206200ALHAZEN
puncto p:
& ducatur linea q p:
& procedat, donec cadat ſuper e g in pũcto f:
& ducatur linea t q uſq;
ad e g: & cadat in pũctum k. Pa-
167[Figure 167]p o b c e l m t n a q k f d g làm, quòd k erit ſupra f [ꝗa pun-
ctum n humilius eſt puncto m. ]
Verùm cũ proportio g c ad c m,
ſicut g q ad q m [ut patuit] & à
punctis diuiſionũ ducantur tres
lineæ concurrẽtes, in aliam par-
tem productæ ſecabunt lineam
e g ſecundum prædictã propor-
tionẽ [per 8 n. ] Quare propor-
tio g e ad e n, ſicut g f ad f n: ſed n
eſt finis cõtingentiæ. Quare flo-
cus eſt imaginis [per 18 n 5. ] Igi-
tur linea f q t erit imago arcus e
c b: & erit linea curua, non recta:
quoniam t q k eſt recta: & curui-
tas lineæ non eſt ex parte ſpecu-
li. Similiter ſi perpendicularis à
puncto d cadat ex alia parte arcus: ſimilis erit probatio. Si uerò cadat perpendicularis in medium
arcus a b: lineæ à puncto d ex diuerſis partibus ad arcum ductæ, æqualiter diſtantes à perpendicu-
lari: erunt æquales, & æquales angulos continebunt uerſus g: & imagines à g æqualiter diſtabunt:
& fines contingentiæ ſimiliter. Et licebit probare prædicto modo de utraq; parte arcus per ſe, ſe-
cundum quod diuiditur à perpendiculari: quòd eius imago ſit linea curua modo prædicto. Quod
eſt propoſitum.
ad e g: & cadat in pũctum k. Pa-
167[Figure 167]p o b c e l m t n a q k f d g làm, quòd k erit ſupra f [ꝗa pun-
ctum n humilius eſt puncto m. ]
Verùm cũ proportio g c ad c m,
ſicut g q ad q m [ut patuit] & à
punctis diuiſionũ ducantur tres
lineæ concurrẽtes, in aliam par-
tem productæ ſecabunt lineam
e g ſecundum prædictã propor-
tionẽ [per 8 n. ] Quare propor-
tio g e ad e n, ſicut g f ad f n: ſed n
eſt finis cõtingentiæ. Quare flo-
cus eſt imaginis [per 18 n 5. ] Igi-
tur linea f q t erit imago arcus e
c b: & erit linea curua, non recta:
quoniam t q k eſt recta: & curui-
tas lineæ non eſt ex parte ſpecu-
li. Similiter ſi perpendicularis à
puncto d cadat ex alia parte arcus: ſimilis erit probatio. Si uerò cadat perpendicularis in medium
arcus a b: lineæ à puncto d ex diuerſis partibus ad arcum ductæ, æqualiter diſtantes à perpendicu-
lari: erunt æquales, & æquales angulos continebunt uerſus g: & imagines à g æqualiter diſtabunt:
& fines contingentiæ ſimiliter. Et licebit probare prædicto modo de utraq; parte arcus per ſe, ſe-
cundum quod diuiditur à perpendiculari: quòd eius imago ſit linea curua modo prædicto. Quod
eſt propoſitum.
13. Si uiſ{us} ſit extra ſuperficiem incidentiæ: imago peripheriæ eccentricæ peripheriæ circuli
(qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflex ionis & ſpeculi ſphærici conuexi) uidebitur magis
curua, quàm imago peripheriæ concentricæ. 48 p 6.
(qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflex ionis & ſpeculi ſphærici conuexi) uidebitur magis
curua, quàm imago peripheriæ concentricæ. 48 p 6.
AMplius:
ſumatur circulus, cuius centrum non ſit centrum ſpeculi, ueruntamen ſit in eadem
ſuperficie cum centro ſpeculi. Dico, quòd ſi in hoc circulo
168[Figure 168]b d a e h t z g f exteriore ſumatur arcus ex parte cẽtri ſpeculi, propinquior
ei ſecundum medium eius punctum, erit imago eius curua. Dato
enim hoc arcu: ducatur linea à centro ſpeculi ad centrum exterio-
ris circuli: & producatur hæc linea uſq; ad arcum datum: linea du-
cta à centro ſpeculi ad hunc arcum, quæ eſt pars diametri maioris
circuli, erit breuior omnibus lineis ductis ab eodem centro ſpecu-
li ad illum arcum [per 7 p 3. ] Et à centro ſpeculi poſſunt duci ad ar-
cum datũ duæ lineæ æquales à diuerſis partibus huius breuis [per
7 p 3] quæ quidem maiores erũt illa breui. Et ſi ſecundum alteram
illarum fiat circulus, cuius centrum ſit ſpeculi centrum: tranſibit
per capita harum duarum linearum arcus excedens arcum datum.
