212206ALHAZEN
diſtans eſt & æqualis f m:
[Nam cum axis k d & recta f m ſint perpendiculares circulo b t o:
ille per
21 d 11, hæc per fabricationem: erunt ipſæ inter ſe parallelæ per 6 p 11: & æquales per 34 p 1: quia circu
li b t o, e s p ſunt paralleli] & ita [per 33 p 1] k f æquidiſtans & æqualis d m. Similiter f m æquidiſtans
& æqualis e t: [per 30 p 1: quia e t latus cylindraceum parallelum eſt axi k d per 21 d 11] & k e æqualis
& æquidiſtans d t: & ita e f erit æquidiſtans & æqualis t m [per 33 p 1. ] Verùm ſuperficies k d l eſt or-
thogonalis ſuper ſuperficiem ſectionis b e t: [quia per axem ducitur, & angulus g d b in e llipſis pla-
no rectus eſt ex theſi] & eſt orthogonalis ſuper ſuperficiem circuli e s p [per 18 p 11: quia tranſit per
axem, perpendicularem circulo per 21 d 11. ] Ergo eſt perpendicularis ſuper lineam, communem ſe-
ctioni & circulo [per 19 p 11] quæ eſt e f. Igitur [per 3 d 11] angulus e f k rectus. Similiter angulus t m
d rectus [per 10 p 11: ſunt enim e f, f k parallelæ ipſis t m, m d, ut patuit, & in circulis parallelis. ] Cũ
igitur angulus d m t ſit rectus: & g t d rectus: [per 18 p 3] multiplicatio d m in m g erit, ſicut t m in
ſe. [Nam quia ab angulo g t d recto ducta eſt t m, perpẽdicularis baſi g d: erit per 8 p 6, ut d m ad m t,
ſic m t ad m g. Ita que per 17 p 6 rectangulum comprehenſum ſub extremis d m, g m æquatur qua-
drato mediæ t m. ] Sed quoniam f m æquidiſtat g l: [Nam cum g l ſit communis ſectio duorum pla-
norum, quorum alterum l e t g ſpeculum tangit, reliquum h d g l per axem ſecat: utrũque uerò per-
pendiculare eſt circulo b t o per 21 d. 18 p 11: erit ipſa g l eidem circulo perpendicularis per 19 p 11.
Quare per 6 p 11 erit parallela axi: ideoque per 30 p 1 ipſi f m] erit [per 2 p 6] proportio d f ad f l, ſi-
cut d m ad m g. Sed d f maior d m [per 19 p 1: quia angulus ad m rectus eſt perfabricationem. ] Igi-
tur fl maior m g [per 14 p 5. ] Igitur maior eſt multiplicatio d f in f l, quàm d m in m g: ergo maior ꝗ̃
t m in ſe. Quare cum t m ſit æqualis e f [ex concluſo] erit multiplicatio d f in f l maior ductu lineæ e
fin ſe. Quare angulus l e d maior recto. Si enim rectus eſſet, cum linea e f ſit perpendicularis ſuper
l d [rectus enim demonſtratus eſt angulus e f k] eſſet ductus d fin fl æqualis quadrato e f [per 8. 17
p 6. ] Reſtat ergo [per 13 p 1] ut angulus d e q ſit acutus. Igitur orthogonalis ducta à puncto e, ortho
gonalis, inquam, ſuper contingentem q l, cadet ſub linea e d, & concurret cum perpendiculari b d
ſub puncto d. [Quòd enim perpendicularis illa & b d concurrant, patet per 11 ax: quia anguli, e d b
& comprehenſus ab e d & dicta perpendiculari, ſunt acuti: ille per theſin, hic, quia pars eſt recti, cõ-
prehenſi à tangente e q & dicta perpendiculari. ] Quod eſt propoſitum. His præmiſsis accedẽdum
eſt ad propoſitum.
