quadra
tum q h. ] Et quoniã quadratum q h quater ſumptũ, efficit quadratum h d: [per conſectarium 4 p 2:
quia q h dimidia eſt ipſius h d per fabricationẽ] & ductus h t in t n quater ſumptus, efficit triplũ qua-
drati h t: [oſtenſum eſt enim rectangulũ cõprehenſum ſub h t & t n, eſſe dodrantẽ quadrati h t: itaq;
quater ſumptũ, erit triplũ quadrati h t] erit [per 15 p 5] ductus h t in t n ad quadratũ h q, ſicut triplum
quadrati h t ad quadratum h d. Sit autem h o tripla ad h t: erit ductus h o in h t triplus ad quadratum
h t [per 1 p 6. ] Sed quoniã proportio a h ad h d eſt, ſicut h d ad h t: [Nam per theſin rectangulum com
prehenſum ſub a h & h t ęquatur quadrato h d: ergo per 17 p 6, ut a h ad h d, ſic h d ad h t] erit [per cõ-
ſectaria 20 p 6. 4 p 5] h t ad a h, ſicut quadratũ h t ad quadratum h d. Verùm proportio o h ad a h, ſi-
cut ductus o h in h t ad ductum a h in h t [per 1 p 6] & [per 11 p 5] proportio o h ad h a, ſicut propor-
tio tripli quadrati h t ad quadratũ h d. Sed hæc erat ꝓportio exceſſus quadrati a i ſupra quadratũ a
h ad quadratũ a h. Igitur o h ad a h, ſicut exceſſus quadrati a i ſupra quadratũ a h ad quadratum a h.