226220ALHAZEN
ergo t eſt inter duo pũcta f, h:
erit linea z t inter duas lineas z f, z h.
linea ergo z t ſecat lineam k l:
ſe-
cet ergo lineam ipſam in i: i igitur eſt imago t [per 6 n 5] & t nullam habet imaginem niſi i. [quia ab
uno tantùm puncto peripheriæ f h fit reflexio per 73 n 5. ] Et ſic declarabitur, quòd imago cuiusli-
bet puncti lineę g r eſt punctum lineæ k l: k l ergo eſt imago g r: & k l eſt linea recta: quia eſt pars ſe-
midiametri circuli, a e: & g r eſt linea recta, quia eſt pars ſemidiametri circuli, o e. Ergo comprehen
dit formam g r rectè in ſpeculo ſphærico a b. Et hoc eſt quod uoluimus.
cet ergo lineam ipſam in i: i igitur eſt imago t [per 6 n 5] & t nullam habet imaginem niſi i. [quia ab
uno tantùm puncto peripheriæ f h fit reflexio per 73 n 5. ] Et ſic declarabitur, quòd imago cuiusli-
bet puncti lineę g r eſt punctum lineæ k l: k l ergo eſt imago g r: & k l eſt linea recta: quia eſt pars ſe-
midiametri circuli, a e: & g r eſt linea recta, quia eſt pars ſemidiametri circuli, o e. Ergo comprehen
dit formam g r rectè in ſpeculo ſphærico a b. Et hoc eſt quod uoluimus.
46. In ſpeculo ſphærico cauo imagines linearum: conuexæ, cauæ, aliquando uidentur cõuexæ,
cauæ: eadeḿ obliquitate uiſum, qua ipſæ lineæ ſpeculum, reſpiciunt. 55 p 8.
cauæ: eadeḿ obliquitate uiſum, qua ipſæ lineæ ſpeculum, reſpiciunt. 55 p 8.
ET iteremus figurã, & conſtituamus ſuper lineam g r à duobus lateribus duos arcus, quomo-
docunq; ſint, ſcilicet g n r, g q r: & ſit arcus g n r non ſecans lineam g h: & ponamus in linea g r
punctum m, quomodocunq; ſit. Forma ergo m reflectitur ad z ex pũcto aliquo arcus f h [per
proximum numerum. ] reflectatur ergo ex t: & con
197[Figure 197]t f h a p k l i d e z b n r m o g q tinuemus lineas z t, & m t. Duo ergo anguli z t e,
e t m ſunt æquales [per theſin & 12 n 4. ] Linea ergo
m t ſecabit arcũ g n r: ſecet ergo in n: & extrahamus
lineã t m in parte m: ſecabit ergo g q r: ſecet ergo in
pũcto q: & cõtinuemus n e: & extrahatur rectè: ſeca
bit ergo z t ſub linea k l: ſecet ergo illã in i: & cõtinue
mus q e: & extrahamus ipſam rectè: ſecabit ergo z t
ſupra k l: ſecet ergo ipſam in p. Quia ergo duo angu
li ad t ſunt æquales: [per theſin & 12 n 4] erit i ima
go n: [per 6 n 5] & duo puncta k, l imagines duo-
rum punctorum g, r. Imago ergo arcus g n r, eſt linea
tranſiens per puncta k, i, l, ut linea k i l. Sed linea k i l
eſt conuexa ex parte uiſus z: & arcus g n r eſt con-
uexus ex parte ſpeculi. Ergo uiſus z comprehendet
formam lineæ g n r conuexæ, lineam conuexam. Et
quia duo anguli apud t ſunt æquales [nimirũ p t e,
q t e per theſin & 12 n 4] erit p etiam imago q [per
6 n 5] & erit linea l p k ex parte uiſus cõcaua: & eſt imago arcus g q r, cõcaui ex parte ſuperficiei ſp
culi. Ergo uiſus z comprehendet formam arcus g q r concaui, lineam concauam. In ſpeculis ergo
concauis ex quibuſdam ſitibus comprehenditur linea conuexa, conuexa: & concaua, concaua.