21 d 11, hæc per fabricationem: erunt ipſæ inter ſe parallelæ per 6 p 11: & æquales per 34 p 1: quia circu
li b t o, e s p ſunt paralleli] & ita [per 33 p 1] k f æquidiſtans & æqualis d m. Similiter f m æquidiſtans
& æqualis e t: [per 30 p 1: quia e t latus cylindraceum parallelum eſt axi k d per 21 d 11] & k e æqualis
& æquidiſtans d t: & ita e f erit æquidiſtans & æqualis t m [per 33 p 1. ] Verùm ſuperficies k d l eſt or-
thogonalis ſuper ſuperficiem ſectionis b e t: [quia per axem ducitur, & angulus g d b in e llipſis pla-
no rectus eſt ex theſi] & eſt orthogonalis ſuper ſuperficiem circuli e s p [per 18 p 11: quia tranſit per
axem, perpendicularem circulo per 21 d 11. ] Ergo eſt perpendicularis ſuper lineam, communem ſe-
ctioni & circulo [per 19 p 11] quæ eſt e f. Igitur [per 3 d 11] angulus e f k rectus. Similiter angulus t m
d rectus [per 10 p 11: ſunt enim e f, f k parallelæ ipſis t m, m d, ut patuit, & in circulis parallelis. ] Cũ
igitur angulus d m t ſit rectus: & g t d rectus: [per 18 p 3] multiplicatio d m in m g erit, ſicut t m in
ſe. [Nam quia ab angulo g t d recto ducta eſt t m, perpẽdicularis baſi g d: erit per 8 p 6, ut d m ad m t,
ſic m t ad m g. Ita que per 17 p 6 rectangulum comprehenſum ſub extremis d m, g m æquatur qua-
drato mediæ t m. ] Sed quoniam f m æquidiſtat g l: [Nam cum g l ſit communis ſectio duorum pla-
norum, quorum alterum l e t g ſpeculum tangit, reliquum h d g l per axem ſecat: utrũque uerò per-
pendiculare eſt circulo b t o per 21 d. 18 p 11: erit ipſa g l eidem circulo perpendicularis per 19 p 11.
Quare per 6 p 11 erit parallela axi: ideoque per 30 p 1 ipſi f m] erit [per 2 p 6] proportio d f ad f l, ſi-
cut d m ad m g. Sed d f maior d m [per 19 p 1: quia angulus ad m rectus eſt perfabricationem. ] Igi-
tur fl maior m g [per 14 p 5. ] Igitur maior eſt multiplicatio d f in f l, quàm d m in m g: ergo maior ꝗ̃
t m in ſe. Quare cum t m ſit æqualis e f [ex concluſo] erit multiplicatio d f in f l maior ductu lineæ e
fin ſe. Quare angulus l e d maior recto. Si enim rectus eſſet, cum linea e f ſit perpendicularis ſuper
l d [rectus enim demonſtratus eſt angulus e f k] eſſet ductus d fin fl æqualis quadrato e f [per 8. 17
p 6. ] Reſtat ergo [per 13 p 1] ut angulus d e q ſit acutus. Igitur orthogonalis ducta à puncto e, ortho
gonalis, inquam, ſuper contingentem q l, cadet ſub linea e d, & concurret cum perpendiculari b d
ſub puncto d. [Quòd enim perpendicularis illa & b d concurrant, patet per 11 ax: quia anguli, e d b
& comprehenſus ab e d & dicta perpendiculari, ſunt acuti: ille per theſin, hic, quia pars eſt recti, cõ-
prehenſi à tangente e q & dicta perpendiculari. ] Quod eſt propoſitum. His præmiſsis accedẽdum
eſt ad propoſitum.
25. Si uiſ{us}, & linea recta, axi ſpeculi cylindracei conuexi parallela, fuerint in eodem plana:
à toto cylindri latere ad uiſum reflecti poteſt: & imago uidetur linea recta, æqualis par alle-
læ. 50 p 7.
