201195OPTICAE LIBER VI.
peripheriæ b m & d f æquabũtur] & ducatur linea a m u:
& lineę i b, i g, i m, n m:
& linea q m:
quę pro-
ducatur uſq; ad exteriorẽ circulũ: & cadat in punctũ z: & ducantur lineę z a, z g. Cum aũt arcus b m
ſit æqualis arcui d f: addito cõmuni: [m d] erit arcus m f æqualis arcui d b: eritq́; [per 27 p 3] angulus
n a m æqualis angulo i a b, & latera lateribus æqualia [per 15 d 1] erit [per 4 p 1] m n æqualis i b: & an-
gulus n m a æqualis angulo i b a: & [per 13
159[Figure 159]i u r c z h t m g b n q f a p 1] angulus n m u angulo i b c. Et cũ poſi
ta ſit ſuprà [in ſecunda figura] a q æqualis
a h: erunt a q, a m latera æqualia a h, a b: &
angulus [q a m] angulo [h a b per proxi-
mam cõcluſionẽ] erit [per 4 p 1] q m ęqua
lis h b: & erit angulus q m a æqualis h b a,
& q m n æqualis angulo h b i: [per 8 p 1]
quoniã duo eius latera duobus illius æ-
qualia: [nam m n æqualis cõcluſa eſt ipſi
i b, & q m ipſi h b] & baſis, quæ eſt q n, eſt
æqualis baſi h i: [nam a n, a i æquãtur per
15 d 1: itẽ a q, a h per theſin: reliqua igitur
q n æquatur reliquæ h i] & angulus n m u
æqualis angulo i b c, & i b c æqualis angu
lo h b a: [ut oſtenſum eſt in ſecũda figura:
ubi angulus i b z eſt hic i b c] & angulus h
b a ęqualis angulo q m a: ergo n m u ęqua
lis q m a. Et quoniam, ut poſuimus, q m z
eſt linea recta: erit angulus q m a æqualis angulo u m z [ք 15 p 1: ideoq́; anguli n m u, z m u æquãtur.
Quare punctũn reflectitur ad z à puncto m: [per 12 n 4] & locus imaginis ipſius q [per 3 n 5. ] Hocta-
men deeſt probationi, ut pateat m z totã eſſe extra circulũ: quod ſic patebit. Palàm, quod contingẽs
ducta à pũcto b cadat inter i & h: [demõſtratũ enim eſt in prima figura punctũ l alterũ terminũ rectę
tangentis peripheriã d b e in puncto b, cadere inter puncta i & h] & tanta eſt remotio puncti b à pun
cto h, quãta eſt puncti m à pũcto q[æquales enim cõcluſę ſunt h b, q m] & i h æqualis n q. igitur con-
tingẽs, ducta à puncto m cadet inter n & q. Igitur q m ſecat circulũ [quia tangẽte inferior eſt. ] Qua-
re tota m z eſt extra circulũ. Amplius: quoniã angulus n m u æ qualis eſt angulo u m z: erit arcus n u
æqualis arcui u z. [Quia enim m n ęquatur ipſi m z: cõnexę igitur n u & u z æquãtur per 4 p 1. Quare
per 28 p 3 peripherię n u, u z æquãtur] & erit angulus n a u æqualis angulo u a z [per 27 p 3. ] Sed iam
patuit, quòd angulus n a u æqualis eſt angulo i a c: igitur angulus i a c erit æqualis angulo u a z. An-
gulus uerò b a g aut erit æqualis angulo g a m: aut minor: aut maior. Sit æqualis. Si igitur ab angulo
i a c ſubtrahatur angulus b a g, & ab angulo z a u angulus m a g: remanebit angulus i a g æqualis an-
gulo z a g: & erit per 4 p 1 i g æqualis z g, & triangulũ triangulo: & erit angulus i g a æqualis angulo
z a g: reſtabit igitur [per 13 p 1] angulus i g r æqualis angulo z g r. Fiat igitur angulo i g r æqualis angu
