Réduire les quantités irrationnelles ou incommenſurables à leur
plus ſimple expreſſion.
plus ſimple expreſſion.
319.
On examinera ſi la quantité ſoumiſe au radical n’a pas
parmi ſes facteurs quelque puiſſance de même nom que le ra-
dical, ſoit que cette puiſſance ſoit une quantité complexe, ſoit
qu’elle ne ſoit qu’un monome: pour reconnoître ſes facteurs,
il faut ſçavoir décompoſer une quantité, c’eſt-à-dire trouver
les autres quantités, de la multiplication deſquelles réſulte
la grandeur donnée. Cela poſé, lorſqu’on aura trouvé un ou
pluſieurs facteurs de même puiſſance que la racine, on en ex-
traira la racine, & l’on mettra le reſte ſous le radical.
parmi ſes facteurs quelque puiſſance de même nom que le ra-
dical, ſoit que cette puiſſance ſoit une quantité complexe, ſoit
qu’elle ne ſoit qu’un monome: pour reconnoître ſes facteurs,
il faut ſçavoir décompoſer une quantité, c’eſt-à-dire trouver
les autres quantités, de la multiplication deſquelles réſulte
la grandeur donnée. Cela poſé, lorſqu’on aura trouvé un ou
pluſieurs facteurs de même puiſſance que la racine, on en ex-
traira la racine, & l’on mettra le reſte ſous le radical.
Par exemple, √a3b\x{0020} = a√ab\x{0020}:
car il eſt évident que a3b = a2
x ab: donc en prenant la racine du quarré complet a2, & laiſ-
ſant le reſte ſous le radical, on aura a√ab\x{0020}; tout de même
√16a2b - 32a3\x{0020} = √16a2 x √b - 2a. \x{0020}\x{0020} Or il eſt viſible que
16a2 eſt un quarré parfait, celui de 4a: donc on extraira cette
racine, & l’on aura pour la plus ſimple expreſſion de ce radical
4a√b - 2a\x{0020}. Si l’on avoit 3√a3c2 - a@bd\x{0020}, on voit que a3, qui
eſt commun aux deux termes, eſt un cube parfait, dont on
peut prendre la racine cubique; ainſi l’on écrira a 3√c2 - bd\x{0020}.
De même ſi l’on avoit √50ffgg - 25ffmm + 75bdff\x{0020}, il
eſt aiſé d’appercevoir qu’il y a dans cette quantité un quarré
parfait, commun à tous les termes, que l’on peut mettre hors
du radical, c’eſt 25ff; car on auroit pu écrire cette quantité
comme il ſuit, √25ff x √2gg - mm + 3bd\x{0020}\x{0020}, & prenant la ra-
cine, on auroit eu 5f√2gg - mm + 3bd\x{0020}. Il en ſeroit de même
des autres quantités. Par exemple, √3a2b2fg + 6a2bcfg + 3a2c2fg\x{0020}
auroit pu s’écrire ainſi: √a2 x √b2 + 2bc + c2\x{0020} x 3fg\x{0020}, & pre-
nant la racine des deux facteurs, qui ſont des quarrés parfaits,
on aura a x √b + c\x{0020} x √3fg\x{0020}. Si l’on avoit à réduire cette autre ex-
preſſion √27a2b2 - 36a2fg + 9a3c\x{0020}, je remarque que cette
quantité eſt le produit de 9a2 par 3b2 - 4fg + ac: ainſi
x ab: donc en prenant la racine du quarré complet a2, & laiſ-
ſant le reſte ſous le radical, on aura a√ab\x{0020}; tout de même
√16a2b - 32a3\x{0020} = √16a2 x √b - 2a. \x{0020}\x{0020} Or il eſt viſible que
16a2 eſt un quarré parfait, celui de 4a: donc on extraira cette
racine, & l’on aura pour la plus ſimple expreſſion de ce radical
4a√b - 2a\x{0020}. Si l’on avoit 3√a3c2 - a@bd\x{0020}, on voit que a3, qui
eſt commun aux deux termes, eſt un cube parfait, dont on
peut prendre la racine cubique; ainſi l’on écrira a 3√c2 - bd\x{0020}.
De même ſi l’on avoit √50ffgg - 25ffmm + 75bdff\x{0020}, il
eſt aiſé d’appercevoir qu’il y a dans cette quantité un quarré
parfait, commun à tous les termes, que l’on peut mettre hors
du radical, c’eſt 25ff; car on auroit pu écrire cette quantité
comme il ſuit, √25ff x √2gg - mm + 3bd\x{0020}\x{0020}, & prenant la ra-
cine, on auroit eu 5f√2gg - mm + 3bd\x{0020}. Il en ſeroit de même
des autres quantités. Par exemple, √3a2b2fg + 6a2bcfg + 3a2c2fg\x{0020}
auroit pu s’écrire ainſi: √a2 x √b2 + 2bc + c2\x{0020} x 3fg\x{0020}, & pre-
nant la racine des deux facteurs, qui ſont des quarrés parfaits,
on aura a x √b + c\x{0020} x √3fg\x{0020}. Si l’on avoit à réduire cette autre ex-
preſſion √27a2b2 - 36a2fg + 9a3c\x{0020}, je remarque que cette
quantité eſt le produit de 9a2 par 3b2 - 4fg + ac: ainſi