à toto cylindri latere ad uiſum reflecti poteſt: & imago uidetur linea recta, æqualis par alle-
læ. 50 p 7.
PRoponatur columna:
[ut in ſequente numero] linea æquidiſtans axi ſit t h.
erit quidem æqui-
diſtans lineæ longitudinis columnæ [per 21 d 11. 30 p 1. ] Si ergo uiſus fuerit in eadem ſuperfi-
cie cum axe & linea t h: poterit quidem reflecti linea, & erit reflexio à linea longitudinis colu-
mnæ, quæ eſt linea communis ſuperficiei, in qua ſunt uiſus & axis, & ſuperficiei columnę, ſicut oſtẽ
ſum eſt in libro quinto [43. 89 n. ] Sicigitur uidebitur linea t h linea recta. Quoniam quælibet per-
pendicularis ducta à puncto lineæ t h, erit in eadem ſuperficie cum uiſu & axe. Et probabitur imagi
nem lineæ t h eſſe rectam, ſicut probatum eſt in ſpeculis planis de rectis lineis [2 n. ]
diſtans lineæ longitudinis columnæ [per 21 d 11. 30 p 1. ] Si ergo uiſus fuerit in eadem ſuperfi-
cie cum axe & linea t h: poterit quidem reflecti linea, & erit reflexio à linea longitudinis colu-
mnæ, quæ eſt linea communis ſuperficiei, in qua ſunt uiſus & axis, & ſuperficiei columnę, ſicut oſtẽ
ſum eſt in libro quinto [43. 89 n. ] Sicigitur uidebitur linea t h linea recta. Quoniam quælibet per-
pendicularis ducta à puncto lineæ t h, erit in eadem ſuperficie cum uiſu & axe. Et probabitur imagi
nem lineæ t h eſſe rectam, ſicut probatum eſt in ſpeculis planis de rectis lineis [2 n. ]
26. Si uiſ{us} ſit extra planum lineæ rectæ, axi ſpeculi cylindracei conuexi parallelæ: à latere cy
lindri fit reflexio. 30 p 7.
lindri fit reflexio. 30 p 7.
SI autem uiſus ſit extra ſuperficiem lineæ t h, & axis:
& t h æquidiſtet axi:
qui axis ſit z k:
fiat ſu-
perficies per uiſum tranſiens, ſecans ſuperficiem columnæ æquidiſtanter baſi: [ut oſtenſum eſt
47 n 5] ſecabit quidem ſecundum circulum [per 5 th. Sereni de ſectione cylindri. ] Sit circu-
lus ille b f. Aliquod igitur punctum lineæ h t reflectitur ad uiſum, ab aliquo puncto huius circuli: ſit
punctum b: & uiſus ſit e: punctum illud lineæ t h, ſit q: & ducantur lineæ e b, q b, q e. Et ducatur à pũ
cto b linea longitudinis [ut monſtratum eſt 47 n 5] quæ ſit a b g: & ducatur à puncto b perpendicu-
laris, cadens ſuper axem in puncto l [cadet uerò per lẽma Procli ad 29 p 1: quia latus cylindraceũ &
axis ſunt paralleli per 21 d 11] quæ ſit m l: & ducatur à puncto e linea æquidiſtans l m: quæ ſit e o: &
ducatur q b, quouſque concurrat [concurret autem per allegatum Procli lemma] ſit concurſus in
puncto o. Palàm, quòd angulus q b m eſt æqualis angulo e b m: [anguli enim m b g, m b a recti per
fabricationem & 29 p 1, æquantur per 10 ax. itemq́ue q b g, e b a per 12 n 4: quare reliqui q b m, e b m
æquantur. ] Sed [per 29 p 1] angulus q b m æqualis eſt angulo b o e: quia l m æquidiſtans o e. Simi
liter [per eandem 29] angulus m b e æqualis angulo b e o: quia coalternus. Igitur angulus b o e æ-
qualis eſt angulo b e o. Quare [per 6 p 1] latera b o, b e æqualia. Sumaturautem aliud punctum in