lus t g a: per 23 p 1] erit angulus t g a æqualis angulo z g r. Si igitur t g producatur: ueniet ad z [ք con
uerſionẽ 15 p 1 à Proclo ibidẽ demonſtratã. ] Quare t g z linea recta [per 14 p 1. ] Igitur i à puncto g re
flectitur ad z: & locus imaginis eius eſt punctũ t. Si ergo z ſit uiſus: reflectẽtur ad ipſum duo pũctai,
n à duobus punctis m, g: & loca imaginũ puncta t, q. Igitur linea t q erit imago lineæ i n. Probatũ aũt
eſt ſuprà, quòd t q æqualis eſt i n. Et ita poteſt accidere in his ſpeculis imaginẽ eſſe æqualẽ rei uiſę. Si
uerò angulus b a g fuerit maior angulo
160[Figure 160]i u r k c z l b d t m g n q f a g a m: erit angulus z a g maior àngulo i
a g [mutua angulorum ſubductione, ut
prius facta. ] Sit angulus k a g æqualis
angulo i a g. Quonia pũctũ k demiſsius
puncto z, & punctũ m demiſsius pũcto
g: linea k g ſecabit lineã z m: ſecet in pũ-
ctol. Igitur exiſtẽte uiſu in puncto l, re-
flectetur n ad ipſum à pũcto m: & locus
imaginis q. Similiter i reflectetur ad i-
pſum: & locus imaginis eſt t ſecundum
priorẽ probationẽ. Et ita t q imago eſt i
n. Quod eſt propoſitũ. Si uerò angulus
b a g f uerit minor angulo g a m: erit an
gulus z a g minor angulo i a g. Sit angu
lus o a g æqualis angulo i a g: & duca-
tur linea o g. Palàm, quòd i reflectitur
ad o à puncto g. Linea o g aut ſecabit li
neam z m q extra circulũ ſpeculi: aut nõ. Si ſecet extra, & uiſus fuerit inpuncto ſectionis: reflectẽtur
ad ipſum duo puncta n, i: & loca imaginũ erunt t q. Et ita redit propoſitũ [quod erat imaginẽ æquari
uiſibili. ] Si forſan linea o g ſecet lineã z m q intra circulũ: nõ poterit applicari prędicta probatio. Sed
ducatur uſq; ad exteriorẽ circulũ: & cadat in punctũ z: & ducantur lineę z a, z g. Cum aũt arcus b m
ſit æqualis arcui d f: addito cõmuni: [m d] erit arcus m f æqualis arcui d b: eritq́; [per 27 p 3] angulus
n a m æqualis angulo i a b, & latera lateribus æqualia [per 15 d 1] erit [per 4 p 1] m n æqualis i b: & an-
gulus n m a æqualis angulo i b a: & [per 13
159[Figure 159]i u r c z h t m g b n q f a p 1] angulus n m u angulo i b c. Et cũ poſi
ta ſit ſuprà [in ſecunda figura] a q æqualis
a h: erunt a q, a m latera æqualia a h, a b: &
angulus [q a m] angulo [h a b per proxi-
mam cõcluſionẽ] erit [per 4 p 1] q m ęqua
lis h b: & erit angulus q m a æqualis h b a,
& q m n æqualis angulo h b i: [per 8 p 1]
quoniã duo eius latera duobus illius æ-
qualia: [nam m n æqualis cõcluſa eſt ipſi
i b, & q m ipſi h b] & baſis, quæ eſt q n, eſt
æqualis baſi h i: [nam a n, a i æquãtur per
15 d 1: itẽ a q, a h per theſin: reliqua igitur
q n æquatur reliquæ h i] & angulus n m u
æqualis angulo i b c, & i b c æqualis angu
lo h b a: [ut oſtenſum eſt in ſecũda figura:
ubi angulus i b z eſt hic i b c] & angulus h
b a ęqualis angulo q m a: ergo n m u ęqua
lis q m a. Et quoniam, ut poſuimus, q m z
eſt linea recta: erit angulus q m a æqualis angulo u m z [ք 15 p 1: ideoq́; anguli n m u, z m u æquãtur.
