225219OPTICAE LIBER VI.
rum, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) puncta dictæ rectæ intermedia à punctis dictæ peri-
pheriæ intermedijs reflectentur. 54. 42 p 8.
pheriæ intermedijs reflectentur. 54. 42 p 8.
SIt ergo ſpeculum ſphæricum concauum a b:
& extrahamus in ipſo ſpeculo ſuperficiem planã,
tranſeuntem per centrũ: & faciat circulũ a b circa centrũ e [faciet autem per 1 th. 1 ſphær. ] &
extrahamus in hoc circulo duas diametros ſe ſecãtes a e o, b e d: & ſpeculum nõ excedat arcũ
b a d o: & ponamus in b e punctum z, quocunq; modo ſit: & ponamus in linea a e punctum k: & ſit
a k maior quàm k e: & continuemus z k: & tranſeat ad f: & continuemus e f: & ſit angulus g f e æqua
lis angulo z f e. [per 23 p 1. ] Quia igitur [per 7 p 3] f k eſt maior k a, & k a eſt maior quàm k e: [ex
theſi] erit f k maior quàm k e: angulus ergo f e k maior eſt angulo e f k: [per 18 p 1] ergo eſt maior
angulo e f g. Linea ergo f g concurret cũ linea k e. [ſi enim non concurrat: erit ad ipſam parallela:
itaq; per 29 p 1 angulus e f g æquabitur angulo f e k, quo minor eſt concluſus. ] Concurrant ergo in
g. Duæ ergo lineæ z f, f g reflectuntur propter angu
195[Figure 195]t f h a ſ i k d r e z b c m o g los æquales z f e, g f e: [per 12 n 4] k ergo eſt imago
g, ſi uiſus fuerit in z [per 6 n 5. ] Et extrahamus li-
neam z l h quocunq; modo ſit: & cõtinuemus e h,
h g, z g: & extrahamus f e uſq; ad m. Proportio er-
go z m ad m g eſt, ſicut ꝓportio z f ad f g [per 3 p 6:
quia angulus g f z bifariam ſectus eſt per rectã e f]
& [per 7 p 3] z h eſt maior quàm z f, & g h eſt mi-
nor quàm g f. Ergo proportio z h ad g h eſt maior,
quàm proportio z f ad f g: [ut conſtat ex 8 p 5] eſt
ergo maior quàm proportio z m ad m g. Ergo [per
3 p 6] linea, quę diuidit angulũ z h g in duo æqua-
lia, ſecat lineã m g: ſecat ergo lineã e g. Secet ergo
lineam e g in r: ergo angulus g h e maior eſt angulo
z h e: & h z ſecet a e in l. Ergo duæ lineæ z h, h r re-
flectũtur propter angulos æquales: [r h e, z h e per
12 n 4] & erit l imago r. Dico ergo, quòd forma cu-
iuslibet puncti lineæ g r reflectitur ad uiſum z ex
puncto aliquo arcus f h, & non ex alio. Huius rei demonſtratio eſt, quoniam in capitulo de imagi-
ne, quinto tractatu in duabus figuris [66 n] dictum eſt, quòd duo arcus a b, d o non poſſunt eſſe ta
les, quòd ex illis reflectatur aliquid de linea e o ad z: & arcus e o non eſt de ſpeculo: [nam ex theſi
ab arcu ſpeculi b a d o fit reflexio, cũ ille tantùm ſub uiſum in diametro d b poſitum cadat] nõ ergo
remanet niſi arcus a d. Sed in triceſima quinta figura [66 n 5] dictum eſt, quòd forma cuiuslibet
pũcti diametri e o reflectitur ab aliquo puncto arcus a d. Et in triceſima ſexta, capitulo de imagine
[73 n 5] patuit, quòd nunquã reflectitur forma puncti lineæ g r ad z ex arcu a d, niſi ex ſolo puncto.
