205199OPTICAE LIBER VI.
Similiter ſi ponatur, quòd g z, b c concurrant ad punctum e:
probabitur, quòd d h concurret
ad idem.
ad idem.
165[Figure 165]c h z b d g a
10. Si data recta in duob{us} punctis ſecta, ſit ad alterum extremorum ſegmẽtorum, ſicut re-
liquum extremum ad intermedium: & ab altero
ipſi{us} termino, ſectionuḿ punctis tres rectæ li- neæ ſint parallelæ: recta à reliquo termino ſecan s parallel{as}, ſecabitur proportionaliter datæ. 122 p 1.
liquum extremum ad intermedium: & ab altero
ipſi{us} termino, ſectionuḿ punctis tres rectæ li- neæ ſint parallelæ: recta à reliquo termino ſecan s parallel{as}, ſecabitur proportionaliter datæ. 122 p 1.
AMplius:
diuiſa ab ſecundum hanc proportio-
nem: ſi fuerint lineæ g z, d h, b c æquidiſtãtes:
& ducatur ac diuidens illas: erit ac diuiſa ſe-
cundum hanc proportionem. Cum d h ſit æquidi-
ſtans g z: erit [per 2 p 6] proportio a z ad z h, ſicut a g
ad g d: & cum b c ſit æquidiſtãs d h: erit [per 2 p 6. 18
p 5] a b ad b d, ſicut a c ad c h: ſed [ex theſi] a b ad b d,
ſicut a g ad g d: erit [per 11 p 5] a c ad ch, ſicut a z ad
z h. Et ita patet propoſitum. His præmiſsis, acceda-
mus ad propoſitum.
nem: ſi fuerint lineæ g z, d h, b c æquidiſtãtes:
& ducatur ac diuidens illas: erit ac diuiſa ſe-
cundum hanc proportionem. Cum d h ſit æquidi-
ſtans g z: erit [per 2 p 6] proportio a z ad z h, ſicut a g
ad g d: & cum b c ſit æquidiſtãs d h: erit [per 2 p 6. 18
p 5] a b ad b d, ſicut a c ad c h: ſed [ex theſi] a b ad b d,
ſicut a g ad g d: erit [per 11 p 5] a c ad ch, ſicut a z ad
z h. Et ita patet propoſitum. His præmiſsis, acceda-
mus ad propoſitum.
11. Sirecta linea à uiſu ſit perpendicularis ſu-
perficiei incidentiæ: imago perιpheriæ concentricæ
peripheriæ circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpeculi ſphærici cõuexi)
uidebitur curua, & par allela ipſi peripheriæ concentricæ. 46 p 6.
perficiei incidentiæ: imago perιpheriæ concentricæ
peripheriæ circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpeculi ſphærici cõuexi)
uidebitur curua, & par allela ipſi peripheriæ concentricæ. 46 p 6.
PRimum de arcu declaremus, qnomodo in his ſpeculis imago
166[Figure 166]b e a d h z m g eius ſit curua, curuitate quidem ſpeculum non reſpiciente, ſed
centrũ. Verbi gratia: ſit ab arcus oppoſitus ſpeculo: & ſit g cen-
trum illius arcus, & ſimiliter centrum ſpeculi: d cẽtrum uiſus: & du-
cantur lineæ d g, a g, b g: & ſumatur e in arcu a b quocunq; modo: &
ducatur linea e g. Linea uerò d g non ſit in ſuperficie a b g. Linea igi-
tur d g aut erit orthogonalis ſuper ſuperficiẽ a b g: aut declinata. Sit
orthogonalis: erunt anguli d g a, d g e, d g b æquales [quia per 3 d 11
recti ſunt] & [per 15 d 1] latera lateribus. Quare [per 4 p 1] baſes baſi-
bus. Igitur omnia puncta arcus a b eiuſdem longitudinis erũt à cen-
tro uiſus. Quare imagines omniũ punctorũ, eiuſdẽ longitudinis ſunt
â cẽtro: ſintq́; q, m, l imagines ipſorũ a, e, b. Erit igitur g q ęqualis g m,
g l. Quare q m l erit arcus: [per 9 p 3] & cõuexitas ipſius reſpectu cen
tri, non reſpectu ſpeculi, ſiue loci reflexionis. Quod eſt propoſitum.
166[Figure 166]b e a d h z m g eius ſit curua, curuitate quidem ſpeculum non reſpiciente, ſed
centrũ. Verbi gratia: ſit ab arcus oppoſitus ſpeculo: & ſit g cen-
trum illius arcus, & ſimiliter centrum ſpeculi: d cẽtrum uiſus: & du-
cantur lineæ d g, a g, b g: & ſumatur e in arcu a b quocunq; modo: &
ducatur linea e g. Linea uerò d g non ſit in ſuperficie a b g. Linea igi-
tur d g aut erit orthogonalis ſuper ſuperficiẽ a b g: aut declinata. Sit
orthogonalis: erunt anguli d g a, d g e, d g b æquales [quia per 3 d 11
recti ſunt] & [per 15 d 1] latera lateribus. Quare [per 4 p 1] baſes baſi-
bus. Igitur omnia puncta arcus a b eiuſdem longitudinis erũt à cen-
tro uiſus. Quare imagines omniũ punctorũ, eiuſdẽ longitudinis ſunt
â cẽtro: ſintq́; q, m, l imagines ipſorũ a, e, b. Erit igitur g q ęqualis g m,
g l. Quare q m l erit arcus: [per 9 p 3] & cõuexitas ipſius reſpectu cen
tri, non reſpectu ſpeculi, ſiue loci reflexionis. Quod eſt propoſitum.
