203197OPTICAE LIBER VI.
40 n 5 nulla fieret à pũcto m reflexio:
multò igitur minus tangẽs à pũcto z, tanget citra punctũ m] ſi
uerò caderet in punctũ 3, ſecaret peripheriã, nõ tangeret: cadit igitur in peripheriá m 3. & contingẽs
illa cadet ſupra q: quoniá punctũ, in quod cadit, erit finis contingentiæ, & finis imaginũ: [per 17 n 5]
& puncta ſub puncto illo, quod eſt finis cõtingentię, nõ poterũt reflecti: ſuperiora uerò poterũt. Igi-
tur perpendicularis ducta à puncto i ſuper n q, ſi ceciderit ſupra punctũ, quod eſt finis cõtingentiæ:
reflectetur punctũ, in quod cadit: & erit imago perpendicularis maior perpendiculari. Siuerò per-
pendicularis cadat in punctũ contingentiæ, aut infra: non reflectetur punctũ, in quod cadit. Quare
nulla erit imago perpendicularis. Veruntamen quoniá finis cõtingentiæ eſt infra n: erunt inter finẽ
cõtingentiæ & n infinita pũcta: quorũ quodlibet reflectetur: & erit imago cuiuslibet ſuper n q: & cu
iuslibet lineę ductę à puncto i ad quodlibet illorũ punctorũ, erit imago maior linea, cuius fuerit ima
go. Igitur accidit in his ſpeculis imaginem aliquando æqualem rei uiſæ: aliquando maiorem eſſe.
Quod erat explanandum. Huius autem rei explanationem nec ſcriptam legimus, nec aliquem, qui
dixiſſet, aut intellexiſſet, audiuimus.
uerò caderet in punctũ 3, ſecaret peripheriã, nõ tangeret: cadit igitur in peripheriá m 3. & contingẽs
illa cadet ſupra q: quoniá punctũ, in quod cadit, erit finis contingentiæ, & finis imaginũ: [per 17 n 5]
& puncta ſub puncto illo, quod eſt finis cõtingentię, nõ poterũt reflecti: ſuperiora uerò poterũt. Igi-
tur perpendicularis ducta à puncto i ſuper n q, ſi ceciderit ſupra punctũ, quod eſt finis cõtingentiæ:
reflectetur punctũ, in quod cadit: & erit imago perpendicularis maior perpendiculari. Siuerò per-
pendicularis cadat in punctũ contingentiæ, aut infra: non reflectetur punctũ, in quod cadit. Quare
nulla erit imago perpendicularis. Veruntamen quoniá finis cõtingentiæ eſt infra n: erunt inter finẽ
cõtingentiæ & n infinita pũcta: quorũ quodlibet reflectetur: & erit imago cuiuslibet ſuper n q: & cu
iuslibet lineę ductę à puncto i ad quodlibet illorũ punctorũ, erit imago maior linea, cuius fuerit ima
go. Igitur accidit in his ſpeculis imaginem aliquando æqualem rei uiſæ: aliquando maiorem eſſe.
Quod erat explanandum. Huius autem rei explanationem nec ſcriptam legimus, nec aliquem, qui
dixiſſet, aut intellexiſſet, audiuimus.
7. Si duo uiſibilis pũcta à centro ſpeculi ſphærici cõuexi æquabiliter, à uiſu uerò inæquabiliter
diſtẽt: imago & finis cõtingẽtiæ pũcti lõginquioris à uiſu, erũt lõginquiores à cẽtro ſpeculi. 4 p 6.
diſtẽt: imago & finis cõtingẽtiæ pũcti lõginquioris à uiſu, erũt lõginquiores à cẽtro ſpeculi. 4 p 6.
AMplius:
in his ſpeculis lineæ rectæ uidentur curuæ, & in pluribus curuitate quidẽ ſpeculũ nõ
reſpiciente, ſed ei aduerſa. Similiter curuæ apparebũt in his ſpeculis curuæ: & ſi curuitas ſpe-
culum reſpexerit, cõtrario ſitu apparebit. Et hoc quidẽ intelligendũ nõ in omnibus, ſed in pluribus.
