22947
THEOR. XXII. PROP. XXXVII.
Proportionalia Acuminata, quorum baſes eorum altitudini-
bus ſint reciprocè proportionales, ſunt inter ſe æqualia.
bus ſint reciprocè proportionales, ſunt inter ſe æqualia.
SInt duo proportionalia Acuminata A B C, D E F, quorum diametri
ſint B G, E H, altitudines verò B I, E L, quæ inter ſe reciprocam
habeant rationem baſium A C, D F; ſiue ſit vt A C ad D F, ita E L ad
B I. Dico huiuſmodi Acuminata inter ſe æqualia eſſe.
ſint B G, E H, altitudines verò B I, E L, quæ inter ſe reciprocam
habeant rationem baſium A C, D F; ſiue ſit vt A C ad D F, ita E L ad
B I. Dico huiuſmodi Acuminata inter ſe æqualia eſſe.
Si enim poſſibile eſt,
192[Figure 192]
ſit alterum ipſorum,
nempe A B C reliquo D
E F minus, & per con-
tinuam diametri B G
biſectionem, iuxta vul-
gatam methodum, cir-
cumſcribatur ipſi A B
C, figura exparallelo-
grammis conſtans æ-
qualium altitudinum A
L, M N, & c. quorum
altitudines I T, T V, & c.
æquales erunt (cum
altitudo B I in tot æ-
quales partes diuidatur
ab æquidiſtantibus parallelogrammorum baſibus A C, M O, & c. in quot
partes diameter B G ſecta fuit) huiuſmodi autem circumſcripta figura ex
parallelogrammis, acuminatum A B C ſuperet minori exceſſu, quò acu-
minatum D E F ponitur excedere idem acuminatum A B C, adeo vt ipſa
circumſcripta A B N L C ſit adhuc minor acuminato D E F, cui circum-
ſcribatur item figura D E R P F ex totidem parallelogrammis D P, Q R & c.
æqualium altitudinum K X, X Y, & c.
nempe A B C reliquo D
E F minus, & per con-
tinuam diametri B G
biſectionem, iuxta vul-
gatam methodum, cir-
cumſcribatur ipſi A B
C, figura exparallelo-
grammis conſtans æ-
qualium altitudinum A
L, M N, & c. quorum
altitudines I T, T V, & c.
æquales erunt (cum
altitudo B I in tot æ-
quales partes diuidatur
ab æquidiſtantibus parallelogrammorum baſibus A C, M O, & c. in quot
partes diameter B G ſecta fuit) huiuſmodi autem circumſcripta figura ex
parallelogrammis, acuminatum A B C ſuperet minori exceſſu, quò acu-
minatum D E F ponitur excedere idem acuminatum A B C, adeo vt ipſa
circumſcripta A B N L C ſit adhuc minor acuminato D E F, cui circum-
ſcribatur item figura D E R P F ex totidem parallelogrammis D P, Q R & c.
æqualium altitudinum K X, X Y, & c.
Iam, cum ſit baſis A C ad D F, vt altitudo E K ad B I, vel vt ſubmul-
tiplex K X ad æque-ſubmultiplicem I T, erit parallelogrammum A L, æ-
quale parallelogrammo D P. Et cum, ex conſtructione, ſit G B ad B Z,
vt H E ad E 3, erit, ex definitione proportionalium acuminatorum, A C
ad D F, vt M O ad Q S, ſed A C ad D F eſt vt E K ad B I, ergo, & M
O ad Q S erit vt E K ad B I, vel vt ſubmultiplex X Y ad æque-ſubmul-
tiplicem T V: parallelogrammum igitur M N æquatur parallelogrammo
Q R; & ſic de reliquis, ſingula ſingulis: ergo vniuerſa figura A B N L C
æqualis erit vniuerſæ D E R P F, ſed figura A B N L C facta eſt minor
acuminato D E F, quare figura D E R P F erit quoque minor eodem ſibi
inſcripto acuminato D E F: totum parte, quod eſt abſurdum. Nullum
ergo horum acuminatorum eſt reliquo minus, quapropter æqualia eſſe
inter ſe neceſſe eſt. Quod erat demonſtrandum.
tiplex K X ad æque-ſubmultiplicem I T, erit parallelogrammum A L, æ-
quale parallelogrammo D P. Et cum, ex conſtructione, ſit G B ad B Z,
vt H E ad E 3, erit, ex definitione proportionalium acuminatorum, A C
ad D F, vt M O ad Q S, ſed A C ad D F eſt vt E K ad B I, ergo, & M
O ad Q S erit vt E K ad B I, vel vt ſubmultiplex X Y ad æque-ſubmul-
tiplicem T V: parallelogrammum igitur M N æquatur parallelogrammo
Q R; & ſic de reliquis, ſingula ſingulis: ergo vniuerſa figura A B N L C
æqualis erit vniuerſæ D E R P F, ſed figura A B N L C facta eſt minor
acuminato D E F, quare figura D E R P F erit quoque minor eodem ſibi
inſcripto acuminato D E F: totum parte, quod eſt abſurdum. Nullum
ergo horum acuminatorum eſt reliquo minus, quapropter æqualia eſſe
inter ſe neceſſe eſt. Quod erat demonſtrandum.