199193OPTICAE LIBER VI. recti l b z, a b l æquantur per 10 ax: & i b z æqualis cõcluſus eſt ipſi h b a: reliquus igitur i b l æquatur
reliquo l b h. ] Eodẽ modo erit angulus i g z æqualis angulo t g a. [Quia enim m g tangit, & per fabri-
cationẽ eſt, ut i m ad m t, ſic i a ad a t: erit per 18 n 5 t locus imaginis pũcti i, reflexi à puncto ſpeculi g.
Quare cõtinuata t g in x: æquabũtur per 12 n 4 anguli i g z, x g z: & per 15 p 1 x g z, t g a: quare i g z, t g a
æquãtur. ] Et cũ m g ſit perpendicularis ſuper a g z: [per 18 p 3] erit angulus i g m æqualis angulo m g
t [quia enim anguli m g z, m g a per 18 p 3 recti ęquãtur per 10 ax: & i g z t g a æquales cõcluſi ſunt: reli
qui igitur i g m, t g m ęquabũtur. ] Amplius: ducatur à pũcto h ad lineã a b linea ęquidiſtãs i b [ք 31 p 1]
quę ſit h p: & à pũcto t æquidiſtãs i g ad lineã a g: quę ſit t r: erit [ք 29 p 1] angulus i b z æqualis angulo
h p b: Sed angulus i b z ęqualis angulo h b a, ut dictũ eſt: & ita duo anguli h b a, h p b ſũt ęquales. Qua
re [ք 6 p 1] duo latera h b, h p ſunt ęqualia: ſimiliter t r ęqualis t g. Verũ angulus h p b eſt acutus: cũ ſit
æqualis angulo i b z: [qui minor eſt recto l b z] erit igitur angulus h p a obtuſus: [ք 13 p 1] & erit [ք 19
p 1] a h maior h p. Similiter erit t a maior t g. Amplius: quoniã h p æquidiſtat i b: erit [per 29 p 1. 4 p 6]
i a ad a h, ſicut a b ad a p: erit ſimiliter proportio i a ad a t, ſicut a g ad a r: & erit [per conſectariũ 4 p 5]
proportio a h ad i a, ſicut a p ad a b: ſed i a ad a t, ſicut a b ad a r (cum a b ſit æqualis a g) [per 15 d 1. ]
Igitur [per 22 p 5] erit proportio a h ad a t, ſicut a p ad a r. Verùm cum angulus h p a ſit obtuſus [ut
patuit] quadratum h a excedet quadratum h p & quadratum a p, multiplicatione a p in lineam du-
ctam à puncto p uſq; ad locum perpendicularis, ductæ à puncto h, bis [per 12 p 2. ] Sed perpendicu-
laris ducta à puncto h, cadet in medium lineæ p b: [non enim cadit extra puncta p, b: ſecus angulus
acutus eſſet maior recto per 16 p 1: cadit igitur inter puncta p, b, & in medium lineæ p b per 26 p 1]
cum h b, h p ſint æquales: & ita [per 1 p 2] quadratum h a excedet quadratum h p, & quadratum a p,
in multiplicatione a p in p b: & ita quadratum a h excedit quadratum h p in multiplicatione a b in
a p: quoniam [per 3 p 2] ductus a p in p b cum quadrato a p, ualet ductum a b in a p. Similiter qua-
dratum a t excedit quadratum tr, in ductu a g in a r, ſiue a b in a r: quod idem eſt. [æquales enim
ſunt a g, a b per 15 d 1. ] Ducatur igitur linea a b in duas lineas a p & a r, & prouenient duo exceſſus.