linea t h: quod ſit t: & ducatur linea t o. Palàm, quòd linea t h æquidiſtat lineæ longitudinis, quæ eſt
a g [per 30 p 1: quia t h ex theſi parallela eſt axi, cui latus cylindraceum parallelum eſt per 21 d 11. ]
Ergo ſunt in eadem ſuperficie: [per 35 d 1] & in illa ſuperficie eſt linea q b o [per 7 p 11: quia conne-
ctit t h & a g. ] Quare in eadem erit linea t q [per 1 p 11. ] Secabit igitur lineam a g. Secet in puncto
g. Ducatur linea e g. Palàm etiam [per 8 p 11] quòd linea a g eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem
circuli b f, ſicut axis, cui æquidiſtat, [per 21 d 11. ] Et ſuperficies illius circuli, eſt pars ſuperficiei, e
o b f, ſecans ſcilicet columnam æquidiſtanter baſi. Igitur [per 3 d 11] angulus g b o eſt rectus, & an-
perficies per uiſum tranſiens, ſecans ſuperficiem columnæ æquidiſtanter baſi: [ut oſtenſum eſt
47 n 5] ſecabit quidem ſecundum circulum [per 5 th. Sereni de ſectione cylindri. ] Sit circu-
lus ille b f. Aliquod igitur punctum lineæ h t reflectitur ad uiſum, ab aliquo puncto huius circuli: ſit
punctum b: & uiſus ſit e: punctum illud lineæ t h, ſit q: & ducantur lineæ e b, q b, q e. Et ducatur à pũ
cto b linea longitudinis [ut monſtratum eſt 47 n 5] quæ ſit a b g: & ducatur à puncto b perpendicu-
laris, cadens ſuper axem in puncto l [cadet uerò per lẽma Procli ad 29 p 1: quia latus cylindraceũ &
axis ſunt paralleli per 21 d 11] quæ ſit m l: & ducatur à puncto e linea æquidiſtans l m: quæ ſit e o: &
ducatur q b, quouſque concurrat [concurret autem per allegatum Procli lemma] ſit concurſus in
puncto o. Palàm, quòd angulus q b m eſt æqualis angulo e b m: [anguli enim m b g, m b a recti per
fabricationem & 29 p 1, æquantur per 10 ax. itemq́ue q b g, e b a per 12 n 4: quare reliqui q b m, e b m
æquantur. ] Sed [per 29 p 1] angulus q b m æqualis eſt angulo b o e: quia l m æquidiſtans o e. Simi
liter [per eandem 29] angulus m b e æqualis angulo b e o: quia coalternus. Igitur angulus b o e æ-
qualis eſt angulo b e o. Quare [per 6 p 1] latera b o, b e æqualia. Sumaturautem aliud punctum in
linea t h: quod ſit t: & ducatur linea t o. Palàm, quòd linea t h æquidiſtat lineæ longitudinis, quæ eſt
a g [per 30 p 1: quia t h ex theſi parallela eſt axi, cui latus cylindraceum parallelum eſt per 21 d 11. ]
Ergo ſunt in eadem ſuperficie: [per 35 d 1] & in illa ſuperficie eſt linea q b o [per 7 p 11: quia conne-
ctit t h & a g. ] Quare in eadem erit linea t q [per 1 p 11. ] Secabit igitur lineam a g. Secet in puncto
g. Ducatur linea e g. Palàm etiam [per 8 p 11] quòd linea a g eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem
circuli b f, ſicut axis, cui æquidiſtat, [per 21 d 11. ] Et ſuperficies illius circuli, eſt pars ſuperficiei, e
o b f, ſecans ſcilicet columnam æquidiſtanter baſi. Igitur [per 3 d 11] angulus g b o eſt rectus, & an-
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib