198184HYDRODYNAMICÆ
tera ab, bc, cd, de, &
ef, ſingulæ ſingulis æquales;
jungantur lineis rectis
puncta B, C, D, E & F cum punctis a, b, c, d, & e: his ita factis, ſi ſuperfi-
cies plana rurſus in cylindricam convolvatur, junctis lineis A F & a f, coinci-
dentibuſque punctis A & a; B & b & c. fiet ut lineæ a B, b C, c D & c. in ſuper-
ficie cylindrica lineam continuam forment, quæ ipſa erit ſpiralis deſiderata. Ad
faciliorem intellectum in utraque figura puncta homologa communibus litteris
diſtinxi.
puncta B, C, D, E & F cum punctis a, b, c, d, & e: his ita factis, ſi ſuperfi-
cies plana rurſus in cylindricam convolvatur, junctis lineis A F & a f, coinci-
dentibuſque punctis A & a; B & b & c. fiet ut lineæ a B, b C, c D & c. in ſuper-
ficie cylindrica lineam continuam forment, quæ ipſa erit ſpiralis deſiderata. Ad
faciliorem intellectum in utraque figura puncta homologa communibus litteris
diſtinxi.
(II.)
Propoſitus jam fuerit cylindrus M a f N (Fig.
52.
(1)), habens ad
ductum ſpiralis modo deſcriptæ circumflexum canalem, cujus diametrum ve-
luti infinite parvum cenſebimus ratione diametri ad cylindrum pertinentis: at-
que ſic habebitur cochlea Archimedis, quâ ſi uti velimus ad elevandas aquas ex
M in N, cylindrus erit horizontem verſus inclinandus, & ita quidem ut an-
gulus a M H (interceptus inter diametrum baſeos M a, quæ eſt in plano verti-
cali, & horizontalem M H) ſit major quam angulus s a o, quem faciunt tan-
gentes circuli & ſpiralis in communi puncto a. Deinde converſo cylindro cir-
ca axem ſuum in directione a g h M s aquæ influent per inferius canalis circum-
ducti orificium effluentque per ſuperius.
ductum ſpiralis modo deſcriptæ circumflexum canalem, cujus diametrum ve-
luti infinite parvum cenſebimus ratione diametri ad cylindrum pertinentis: at-
que ſic habebitur cochlea Archimedis, quâ ſi uti velimus ad elevandas aquas ex
M in N, cylindrus erit horizontem verſus inclinandus, & ita quidem ut an-
gulus a M H (interceptus inter diametrum baſeos M a, quæ eſt in plano verti-
cali, & horizontalem M H) ſit major quam angulus s a o, quem faciunt tan-
gentes circuli & ſpiralis in communi puncto a. Deinde converſo cylindro cir-
ca axem ſuum in directione a g h M s aquæ influent per inferius canalis circum-
ducti orificium effluentque per ſuperius.
(III) Ut naturam hujus elevationis recte intelligamus, tria ſe nobis of-
ferunt puncta in qualibet ſpiralis helice examinanda, nempe puncta o, p & q,
quorum primum o maxime diſtat ab horizonte, alterum p eidem proximum eſt,
& q in eadem altitudine poſitum eſt cum puncto o in helice proxime inferio-
ri ſumto: per ſingula puncta o ducta eſt recta g n; per puncta p recta h m & per
puncta q recta s t. Situs vero harum linearum determinabuntur in ſequentibus.
ferunt puncta in qualibet ſpiralis helice examinanda, nempe puncta o, p & q,
quorum primum o maxime diſtat ab horizonte, alterum p eidem proximum eſt,
& q in eadem altitudine poſitum eſt cum puncto o in helice proxime inferio-
ri ſumto: per ſingula puncta o ducta eſt recta g n; per puncta p recta h m & per
puncta q recta s t. Situs vero harum linearum determinabuntur in ſequentibus.
(IV) Sit radius, qui pertinet ad baſin cylindri, = 1 ſumatur-
que pro ſinu toto; ſinus anguli sao = m, ejuſdemque coſinus = M, ſinus an-
guli a M H = n, ejuſdemque coſinus = N; arcus a g = X; coſinus illius arcus
= x, erit perpendiculum ex o in horizontem demiſſum, nempe o r = {mNX/M}
+ n (1 + x). Quia vero or maxima eſt, fit {mNdX/M} + ndx = o, & cum ex
natura circuli ſit dX = {-dx/√1 - xx}, erit {- mNdx/M√(1 - xx)} + ndx = o, ergo
√1 - xx = {mN/Mn}. Eſt igitur ſinus arcus quæſiti a g = {mN/Mn} aut
que pro ſinu toto; ſinus anguli sao = m, ejuſdemque coſinus = M, ſinus an-
guli a M H = n, ejuſdemque coſinus = N; arcus a g = X; coſinus illius arcus
= x, erit perpendiculum ex o in horizontem demiſſum, nempe o r = {mNX/M}
+ n (1 + x). Quia vero or maxima eſt, fit {mNdX/M} + ndx = o, & cum ex
natura circuli ſit dX = {-dx/√1 - xx}, erit {- mNdx/M√(1 - xx)} + ndx = o, ergo
√1 - xx = {mN/Mn}. Eſt igitur ſinus arcus quæſiti a g = {mN/Mn} aut