Forma ergo cuiuslibet puncti lineæ g r reflectitur ad z ex uno ſolo puncto arcus a d. Et ponamus
in linea g r punctum c. Dico ergo, quòd illud punctũ
196[Figure 196]q h f d u o g c r e a n m z b non erit, niſi in arcu fh. Sin autem reflectatur forma c
ad z ex u, quod eſt in arcu a f: & continuemus lineas
z u, e u, g u, c u. Linea ergo g u erit maior g f [per 7 p 3]
& z u eſt minor quàm z f. Ergo [ut cõſtat ex 8 p 5] ꝓ-
portio g u ad z u eſt maior proportione g f ad f z: ergo
maior proportione g m ad m z [quia enim angulus
g f z bifariam ſectus eſt per rectam f m: erit per 3 p 6 g f
ad f z, ſicut g m ad m z. ] Linea ergo, q̃ diuidit angulũ
g u z per æqualia, ſecat lineam z m: ſecat ergo z e: angu
lus ergo g u e eſt minor angulo e u z: ergo angulus c u
e multò minor eſt angulo e u z. [Itaq; cum anguli inci-
dentiæ & reflexionis ſint inæquales: nulla à puncto u
ad uiſum z fiet reflexio, ut patet per 12 n 4. ] Et ſimili-
ter de quolibet puncto arcus a u. Forma ergo c non re-
flectitur ad z, niſi ex arcu h f. Et dico, quòd non po-
teſt reflecti ex arcu h d. Quod ſi fuerit poſsibile: refle-
ctatur ex q, quod eſt in arcu h d: & continuemus lineas z q, c q, r q, e q, z r: & extrahamus e h ad n. Li-
nea ergo z q eſt maior quã z h [per 7 p 3], & linea q r eſt minor quàm h r: ergo proportio z q ad q r
eſt maior proportione z h ad h r: [ut patet per 8 p 5] quæ eſt, ſicut proportio z n ad n r [per 3 p 6:
quia angulus r h z bifariam ſectus eſt per rectam h n. ] Linea ergo, quæ diuidit angulum z q r in duo
æqualia, ſecat lineam n r: ſecat ergo lineam e r: angulus ergo r q e eſt maior angulo e q z: angulus er
go c q e eſt multò maior angulo e q z. Hoc idem ſequitur in omni puncto arcus h d. Forma ergo c
non reflectitur ad z ex arcu h d: neque ex arcu a f. Sed iam patuit, quòd omnino debet reflecti ex ar-
cu a d. Forma ergo c non reflectitur ad z, niſi ex aliquo puncto arcus f h [nam quòd à punctis h &
freflexio nulla fiat, patet per 74. 75 n 5. ] Reflectatur ergo ex t: & continuemus lineas c t, & z t. Quia
tranſeuntem per centrũ: & faciat circulũ a b circa centrũ e [faciet autem per 1 th. 1 ſphær. ] &
extrahamus in hoc circulo duas diametros ſe ſecãtes a e o, b e d: & ſpeculum nõ excedat arcũ
b a d o: & ponamus in b e punctum z, quocunq; modo ſit: & ponamus in linea a e punctum k: & ſit
a k maior quàm k e: & continuemus z k: & tranſeat ad f: & continuemus e f: & ſit angulus g f e æqua
lis angulo z f e. [per 23 p 1. ] Quia igitur [per 7 p 3] f k eſt maior k a, & k a eſt maior quàm k e: [ex
theſi] erit f k maior quàm k e: angulus ergo f e k maior eſt angulo e f k: [per 18 p 1] ergo eſt maior
angulo e f g. Linea ergo f g concurret cũ linea k e. [ſi enim non concurrat: erit ad ipſam parallela:
itaq; per 29 p 1 angulus e f g æquabitur angulo f e k, quo minor eſt concluſus. ] Concurrant ergo in
g. Duæ ergo lineæ z f, f g reflectuntur propter angu
195[Figure 195]t f h a ſ i k d r e z b c m o g los æquales z f e, g f e: [per 12 n 4] k ergo eſt imago
g, ſi uiſus fuerit in z [per 6 n 5. ] Et extrahamus li-
neam z l h quocunq; modo ſit: & cõtinuemus e h,
h g, z g: & extrahamus f e uſq; ad m. Proportio er-
go z m ad m g eſt, ſicut ꝓportio z f ad f g [per 3 p 6:
quia angulus g f z bifariam ſectus eſt per rectã e f]
& [per 7 p 3] z h eſt maior quàm z f, & g h eſt mi-