Ad cuius rei explanationẽ neceſſe eſt quędam antecedentia præmittere: quorũ unum eſt. Si fuerint
duo puncta eiuſdẽ longitudinis à centro ſpeculi, & inæqualis lõgitudinis à centro uiſus: imago pun
cti remotioris à centro uiſus erit remotior à centro ſpeculi, ꝗ̃ propinquioris: & finis cõtingentię re-
motioris erit remotior à centro ſpeculi, ꝗ̃ finis cõtingentię propinquioris: ſiue puncta illa ſint in ea-
dem ſuperficie cum centro uiſus, ſiue in diuerſis. Sintt, d duo puncta æqualiter à g cẽtro ſpeculi re-
mota: e centrũ uiſus: & d propinquius uiſui ꝗ̃ t. Superficies cõmunis ſectionis d t g ſecabit ſpeculũ
ſuper circulũ [per 1 th. 1 ſphæ. ] qui ſit a b: & ſit angulus e g d æqualis angulo t g z: angulus e g t æqua-
lis angulo t g h: & ſumatur in circulo punctũ, à quo t reflectatur ad z: [per 31. uel 39 n 5] quod ſit q. Di
co, quòd t non reflectitur ad h ab aliquo puncto b q. Palàm, quòd non à puncto b [quia cũ ea ſit per-
pendicularis ſpeculo, reflectetur in ſeipſam, nõ ad h per 11 n 4. ] Si aũt ſumatur punctũ quodcunq; in
b q: linea ducta à puncto h ad illud punctũ, ſecabit lineá q z. Igitur ad illud punctũ ſectionis reflecti-
tur t ab aliquo puncto, ſumpto in b q: & ad idẽ ſectionis punctũ reflectitur à puncto q. Igitur t refle-
ctitur ad idem punctum à duobus punctis illius circuli: quod impoſsibile in his ſpeculis, ut in libro
quinto [29 n] patuit. Reſtat ergo, ut t reflectatur ad h ab aliquo puncto q a: ſit illud m: & [per 17 p 3]
puncto m ducatur contingens circulum uſq; ad li
162[Figure 162]d t e h s n q b l q m f p a g neam g t: quæ ſit m n. Erit n finis contingentiæ t,
reſpectu h: [per 17 n 5] & à puncto q ducatur cõtin
gens: quę ſit q o: quę quidẽ neceſſariò cadet ſub m
n: [quòd enim non cadar in punctũ n, inde perſpi
cuum eſt: quia ductis ſemidiametrιs g q, g m: angu
li n q g, n m g per 18 p 3 recti, eſſent inęquales per 21
p 1 contra 10 ax: Si uerò cadat ultra n: erit per 21 p 1
angulus rectus obtuſo maior cótra 11 p 1] & produ
catur z q uſq; dum cadat ſuper g t in puncto p. [ca
det aũt per 3 uel 16 n 5. ] Erit p locus imaginis z. E-
rit ergo [per 18 n 5] proportio g t ad p g, ſicut t o ad
o p: igitur maior erit proportio g t ad t n, quàm g t
ad t o [per 8 p 5: quia t o màior eſt t n. ] Ergo multò
maior g t ad t n, quàm g p ad p n. [Quia enim ra-
tio g t ad t n maior eſt, ꝗ̃ ad t o ex concluſo: eſtq́;
gt ad to, ſicut p g ad p o per 16 p 5. Ratio igitur t
g ad tn maior eſt, quàm p g ad p o: ſed ratio p g ad
p o maior eſt, quàm ad p n per 8 p 5. Ratio igitur
g t ad t n multò maior eſt, quàm p g ad p n. ] Sit er-
go [per 10 p 6] g t ad t n, ſicut g l ad i n. Erit g l ma-
ior g p. Et eritl locus imaginis h [per 18 n 5: eſt e-
nim per 16 p 5 g t ad g l, ſicut t n ad n l. ] Sint ergo h
g, e g, z g lineę æ quales: g f æqualis g p: g s æqualis g o. Cũ igitur angulus e g d ſit ęqualis angulo t g z
[per fabricationẽ] & remotio d à puncto è, ſicut z à puncto t: [Quia enim rectæ e g, d g, z g, t g: itẽ an-
guli e g d, z g t æquantur per fabricationẽ: baſes e d, z t ęquabuntur per 4 p 1: ideoq́; puncta d, z ęqua
biliter diſtabũt à punctis e & t] erit imago d reſpectu e tantùm eleuata in linea g d, quantùm imago t
reſpectu z in linea g t: erit igitur imago d in puncto f: & ſimiliter finis cõtingentię d, reſpectu e erit al
titudinis eiuſdẽ, cuius eſt finis cõtingẽtię pũcti t, reſpectu z. Quare erit finis cõtingẽtiæ d in pũcto s.
Verùm quoniá angulus e g t æqualis eſt angulo t g h, & h g æqualis e g: [per fabricationẽ] erit l ima-
got, reſpectue, ſicut eſt reſpectu puncti h: & n finis cõtingentiæ reſpectu e, ſicut eſt reſpectu pũcti h.
reſpiciente, ſed ei aduerſa. Similiter curuæ apparebũt in his ſpeculis curuæ: & ſi curuitas ſpe-
culum reſpexerit, cõtrario ſitu apparebit. Et hoc quidẽ intelligendũ nõ in omnibus, ſed in pluribus.
