198192ALHAZEN
Igitur coniumctim [per 18 p 5] proportio o a ad a h, ſicut quadrati a i ad quadratũ a h:
exceſſus enin
quadrati a i ſupra quadratũ a h, cum quadrato a h efficit quadratum a i: igitur [per conuerſionẽ cõſe-
ctarij ad 20 p 6] i a erit media in proportione inter o a & a h. Igitur proportio o a ad i a, ſicut i a ad h a:
& [per 19 p 5] eadem erit proportio reſidui ad reſiduum: id eſt o i ad i h. Amplius: ductus a d in h d
minor eſt quarta parte quadrati a d: [demonſtratum enim eſt rectangulum comprehenſum ſub a h
& h d, æquari quadranti quadrati a d: & a d minor eſt quàm a h per 9 ax: ] igitur h d eſt minor quarta
parte lineæ a d. [nam ſi æqualis eſſet: rectangulũ comprehenſum ſub a d & h d, æquaretur quadranti
quadrati a d per 1 p 6. ] Igitur h d eſt minor quinta parte a h. Cũ ergo a h ſit maior quàm quintupla ad
h d, & ductus eius in h t efficiat quadratũ h d: [per theſin] erit h t minor quinta parte h d: [nam per
theſin & 17 p 6 eſt, ut a h ad h d, ſic h d ad h t: ſed per proximã concluſionẽ a h maior eſt, quàm quintu
pla ipſius h d: ergo h d maior eſt quàm quintupla ipſius h t: ideq́; h t minor quinta parte ipſius h d]
& ita h t minor uiceſima quinta parte h a. [Quia enim ratio h a ad h d, & h d ad h t maior eſt ꝗ̃ quintu
pla, ut patuit: erit per 10 d 5 ratio a h ad h t maior, ꝗ̃ uicecupla quintupla: ideoq́; h t minor uiceſima
quinta parte ipſius a h. ] Sed proportio o i ad i h, ſicut i a ad a h, ut dictũ eſt. Igitur cõiunctim [per 18 p
5] o h ad i h, ſicut i a cũ a h ad a h. Igitur [per 15 p 5] tertia primę ad ſecũdã, ſicut tertia tertię ad quartã:
ſed h t eſt tertia pars lineæ o h [nam per theſin h o tripla eſt ipſius h t. ] Igitur t h ad i h eſt, ſicut tertia
pars lineę i a, cũ tertia parte a h, ad lineã a h. Igitur t h ad i a, ſicut duę tertię lineę a h, cum tertia lineę i
h, ad lineã a h. Sed quoniã linea o i eſt maior i h: [oſtenſum enim eſt, ut o a ad ia, ſic o i ad i h: at per 9
ax: o a maior eſt i a: ergo o i maior eſt i h] erit i h minor medietate o h: & erit tertia i h minor ſexta par
te o h: & ita tertia i h erit minor medietate t h. Igitur duæ tertiæ a h, cum minore parte, quàm ſit me-
dietas h t, ſe habebunt ad a h, ſicut t h ad i h. Igitur [per conſectariũ 4 p 5] i h ad h t, ſicut a h ad duas
ſui tertias cum minore, quàm ſit medietas h t: ſed h t minor uiceſima quinta a h: & eius medietas mi
nor quàm medietas uiceſimæ quintæ partis. Sed linea a h in uigintiquinq; partes diuiſa: duæ tertiæ
cum medietate uiceſimæ quintæ partis non efficiunt octodecim eius partes. [Nam ex arithmeticæ
regulis intelliges {2/3} de 25 eſſe 16 integra, & ſupereſſe {2/3}, quæ additæ cum eo, quod minus eſt {1/2} uel etiã
cum {1/2}, efficiunt 1{1/6}. Itaq; {2/3} cum {1/2} de 25, ſunt 17{1/6}. ] Igitur proportio i h ad h t maior eſt, quàm ſit pro-