docunq; ſint, ſcilicet g n r, g q r: & ſit arcus g n r non ſecans lineam g h: & ponamus in linea g r
punctum m, quomodocunq; ſit. Forma ergo m reflectitur ad z ex pũcto aliquo arcus f h [per
proximum numerum. ] reflectatur ergo ex t: & con
197[Figure 197]t f h a p k l i d e z b n r m o g q tinuemus lineas z t, & m t. Duo ergo anguli z t e,
e t m ſunt æquales [per theſin & 12 n 4. ] Linea ergo
m t ſecabit arcũ g n r: ſecet ergo in n: & extrahamus
lineã t m in parte m: ſecabit ergo g q r: ſecet ergo in
pũcto q: & cõtinuemus n e: & extrahatur rectè: ſeca
bit ergo z t ſub linea k l: ſecet ergo illã in i: & cõtinue
mus q e: & extrahamus ipſam rectè: ſecabit ergo z t
ſupra k l: ſecet ergo ipſam in p. Quia ergo duo angu
li ad t ſunt æquales: [per theſin & 12 n 4] erit i ima
go n: [per 6 n 5] & duo puncta k, l imagines duo-
rum punctorum g, r. Imago ergo arcus g n r, eſt linea
tranſiens per puncta k, i, l, ut linea k i l. Sed linea k i l
eſt conuexa ex parte uiſus z: & arcus g n r eſt con-
uexus ex parte ſpeculi. Ergo uiſus z comprehendet
formam lineæ g n r conuexæ, lineam conuexam. Et
quia duo anguli apud t ſunt æquales [nimirũ p t e,
q t e per theſin & 12 n 4] erit p etiam imago q [per
6 n 5] & erit linea l p k ex parte uiſus cõcaua: & eſt imago arcus g q r, cõcaui ex parte ſuperficiei ſp
culi. Ergo uiſus z comprehendet formam arcus g q r concaui, lineam concauam. In ſpeculis ergo
concauis ex quibuſdam ſitibus comprehenditur linea conuexa, conuexa: & concaua, concaua.
47. In ſpeculo ſphærico cauo lineæ: recta, & curua conuexa parte ſpeculum reſpiciens, habent
aliquando imagines curuas: recta quatuor: curua unam: omneś caua parte uiſum reſpi-
ciunt. 56 p 8.
aliquando imagines curuas: recta quatuor: curua unam: omneś caua parte uiſum reſpi-
ciunt. 56 p 8.
ITem:
ſit ſpeculum concauum:
in quo ſit circulus a b d maximus:
& centrum g:
& extrahamus
lineam b g, quomodocunq; ſit: & diuidamus ex ipſa lineam g t maiorem medietate: & extraha-
mus ext lineam e t z perpendicularẽ ſuper b g: & ſit utraq; e t, t z æqualis t g [per 3 p 1. ] Et cõti-
nuemus e g, g z: & deſcribamus circa triangulũ e g z circulũ: [per 5 p 4] ſecabit ergo circulũ a b d in
duobus punctis: [per 10 p 3] nam punctũ t eſt centrũ huius circuli [per 9 p 3: æquatæ enim ſunt
rectæ e t, t z, t g] & t g eſt maior t b. Secet ergo circulus iſte circulum a b d in punctis a, d: & conti-
nuemus lineas g a, g d, e a, e b, e d, z a, z b, z d. Quia ergo duæ lineæ e t, t z ſunt æquales: erunt duæ
lineæ e g, g z æquales: [per 4 p 1: quia t g communis eſt, & anguli ad t per fabricationem recti ſunt]
& ſimiliter e b, b z æquales. Et quia duo arcus e g, g z ſunt æquales: [per 28 p 3: quia ſubtenduntur
a b æqualibus rectis e g, g z] duæ lineæ e a, a z reflectentur inter ſe propter angulos æquales [nam
anguli e a g, z a g per 27 p 3 æquantur] & duæ lineæ e b, b z reflectentur inter ſe propter angulos [
b g, z b g] æquales [per 27 p 3. ] Et quia g t eſt maior quàm t b: [ex theſi] erit g e maior quàm e b.