Igitur proportio exceſſus ad exceſſum, ſicut a p ad a r. [nam eadem altitudo a b multiplicans baſes
a p & a r, facit duo rectangula æquantia duos exceſſus, proportionalia baſibus per 1 p 6. ] Erit ergo
proportio exceſſus quadrati a h ſupra quadratum h p; ad exceſſum quadrati a t ſupra quadratum t r,
ſicut a h ad a t [patuit enim a p & a r proportionales eſſe ipſis a h & a t. ] Et cum h p ſit æqualis h b,
& t r, t g: erit [per 7 p 5] proportio exceſſus quadrati a h ſupra quadratum h b, ad exceſſum quadra-
ti a t ſupra quadratum t g, ſicut a h ad a t. Sed multiplicatio e h in h d eſt æqualis quadrato lineæ, à
puncto h ad circulum d b e contingenter ductæ: [per 36 p 3] & erit [tangens] minor h b. [Quia enim
h b continuata ſecat peripheriam d b e: æquabitur oblongum comprehenſum ſub tota ſecante &
exteriore ſegmento, quadrato rectæ ab eodem puncto h peripheriam tangentis per 36 p 3. Itaque
per 17 p 6 ut exterius ſegmentum ad tangentem, ſic tangens ad totam ſecantem: at per 8 p 3 exte-
rius ſegmentum minus eſt tangente: quare tangens minor eſt ſecante] & ita multiplicatio e h in h d
minor eſt quadrato h b. Et fiat ductus a h in h u æqualis quadrato h b [ut oſtenſum eſt 32 n 5. ] Er-
go h u minor eſt h a. [Quia enim oblongum comprehenſum ſub h a & & h u æquatum eſt quadrato
h b: erit per 17 p 6, ut h a ad h b, ſic h b ad h u: at h a maior eſt h b, ut patuit: ergo h b maior eſt h u: qua-
re h a multò maior eſt h u] & quadratum a h eſt ęquale multiplicationi a h in a u & h u: [per 2 p 2. ] Igi
tur multiplicatio a h in a u erit exceſſus quadrati h a, ſupra quadratum h b. Igitur proportio a h ad a
t, ſicut proportio multiplicationis a h in a u, ad exceſſum quadrati a t, ſupra quadratum t g. Et ſi duæ
lineæ a h, a t ducantur in a u: erit proportio a h ad a t, ſicut proportio multiplicationis a h in a u, ad
multiplicationem a t in a u [per 1 p 6: quia eadem altitudo a u multiplicat baſes a h & h t. ] Igitur mul
tiplicatio a t in a u, eſt exceſſus quadrati a t ſupra quadratum t g: erit ergo multiplicatio h a in h u, æ-
qualis quadrato h b: & multiplicatio a t in t u æqualis quadrato t g. [Quia enim per 2 p 2 quadra-
tum a t æquatur oblongis comprehenſis ſub a t & t u, item ſub a t & a u: & oblongũ comprehenſum
ſub a t & a u, æquatur exuperantiæ quadrati a t ſupra quadratum t g per proximam concluſionẽ: re-
liquum igitur oblongum comprehenſum ſub a t & t u æquatur quadrato t g. ] Amplius: arcus b g di
uidatur per æqualia in puncto o [per 30 p 3] & ducatur a o: & [per 12 p 1] ducantur tres perpendicula
res ſuper lineam h a: ſcilicet b f, o y, g k: & [per 31 p 1] à puncto g ducatur æquidiſtans h a: quę ſit g s: &
[per 11 p 1] à puncto b ducatur perpendicularis ſuper a g: quæ ſit b c: hæc quidem b c, ſi produceretur
uſq; ad circulum [id eſt peripheriam circuli d b e] diuideret linea a g ipſam per æqualia [per 3 p 3] &
arcum, cuius eſſet chorda: & ita ſecaretur alius arcus, ęqualis arcui b g: quoniam illum arcum reſpi-
ceret angulus c b g: & ita angulus c b g eſt medietas anguli ſuper centrũ reſpicientis eundẽ arcũ, fe-
cundũ Euclidẽ [20 p 3. ] Igitur angulus c b g eſt medietas anguli g a b, [æquatur enim angulo ſubten
denti peripheriã æqualem ipſi b g per 27 p 3] quẽ diuidit linea a o per ęqualia. Igitur angulus c b g eſt
æqualis angulo o a g: Duo autem anguli b s g, b c g recti ſunt. Si igitur intelligatur circulus ſuper b g
tranſiens per s, tranſibit per c[per conuerſionẽ 31 p 3 demonſtratam à Theone in cõmentarijs in 3 li-
brum magnę cõſtructionis Ptolemei] & fiet arcus s c, ſuper quẽ cadent duo anguli c b s, c g s: igitur
[per 27 p 3] hi duo anguli ſunt æquales. Sed angulus g a y æqualis eſt angulo c g s [per 29 p 1] propter
æquidiſtantiá linearũ: [g s & y a] & ita angulus g a y æqualis angulo c b s. Et, ut dictũ eſt, angulus g b
c ęqualis angulo o a g: erit angulus o a y æqualis angulo g b s: & erit triangulũ o a y ſimile triangulo
g b s. Igitur proportio g b ad b s, ſicut o a ad a y, & proportio g b ad g s, ſicut o a ad o y. Amplius: cum
angulus a h b ſit acutus [ut oſtenſum eſt 60 n 5] quadratũ a b minus eſt quadratis a h, h b, quantũ eſt