nor quàm g f. Ergo proportio z h ad g h eſt maior,
quàm proportio z f ad f g: [ut conſtat ex 8 p 5] eſt
ergo maior quàm proportio z m ad m g. Ergo [per
3 p 6] linea, quę diuidit angulũ z h g in duo æqua-
lia, ſecat lineã m g: ſecat ergo lineã e g. Secet ergo
lineam e g in r: ergo angulus g h e maior eſt angulo
z h e: & h z ſecet a e in l. Ergo duæ lineæ z h, h r re-
flectũtur propter angulos æquales: [r h e, z h e per
12 n 4] & erit l imago r. Dico ergo, quòd forma cu-
iuslibet puncti lineæ g r reflectitur ad uiſum z ex
puncto aliquo arcus f h, & non ex alio. Huius rei demonſtratio eſt, quoniam in capitulo de imagi-
ne, quinto tractatu in duabus figuris [66 n] dictum eſt, quòd duo arcus a b, d o non poſſunt eſſe ta
les, quòd ex illis reflectatur aliquid de linea e o ad z: & arcus e o non eſt de ſpeculo: [nam ex theſi
ab arcu ſpeculi b a d o fit reflexio, cũ ille tantùm ſub uiſum in diametro d b poſitum cadat] nõ ergo
remanet niſi arcus a d. Sed in triceſima quinta figura [66 n 5] dictum eſt, quòd forma cuiuslibet
pũcti diametri e o reflectitur ab aliquo puncto arcus a d. Et in triceſima ſexta, capitulo de imagine
[73 n 5] patuit, quòd nunquã reflectitur forma puncti lineæ g r ad z ex arcu a d, niſi ex ſolo puncto.
Forma ergo cuiuslibet puncti lineæ g r reflectitur ad z ex uno ſolo puncto arcus a d. Et ponamus
in linea g r punctum c. Dico ergo, quòd illud punctũ
196[Figure 196]q h f d u o g c r e a n m z b non erit, niſi in arcu fh. Sin autem reflectatur forma c
ad z ex u, quod eſt in arcu a f: & continuemus lineas
z u, e u, g u, c u. Linea ergo g u erit maior g f [per 7 p 3]
& z u eſt minor quàm z f. Ergo [ut cõſtat ex 8 p 5] ꝓ-
portio g u ad z u eſt maior proportione g f ad f z: ergo
maior proportione g m ad m z [quia enim angulus
g f z bifariam ſectus eſt per rectam f m: erit per 3 p 6 g f
ad f z, ſicut g m ad m z. ] Linea ergo, q̃ diuidit angulũ
g u z per æqualia, ſecat lineam z m: ſecat ergo z e: angu
lus ergo g u e eſt minor angulo e u z: ergo angulus c u
e multò minor eſt angulo e u z. [Itaq; cum anguli inci-
dentiæ & reflexionis ſint inæquales: nulla à puncto u
ad uiſum z fiet reflexio, ut patet per 12 n 4. ] Et ſimili-
ter de quolibet puncto arcus a u. Forma ergo c non re-
flectitur ad z, niſi ex arcu h f. Et dico, quòd non po-
teſt reflecti ex arcu h d. Quod ſi fuerit poſsibile: refle-
ctatur ex q, quod eſt in arcu h d: & continuemus lineas z q, c q, r q, e q, z r: & extrahamus e h ad n. Li-
nea ergo z q eſt maior quã z h [per 7 p 3], & linea q r eſt minor quàm h r: ergo proportio z q ad q r
eſt maior proportione z h ad h r: [ut patet per 8 p 5] quæ eſt, ſicut proportio z n ad n r [per 3 p 6:
quia angulus r h z bifariam ſectus eſt per rectam h n. ] Linea ergo, quæ diuidit angulum z q r in duo
æqualia, ſecat lineam n r: ſecat ergo lineam e r: angulus ergo r q e eſt maior angulo e q z: angulus er
go c q e eſt multò maior angulo e q z. Hoc idem ſequitur in omni puncto arcus h d. Forma ergo c
non reflectitur ad z ex arcu h d: neque ex arcu a f. Sed iam patuit, quòd omnino debet reflecti ex ar-
cu a d. Forma ergo c non reflectitur ad z, niſi ex aliquo puncto arcus f h [nam quòd à punctis h &
freflexio nulla fiat, patet per 74. 75 n 5. ] Reflectatur ergo ex t: & continuemus lineas c t, & z t. Quia