portio 25 ad 18. Item cum h t ſit minor uiceſima quinta parte a h: erit at maior uigintiquatuor parti-
bus, quarum a h eſt uigintiquinq; . Sed linea i h minor eſt medietate o h: & ita minor medietate h t:
[quia h t & eius ſemiſsis efficiunt ſemiſſem ipſius o h: quo i h minor concluſa eſt] & ita minor una
& dimidia uigintiquinq; partium a h: & i a ita minor 26{1/2}, ſumptis partibus ſecundum diuiſionem a
h. Ergo proportio i a ad a t, ſicut minoris lineæ 26{1/2} ad maiorem 24. Igitur proportio i a ad a t mi-
nor eſt, quàm 26{1/2} ad 24. Sed proportio i h ad h t maior eſt, quàm 25 ad 18: igitur proportio i h ad h t
maior eſt, quàm i a ad a t [ratio enim 25 ad 18 maior eſt, ꝗ̃ 26{1/2} ad 24, ut patet ex arithmethica. ] Sit
proportio i m ad m t, ſicut i a ad a t: [id autem efficies: ſirectæ ex i a & a t compoſitæ ſegmenta ſu-
mas i a, a t: i t uerò inſectam ſimiliter ſeces per 10 p 6] cadet quidem m inter i & h. [Quia enim ra-
tio lineæ i h ad h t maior eſt, quàm i m ad m t: erit i m minor i h: itaq; punctum m cadit inter i & h: e-
ritq́; per 9 ax: m t maior m h. ] Item maior erit proportio i m ad m h, quàm i a ad a t: [Quia enim li-
nea m t maior eſt m h è proxima concluſione: erit per 8 p 5 ratio i m ad m h maior, quàm ad m t: at
ratio i m ad m t, eſt ratio i a ad a t per fabricationẽ. Qua-
158[Figure 158] z i l m h n t d z a k g y c f b z r s u p a e x re per 11 p 5 ratio i m ad m h maior eſt, quàm i a ad a t]
& ita maior, quàm i a ad a h. [Quoniam enim ratio i m
ad m h maior eſt, quàm i a ad a t è ſuperiore conclu-
ſione: ratio uerò i a ad a t maior eſt, quàm ad a h per
8 p 5: cum a t ſit maior ipſa a h per 9 ax. Ratio igitur i m
ad m h multò maior eſt, quàm ratio i a ad a h. ] Sit igi-
tur proportio il ad lh, ſicut i a ad a h: [per 10 p 6] ca-
det quidem linter m & i. Amplius à punctis l, m ducan-
tur contingentes l b, m g [per 17 p 3] & ducantur lineæ
i b, h b, i g, t g, a b, a g: quæ duæ ultimæ producantur uſ-
que ad exteriorem circulum: & habebitur ex quarto li-
bro, quòd angulus i b z ſit æqualis angulo h b a [conti-
nuata enim h b in x: æquabuntur anguli i b z & x b z
per 12 n 4: item x b z & h b a per 15 p 1: itaq; per 1 ax. an-
guli i b z, h b a æquantur. ] Cum igitur ſit proportio il
ad l h, ſicut i a ad a h [per ſuperiorem fabricatio-
nem] erit [per 18 n 5] h locus imaginis i, dum reflecti-
tur à puncto b. Et ſi dicatur cõtrarium, & ſumatur alius
locus imaginis i: probabis per impoſsibile, ſumpta im-
poſsibilitate à proportione, quam non eſt uerum eſſe i
a ad lineam à puncto imaginis ductam ad punctum a,
ſicut i l ad lineam à puncto l ad locum imaginis. Cum
igitur h ſit locus imaginis: & l b contingat circulum in
b: producta a b faciet angulum l b z æqualem ſuo collaterali [a b l: quia uterq; per 18 p 3 rectus eſt. ]
Et quoniã l b perpendicularis ſuper a b z [per 18 p 3] reſtabit angulus i b l æ qualis angulo l b h. [Nam
quadrati a i ſupra quadratũ a h, cum quadrato a h efficit quadratum a i: igitur [per conuerſionẽ cõſe-
ctarij ad 20 p 6] i a erit media in proportione inter o a & a h. Igitur proportio o a ad i a, ſicut i a ad h a:
& [per 19 p 5] eadem erit proportio reſidui ad reſiduum: id eſt o i ad i h. Amplius: ductus a d in h d
minor eſt quarta parte quadrati a d: [demonſtratum enim eſt rectangulum comprehenſum ſub a h
& h d, æquari quadranti quadrati a d: & a d minor eſt quàm a h per 9 ax: ] igitur h d eſt minor quarta
parte lineæ a d. [nam ſi æqualis eſſet: rectangulũ comprehenſum ſub a d & h d, æquaretur quadranti
quadrati a d per 1 p 6. ] Igitur h d eſt minor quinta parte a h. Cũ ergo a h ſit maior quàm quintupla ad
h d, & ductus eius in h t efficiat quadratũ h d: [per theſin] erit h t minor quinta parte h d: [nam per
theſin & 17 p 6 eſt, ut a h ad h d, ſic h d ad h t: ſed per proximã concluſionẽ a h maior eſt, quàm quintu
pla ipſius h d: ergo h d maior eſt quàm quintupla ipſius h t: ideq́; h t minor quinta parte ipſius h d]
& ita h t minor uiceſima quinta parte h a. [Quia enim ratio h a ad h d, & h d ad h t maior eſt ꝗ̃ quintu
pla, ut patuit: erit per 10 d 5 ratio a h ad h t maior, ꝗ̃ uicecupla quintupla: ideoq́; h t minor uiceſima
quinta parte ipſius a h. ] Sed proportio o i ad i h, ſicut i a ad a h, ut dictũ eſt. Igitur cõiunctim [per 18 p
5] o h ad i h, ſicut i a cũ a h ad a h. Igitur [per 15 p 5] tertia primę ad ſecũdã, ſicut tertia tertię ad quartã:
ſed h t eſt tertia pars lineæ o h [nam per theſin h o tripla eſt ipſius h t. ] Igitur t h ad i h eſt, ſicut tertia
pars lineę i a, cũ tertia parte a h, ad lineã a h. Igitur t h ad i a, ſicut duę tertię lineę a h, cum tertia lineę i
h, ad lineã a h. Sed quoniã linea o i eſt maior i h: [oſtenſum enim eſt, ut o a ad ia, ſic o i ad i h: at per 9
ax: o a maior eſt i a: ergo o i maior eſt i h] erit i h minor medietate o h: & erit tertia i h minor ſexta par
te o h: & ita tertia i h erit minor medietate t h. Igitur duæ tertiæ a h, cum minore parte, quàm ſit me-
dietas h t, ſe habebunt ad a h, ſicut t h ad i h. Igitur [per conſectariũ 4 p 5] i h ad h t, ſicut a h ad duas
ſui tertias cum minore, quàm ſit medietas h t: ſed h t minor uiceſima quinta a h: & eius medietas mi
nor quàm medietas uiceſimæ quintæ partis. Sed linea a h in uigintiquinq; partes diuiſa: duæ tertiæ
cum medietate uiceſimæ quintæ partis non efficiunt octodecim eius partes. [Nam ex arithmeticæ
regulis intelliges {2/3} de 25 eſſe 16 integra, & ſupereſſe {2/3}, quæ additæ cum eo, quod minus eſt {1/2} uel etiã
cum {1/2}, efficiunt 1{1/6}. Itaq; {2/3} cum {1/2} de 25, ſunt 17{1/6}. ] Igitur proportio i h ad h t maior eſt, quàm ſit pro-
portio 25 ad 18. Item cum h t ſit minor uiceſima quinta parte a h: erit at maior uigintiquatuor parti-
bus, quarum a h eſt uigintiquinq; . Sed linea i h minor eſt medietate o h: & ita minor medietate h t:
[quia h t & eius ſemiſsis efficiunt ſemiſſem ipſius o h: quo i h minor concluſa eſt] & ita minor una
& dimidia uigintiquinq; partium a h: & i a ita minor 26{1/2}, ſumptis partibus ſecundum diuiſionem a
h. Ergo proportio i a ad a t, ſicut minoris lineæ 26{1/2} ad maiorem 24. Igitur proportio i a ad a t mi-
nor eſt, quàm 26{1/2} ad 24. Sed proportio i h ad h t maior eſt, quàm 25 ad 18: igitur proportio i h ad h t
maior eſt, quàm i a ad a t [ratio enim 25 ad 18 maior eſt, ꝗ̃ 26{1/2} ad 24, ut patet ex arithmethica. ] Sit
proportio i m ad m t, ſicut i a ad a t: [id autem efficies: ſirectæ ex i a & a t compoſitæ ſegmenta ſu-
mas i a, a t: i t uerò inſectam ſimiliter ſeces per 10 p 6] cadet quidem m inter i & h. [Quia enim ra-
tio lineæ i h ad h t maior eſt, quàm i m ad m t: erit i m minor i h: itaq; punctum m cadit inter i & h: e-
ritq́; per 9 ax: m t maior m h. ] Item maior erit proportio i m ad m h, quàm i a ad a t: [Quia enim li-
nea m t maior eſt m h è proxima concluſione: erit per 8 p 5 ratio i m ad m h maior, quàm ad m t: at
ratio i m ad m t, eſt ratio i a ad a t per fabricationẽ. Qua-
158[Figure 158] z i l m h n t d z a k g y c f b z r s u p a e x re per 11 p 5 ratio i m ad m h maior eſt, quàm i a ad a t]
& ita maior, quàm i a ad a h. [Quoniam enim ratio i m
ad m h maior eſt, quàm i a ad a t è ſuperiore conclu-
ſione: ratio uerò i a ad a t maior eſt, quàm ad a h per
8 p 5: cum a t ſit maior ipſa a h per 9 ax. Ratio igitur i m
ad m h multò maior eſt, quàm ratio i a ad a h. ] Sit igi-
tur proportio il ad lh, ſicut i a ad a h: [per 10 p 6] ca-
det quidem linter m & i. Amplius à punctis l, m ducan-
tur contingentes l b, m g [per 17 p 3] & ducantur lineæ
i b, h b, i g, t g, a b, a g: quæ duæ ultimæ producantur uſ-
que ad exteriorem circulum: & habebitur ex quarto li-
bro, quòd angulus i b z ſit æqualis angulo h b a [conti-
nuata enim h b in x: æquabuntur anguli i b z & x b z
per 12 n 4: item x b z & h b a per 15 p 1: itaq; per 1 ax. an-
guli i b z, h b a æquantur. ] Cum igitur ſit proportio il
ad l h, ſicut i a ad a h [per ſuperiorem fabricatio-
nem] erit [per 18 n 5] h locus imaginis i, dum reflecti-
tur à puncto b. Et ſi dicatur cõtrarium, & ſumatur alius
locus imaginis i: probabis per impoſsibile, ſumpta im-
poſsibilitate à proportione, quam non eſt uerum eſſe i
a ad lineam à puncto imaginis ductam ad punctum a,
ſicut i l ad lineam à puncto l ad locum imaginis. Cum
igitur h ſit locus imaginis: & l b contingat circulum in
b: producta a b faciet angulum l b z æqualem ſuo collaterali [a b l: quia uterq; per 18 p 3 rectus eſt. ]
Et quoniã l b perpendicularis ſuper a b z [per 18 p 3] reſtabit angulus i b l æ qualis angulo l b h. [Nam