12. Si recta linea à uiſu ſit obliqua ſuperficiei incidentiæ: ima-
go peripheriæ concentricæ peripheriæ circuli (qui eſt communis ſe-
ctio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici conucxi) uidebi-
tur curua, non parallela peripheriæ concentricæ. 47 p 6.
go peripheriæ concentricæ peripheriæ circuli (qui eſt communis ſe-
ctio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici conucxi) uidebi-
tur curua, non parallela peripheriæ concentricæ. 47 p 6.
SI uerò linea d g non fuerit perpẽdicularis ſuper ſuperficiem a b g:
ducta perpendiculari à pun-
cto d ſuper hanc ſuperficiem: [per 11 p 11] cum [per 5 n 5] illa perpendicularis ſit minor omni-
bus lineis ductis à puncto d ad hanc ſuperficiem: erit angulus, quem continet hæc perpendi-
cularis uerſus g, minor quolibet angulo uerſus punctũ g intellecto, quem continet alia linea à pun-
cto d ad hanc ſuperficiem ducta [per 16 p 1. ] Et linea ducta à puncto d ad hanc ſuperficiem, quan-
tò remotior erit à perpendiculari, tantò maior erit, & continebit maiorem angulum uerſus g [per
21 p 1. ] Si ergo hæc perpendicularis non cadat in arcum a e b, ſed ex parte una: erunt omnes lineæ
ductæ à puncto d ad hunc arcum, declinatæ ad partem unam: & remotiores maiores, & maiorem
angulum continentes uerſus g. Sit ergo: & ſumantur tria puncta in arcu, ſcilicet e, c, b: finis contin-
gentiæ puncti b ſit l: finis contingẽtiæ puncti c, ſit m. Quoniam igitur c propinquius d, quam b: erit
ιn propinquius g quàm l: [per 7 n] & ita c m maior b l [quia gc, g b ęquantur per 15 d 1] q ſit imago
c: timago b: & ducatur t q: & ducantur lineæ c b, m l: quæ quidem productæ concurrent. Si enim à
puncto m duceretur æquidiſtans c b, ſecaret ex g b lineam æqualem c m [eſſet enim per 2 p 6 18 p 5,
ut g c ad c m, ſic g b ad rectam, quam ſecat parallela à pũcto m ducta ex g b: itaq, cum g c, g b æquen-
tur per 15 d 1: æquaretur c m, ſectæ per parallelam ex g b: ſed c m, ut patuit, maior eſt b l: quare c b,
m l productæ concurrent. ] Concurrant in puncto o. Et quoniam proportio g c ad c m, ſicut g q ad
q m [eſt enim per 18 n 5, ut c g ad g q, ſic c m ad m q: ergo per 16 p 5, ut c g ad c m, ſic g q ad q m. ] Si-
militer g b ad b l, ſicut g t ad t l: ergo linea q t concurret cum lineis c b, m l [per 9 n. ] Sit con-
curſus in puncto o. Finis contingentiæ puncti e ſit n. Quoniam punctum n demiſsius eſt puncto
m: [per 7 n] erit e n maior c m: ductis ergo lineis e c, m n, concurrent [ut antea. ] Sit concurſus in
cto d ſuper hanc ſuperficiem: [per 11 p 11] cum [per 5 n 5] illa perpendicularis ſit minor omni-
bus lineis ductis à puncto d ad hanc ſuperficiem: erit angulus, quem continet hæc perpendi-
cularis uerſus g, minor quolibet angulo uerſus punctũ g intellecto, quem continet alia linea à pun-
cto d ad hanc ſuperficiem ducta [per 16 p 1. ] Et linea ducta à puncto d ad hanc ſuperficiem, quan-
tò remotior erit à perpendiculari, tantò maior erit, & continebit maiorem angulum uerſus g [per
21 p 1. ] Si ergo hæc perpendicularis non cadat in arcum a e b, ſed ex parte una: erunt omnes lineæ
ductæ à puncto d ad hunc arcum, declinatæ ad partem unam: & remotiores maiores, & maiorem
angulum continentes uerſus g. Sit ergo: & ſumantur tria puncta in arcu, ſcilicet e, c, b: finis contin-
gentiæ puncti b ſit l: finis contingẽtiæ puncti c, ſit m. Quoniam igitur c propinquius d, quam b: erit
ιn propinquius g quàm l: [per 7 n] & ita c m maior b l [quia gc, g b ęquantur per 15 d 1] q ſit imago
c: timago b: & ducatur t q: & ducantur lineæ c b, m l: quæ quidem productæ concurrent. Si enim à
puncto m duceretur æquidiſtans c b, ſecaret ex g b lineam æqualem c m [eſſet enim per 2 p 6 18 p 5,
ut g c ad c m, ſic g b ad rectam, quam ſecat parallela à pũcto m ducta ex g b: itaq, cum g c, g b æquen-
tur per 15 d 1: æquaretur c m, ſectæ per parallelam ex g b: ſed c m, ut patuit, maior eſt b l: quare c b,
m l productæ concurrent. ] Concurrant in puncto o. Et quoniam proportio g c ad c m, ſicut g q ad
q m [eſt enim per 18 n 5, ut c g ad g q, ſic c m ad m q: ergo per 16 p 5, ut c g ad c m, ſic g q ad q m. ] Si-
militer g b ad b l, ſicut g t ad t l: ergo linea q t concurret cum lineis c b, m l [per 9 n. ] Sit con-
curſus in puncto o. Finis contingentiæ puncti e ſit n. Quoniam punctum n demiſsius eſt puncto
m: [per 7 n] erit e n maior c m: ductis ergo lineis e c, m n, concurrent [ut antea. ] Sit concurſus in