Quare punctũn reflectitur ad z à puncto m: [per 12 n 4] & locus imaginis ipſius q [per 3 n 5. ] Hocta-
men deeſt probationi, ut pateat m z totã eſſe extra circulũ: quod ſic patebit. Palàm, quod contingẽs
ducta à pũcto b cadat inter i & h: [demõſtratũ enim eſt in prima figura punctũ l alterũ terminũ rectę
tangentis peripheriã d b e in puncto b, cadere inter puncta i & h] & tanta eſt remotio puncti b à pun
cto h, quãta eſt puncti m à pũcto q[æquales enim cõcluſę ſunt h b, q m] & i h æqualis n q. igitur con-
tingẽs, ducta à puncto m cadet inter n & q. Igitur q m ſecat circulũ [quia tangẽte inferior eſt. ] Qua-
re tota m z eſt extra circulũ. Amplius: quoniã angulus n m u æ qualis eſt angulo u m z: erit arcus n u
æqualis arcui u z. [Quia enim m n ęquatur ipſi m z: cõnexę igitur n u & u z æquãtur per 4 p 1. Quare
per 28 p 3 peripherię n u, u z æquãtur] & erit angulus n a u æqualis angulo u a z [per 27 p 3. ] Sed iam
patuit, quòd angulus n a u æqualis eſt angulo i a c: igitur angulus i a c erit æqualis angulo u a z. An-
gulus uerò b a g aut erit æqualis angulo g a m: aut minor: aut maior. Sit æqualis. Si igitur ab angulo
i a c ſubtrahatur angulus b a g, & ab angulo z a u angulus m a g: remanebit angulus i a g æqualis an-
gulo z a g: & erit per 4 p 1 i g æqualis z g, & triangulũ triangulo: & erit angulus i g a æqualis angulo
z a g: reſtabit igitur [per 13 p 1] angulus i g r æqualis angulo z g r. Fiat igitur angulo i g r æqualis angu
lus t g a: per 23 p 1] erit angulus t g a æqualis angulo z g r. Si igitur t g producatur: ueniet ad z [ք con
uerſionẽ 15 p 1 à Proclo ibidẽ demonſtratã. ] Quare t g z linea recta [per 14 p 1. ] Igitur i à puncto g re
flectitur ad z: & locus imaginis eius eſt punctũ t. Si ergo z ſit uiſus: reflectẽtur ad ipſum duo pũctai,
n à duobus punctis m, g: & loca imaginũ puncta t, q. Igitur linea t q erit imago lineæ i n. Probatũ aũt
eſt ſuprà, quòd t q æqualis eſt i n. Et ita poteſt accidere in his ſpeculis imaginẽ eſſe æqualẽ rei uiſę. Si
uerò angulus b a g fuerit maior angulo
160[Figure 160]i u r k c z l b d t m g n q f a g a m: erit angulus z a g maior àngulo i
a g [mutua angulorum ſubductione, ut
prius facta. ] Sit angulus k a g æqualis
angulo i a g. Quonia pũctũ k demiſsius
puncto z, & punctũ m demiſsius pũcto
g: linea k g ſecabit lineã z m: ſecet in pũ-
ctol. Igitur exiſtẽte uiſu in puncto l, re-
flectetur n ad ipſum à pũcto m: & locus
imaginis q. Similiter i reflectetur ad i-
pſum: & locus imaginis eſt t ſecundum
priorẽ probationẽ. Et ita t q imago eſt i
n. Quod eſt propoſitũ. Si uerò angulus
b a g f uerit minor angulo g a m: erit an
gulus z a g minor angulo i a g. Sit angu
lus o a g æqualis angulo i a g: & duca-
tur linea o g. Palàm, quòd i reflectitur
ad o à puncto g. Linea o g aut ſecabit li
neam z m q extra circulũ ſpeculi: aut nõ. Si ſecet extra, & uiſus fuerit inpuncto ſectionis: reflectẽtur
ad ipſum duo puncta n, i: & loca imaginũ erunt t q. Et ita redit propoſitũ [quod erat imaginẽ æquari
uiſibili. ] Si forſan linea o g ſecet lineã z m q intra circulũ: nõ poterit applicari prędicta probatio. Sed