Et palàm, quòd imago huius arcus excedentis, erit linea curua ſe-
cundum prædicta [11. 12 n: ] Et imagines punctorum huic arcui &
arcui dato communium eædem: & medium punctum arcus exce-
dentis eſt remotius à centro ſpeculi, quam punctũ arcus dati, quod
ipſum reſpicit. Quare eius imago propinquior eſt centro, quã ima-
go puncti arcus dati illum reſpicientis. Et ita cuiuslibet puncti ar-
cus exterioris imago propinquior eſt cẽtro, imagine puncti arcus
dati, quod ipſum reſpicit. Quare imago arcus dati curuior, quã imago arcus exterioris. Quare ima-
go arcus dati curua eſt. Quod eſt propoſitum.
ſuperficie cum centro ſpeculi. Dico, quòd ſi in hoc circulo
168[Figure 168]b d a e h t z g f exteriore ſumatur arcus ex parte cẽtri ſpeculi, propinquior
ei ſecundum medium eius punctum, erit imago eius curua. Dato
enim hoc arcu: ducatur linea à centro ſpeculi ad centrum exterio-
ris circuli: & producatur hæc linea uſq; ad arcum datum: linea du-
cta à centro ſpeculi ad hunc arcum, quæ eſt pars diametri maioris
circuli, erit breuior omnibus lineis ductis ab eodem centro ſpecu-
li ad illum arcum [per 7 p 3. ] Et à centro ſpeculi poſſunt duci ad ar-
cum datũ duæ lineæ æquales à diuerſis partibus huius breuis [per
7 p 3] quæ quidem maiores erũt illa breui. Et ſi ſecundum alteram
illarum fiat circulus, cuius centrum ſit ſpeculi centrum: tranſibit
per capita harum duarum linearum arcus excedens arcum datum.
Et palàm, quòd imago huius arcus excedentis, erit linea curua ſe-
cundum prædicta [11. 12 n: ] Et imagines punctorum huic arcui &
arcui dato communium eædem: & medium punctum arcus exce-
dentis eſt remotius à centro ſpeculi, quam punctũ arcus dati, quod
ipſum reſpicit. Quare eius imago propinquior eſt centro, quã ima-
go puncti arcus dati illum reſpicientis. Et ita cuiuslibet puncti ar-
cus exterioris imago propinquior eſt cẽtro, imagine puncti arcus
dati, quod ipſum reſpicit. Quare imago arcus dati curuior, quã imago arcus exterioris. Quare ima-
go arcus dati curua eſt. Quod eſt propoſitum.
14. Si uiſ{us} ſit extra ſuperficiem incidentiæ: imago lineæ rectæ, parallelæ rectæ tangẽti peri-
pheriam circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi)
uidebitur curua. 49 p 6.
pheriam circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi)
uidebitur curua. 49 p 6.
AMplius:
quòd lineę rectæ imago in his ſpeculis ſit curua, probatur ſic.
Sit a b linea uiſa:
g cen
trum ſpeculi: ducantur lineæ a g, b g. Hæ aut ſunt æquales: aut non. Si æquales: fiat circulus,
cuius g centrum, ſecundum quantitatem illarum: qui ſit a e b: cadet quidem linea a b intra
circulum. Palàm ex prædictis [11. 12 n] quòd imago arcus a e b erit curua. Sit igitur imago eius z t h:
imago a ſit z: imago b ſit h: imago e ſit t: & ducatur g e ſecans a b in puncto f. Palàm, quòd e eſt in ea-
dem linea cum f, remotior à centro g. Erit ergo eius imago propinquior centro, quàm fimago [per
30 n 5. ] Sit ergo m. Palàm ergo, quòd linea z m h eſt imago lineæ a b: [imagines enim punctorum a
& b communium eædem permanent] & eſt linea curua. Quod eſt propoſitum.
trum ſpeculi: ducantur lineæ a g, b g. Hæ aut ſunt æquales: aut non. Si æquales: fiat circulus,
cuius g centrum, ſecundum quantitatem illarum: qui ſit a e b: cadet quidem linea a b intra
circulum. Palàm ex prædictis [11. 12 n] quòd imago arcus a e b erit curua. Sit igitur imago eius z t h:
imago a ſit z: imago b ſit h: imago e ſit t: & ducatur g e ſecans a b in puncto f. Palàm, quòd e eſt in ea-
dem linea cum f, remotior à centro g. Erit ergo eius imago propinquior centro, quàm fimago [per
30 n 5. ] Sit ergo m. Palàm ergo, quòd linea z m h eſt imago lineæ a b: [imagines enim punctorum a
& b communium eædem permanent] & eſt linea curua. Quod eſt propoſitum.