Ad cuius rei explanationẽ neceſſe eſt quędam antecedentia præmittere: quorũ unum eſt. Si fuerint
duo puncta eiuſdẽ longitudinis à centro ſpeculi, & inæqualis lõgitudinis à centro uiſus: imago pun
cti remotioris à centro uiſus erit remotior à centro ſpeculi, ꝗ̃ propinquioris: & finis cõtingentię re-
motioris erit remotior à centro ſpeculi, ꝗ̃ finis cõtingentię propinquioris: ſiue puncta illa ſint in ea-
dem ſuperficie cum centro uiſus, ſiue in diuerſis. Sintt, d duo puncta æqualiter à g cẽtro ſpeculi re-
mota: e centrũ uiſus: & d propinquius uiſui ꝗ̃ t. Superficies cõmunis ſectionis d t g ſecabit ſpeculũ
ſuper circulũ [per 1 th. 1 ſphæ. ] qui ſit a b: & ſit angulus e g d æqualis angulo t g z: angulus e g t æqua-
lis angulo t g h: & ſumatur in circulo punctũ, à quo t reflectatur ad z: [per 31. uel 39 n 5] quod ſit q. Di
co, quòd t non reflectitur ad h ab aliquo puncto b q. Palàm, quòd non à puncto b [quia cũ ea ſit per-
pendicularis ſpeculo, reflectetur in ſeipſam, nõ ad h per 11 n 4. ] Si aũt ſumatur punctũ quodcunq; in
b q: linea ducta à puncto h ad illud punctũ, ſecabit lineá q z. Igitur ad illud punctũ ſectionis reflecti-
tur t ab aliquo puncto, ſumpto in b q: & ad idẽ ſectionis punctũ reflectitur à puncto q. Igitur t refle-
ctitur ad idem punctum à duobus punctis illius circuli: quod impoſsibile in his ſpeculis, ut in libro
quinto [29 n] patuit. Reſtat ergo, ut t reflectatur ad h ab aliquo puncto q a: ſit illud m: & [per 17 p 3]
puncto m ducatur contingens circulum uſq; ad li
162[Figure 162]d t e h s n q b l q m f p a g neam g t: quæ ſit m n. Erit n finis contingentiæ t,
reſpectu h: [per 17 n 5] & à puncto q ducatur cõtin
gens: quę ſit q o: quę quidẽ neceſſariò cadet ſub m
n: [quòd enim non cadar in punctũ n, inde perſpi
cuum eſt: quia ductis ſemidiametrιs g q, g m: angu
li n q g, n m g per 18 p 3 recti, eſſent inęquales per 21
p 1 contra 10 ax: Si uerò cadat ultra n: erit per 21 p 1
angulus rectus obtuſo maior cótra 11 p 1] & produ
catur z q uſq; dum cadat ſuper g t in puncto p. [ca
det aũt per 3 uel 16 n 5. ] Erit p locus imaginis z. E-
rit ergo [per 18 n 5] proportio g t ad p g, ſicut t o ad
o p: igitur maior erit proportio g t ad t n, quàm g t
ad t o [per 8 p 5: quia t o màior eſt t n. ] Ergo multò
maior g t ad t n, quàm g p ad p n. [Quia enim ra-
tio g t ad t n maior eſt, ꝗ̃ ad t o ex concluſo: eſtq́;
gt ad to, ſicut p g ad p o per 16 p 5. Ratio igitur t
g ad tn maior eſt, quàm p g ad p o: ſed ratio p g ad
p o maior eſt, quàm ad p n per 8 p 5. Ratio igitur
g t ad t n multò maior eſt, quàm p g ad p n. ] Sit er-
go [per 10 p 6] g t ad t n, ſicut g l ad i n. Erit g l ma-
ior g p. Et eritl locus imaginis h [per 18 n 5: eſt e-
nim per 16 p 5 g t ad g l, ſicut t n ad n l. ] Sint ergo h
g, e g, z g lineę æ quales: g f æqualis g p: g s æqualis g o. Cũ igitur angulus e g d ſit ęqualis angulo t g z
[per fabricationẽ] & remotio d à puncto è, ſicut z à puncto t: [Quia enim rectæ e g, d g, z g, t g: itẽ an-
guli e g d, z g t æquantur per fabricationẽ: baſes e d, z t ęquabuntur per 4 p 1: ideoq́; puncta d, z ęqua
biliter diſtabũt à punctis e & t] erit imago d reſpectu e tantùm eleuata in linea g d, quantùm imago t
reſpectu z in linea g t: erit igitur imago d in puncto f: & ſimiliter finis cõtingentię d, reſpectu e erit al
titudinis eiuſdẽ, cuius eſt finis cõtingẽtię pũcti t, reſpectu z. Quare erit finis cõtingẽtiæ d in pũcto s.
Verùm quoniá angulus e g t æqualis eſt angulo t g h, & h g æqualis e g: [per fabricationẽ] erit l ima-
got, reſpectue, ſicut eſt reſpectu puncti h: & n finis cõtingentiæ reſpectu e, ſicut eſt reſpectu pũcti h.