[Quia enim anguli ad t ſunt recti per fabricationem, æquabitur per 47 p 1 quadratum e g quadra-
tis g t, e t: item quadratum e b quadratis b t, e t: itaque cum quadratum g t ſit maius quadrato t b:
quia g t maior eſt t b ex theſi: ſubducto communi e t: erit per 5 ax. quadratum e g maius quadra-
to e b: ideoq́ue latus e g maius latere e b. ] Angulus ergo e b g eſt maior angulo e g b [per 18 p 1] &
angulus e g b eſt ſemirectus. [Quia enim angulus ad t rectus eſt per fabricationem, & t e g, t g e æ-
quales per 5 p 1: quia e t, g t æquales poſitæ ſunt: erit eorum quilibet dimidius unius recti per 32 p 1. ]
Igitur duo anguli e g b, e b g ſimul ſunt maiores recto: ergo angulus b e g eſt recto minor: [ք 32 p 1]
& angulus e g z eſt rectus [ք 31 p 3. ] Ergo duæ lineæ e b, g z cõcurrẽt extra circulũ in parte b z [ք 11
ax. ] Cõcurrant ergo in l. Et quia e d eſt intra triangulũ l e g: cõcurret cũlinea g m: cõcurrat ergo in
m. Et quia g b trãſit per centrũ z e g circuli: erit portio a g minor ſemicirculo: ergo [ք 31 p 3] angulus
a e g eſt obtuſus, & angulus e g z eſt rectus. Ergo illæ duæ lineæ a e, z g cõcurrẽt in parte e g [erunt
enim anguli ad e & g dictis angulis deinceps, minores duobus rectis per 13 p 1. Quare cõcurrent ex
parte e g per 11 ax. ] Concurrant ergo in f. Si ergo uiſus fuerit in e, & z in aliquo uiſibili: tunc puncta
lineam b g, quomodocunq; ſit: & diuidamus ex ipſa lineam g t maiorem medietate: & extraha-
mus ext lineam e t z perpendicularẽ ſuper b g: & ſit utraq; e t, t z æqualis t g [per 3 p 1. ] Et cõti-
nuemus e g, g z: & deſcribamus circa triangulũ e g z circulũ: [per 5 p 4] ſecabit ergo circulũ a b d in
duobus punctis: [per 10 p 3] nam punctũ t eſt centrũ huius circuli [per 9 p 3: æquatæ enim ſunt
rectæ e t, t z, t g] & t g eſt maior t b. Secet ergo circulus iſte circulum a b d in punctis a, d: & conti-
nuemus lineas g a, g d, e a, e b, e d, z a, z b, z d. Quia ergo duæ lineæ e t, t z ſunt æquales: erunt duæ
lineæ e g, g z æquales: [per 4 p 1: quia t g communis eſt, & anguli ad t per fabricationem recti ſunt]
& ſimiliter e b, b z æquales. Et quia duo arcus e g, g z ſunt æquales: [per 28 p 3: quia ſubtenduntur
a b æqualibus rectis e g, g z] duæ lineæ e a, a z reflectentur inter ſe propter angulos æquales [nam
anguli e a g, z a g per 27 p 3 æquantur] & duæ lineæ e b, b z reflectentur inter ſe propter angulos [
b g, z b g] æquales [per 27 p 3. ] Et quia g t eſt maior quàm t b: [ex theſi] erit g e maior quàm e b.
[Quia enim anguli ad t ſunt recti per fabricationem, æquabitur per 47 p 1 quadratum e g quadra-
tis g t, e t: item quadratum e b quadratis b t, e t: itaque cum quadratum g t ſit maius quadrato t b:
quia g t maior eſt t b ex theſi: ſubducto communi e t: erit per 5 ax. quadratum e g maius quadra-
to e b: ideoq́ue latus e g maius latere e b. ] Angulus ergo e b g eſt maior angulo e g b [per 18 p 1] &
angulus e g b eſt ſemirectus. [Quia enim angulus ad t rectus eſt per fabricationem, & t e g, t g e æ-
quales per 5 p 1: quia e t, g t æquales poſitæ ſunt: erit eorum quilibet dimidius unius recti per 32 p 1. ]
Igitur duo anguli e g b, e b g ſimul ſunt maiores recto: ergo angulus b e g eſt recto minor: [ք 32 p 1]
& angulus e g z eſt rectus [ք 31 p 3. ] Ergo duæ lineæ e b, g z cõcurrẽt extra circulũ in parte b z [ք 11
ax. ] Cõcurrant ergo in l. Et quia e d eſt intra triangulũ l e g: cõcurret cũlinea g m: cõcurrat ergo in
m. Et quia g b trãſit per centrũ z e g circuli: erit portio a g minor ſemicirculo: ergo [ք 31 p 3] angulus
a e g eſt obtuſus, & angulus e g z eſt rectus. Ergo illæ duæ lineæ a e, z g cõcurrẽt in parte e g [erunt
enim anguli ad e & g dictis angulis deinceps, minores duobus rectis per 13 p 1. Quare cõcurrent ex
parte e g per 11 ax. ] Concurrant ergo in f. Si ergo uiſus fuerit in e, & z in aliquo uiſibili: tunc puncta