229223OPTICAE LIBER VI.
31 p 3.
Quare ſemiperipheria l f d æquatur ſemiperipheriæ l z d:
& peripheria d m æquatur periphe-
riæ d h per 28 p 3, quia d m, d h æquatæ ſunt: reliqua igitur l f m æquatur reliquę l z h] & arcus
m f eſt æqualis arcui z h. [Nam propter æqualitatem ſemidiametrorum d f, & d z, ęquantur periphe
riæ d m f, d h z per 28 p 3: & per eandem peripheriæ d m & d h ęquales concluſæ ſunt: reliqua igitur
m f æquatur reliquæ z h. ] Ergo arcus l f eſt ęqualis arcui l z [per 3 ax: quare per 27 p 3 anguli l d f, l d
z ęquabuntur. ] Et continuemus lineas h b, h f, f m, b m, f z, f b. Angulus ergo b h d eſt acutus [quia
l h d rectus eſt concluſus] & angulus g d h rectus [per fabricationem. ] Ergo linea h b concurret cũ
linea d g extra circulum [per 11 ax. ] Concurrant ergo in q: h f ergo concurret etiam cum d g extra
circulum [eadem de cauſſa. ] Concurrant ergo in n. Et extrahamus f b, quouſque ſecet arcum l z:
ſecet ergo in r: & continuemus r m: angulus ergo f r m, qui eſt in circumferentia, reſpicit arcum f m:
& [per 16 p 1] angulus f b m eſt maior angulo f r m: & angulus f b m eſt in circumferentia a b g. Ergo
ſi b m linea extrahatur ex parte m: abſcindet de circulo a b g arcum maiorem ſimili arcui f m circuli
l h d [per 33 p 6] & arcus f m eſt ſimilis duplo arcus f e: [angulus enim duplus anguli f d e in periphe
ria circuli a b g conſtituti, inſiſtit in peripheriam duplam peripheriæ f e per 33 p 6] & arcus f e eſt æ-
qualis arcui a z: [quia enim anguli a d b, e d b ęquantur propter angulum a d e per rectam b d bifa-
riam ſectum: & z d b, f d b per concluſionem: ęquabitur reliquus a d z reliquo f d e: ideoq́ue peri-
pherię a z peripherię f e per 26 p 3] & arcus a z eſt ęqualis arcui e g [per 26 p 3: quia angulus a d z
ęquatus eſt angulo e d g. ] Ergo arcus f e eſt ęqualis arcui e g: ergo arcus g f eſt duplus arcus g e: er
go arcus g f eſt ſimilis arcui f m. Si ergo b m extrahatur rectè in partem m: abſcindet de circulo a b g
arcum ultra punctum g, maiorem arcu f g. Linea ergo b m ſecabit lineam d g inter duo puncta g, d.
Secet ergo in o: & extrahamus lineam f m: & ſecet d o in u: [ſecabit autem: quia ſecat angulum
d m o à baſi d o ſubtenſum] & extrahamus b m in parte b: & ſecet arcum l r in c: & continuemus
c d. Quia ergo angulus b f z eſt in circumferentia a b g: erit [per 20 p 3] angulus b f z dimidius angu
li b d z: ſed angulus b d z eſt multiplus anguli z d a: [è fabricatione] ergo angulus b f z eſt multi-
plus anguli z d h: ergo [per 33 p 6] arcus r z eſt multiplus arcus z h: & arcus c z eſt maior arcu r z
[per 9 axiom. ] ergo arcus c z eſt multiplus arcus z h. Et continuemus c h: angulus ergo c h d cum
angulo c m d, eſt æqualis duobus rectis: [per 22 p 3] ergo angulus c h d eſt æqualis angulo b m e.
[Nam per 13 p 1 anguli c m d, c m e ęquantur duobus rectis, quibus etiam ęquantur per proximam
concluſionem c h d, c m d: communi igitur c m d ſubducto, reliquus c h d æquabitur reliquo c m e
ſeu b m e. ] Sed angulus z h d addit ſuper angulum c h d, angulum c h z, qui eſt æqualis angulo c
d z: [per 27 p 3: quia uterque inſiſtit in eandem peripheriam c z] & angulus c d z eſt multiplus an-
guli z d a, [per 33 p 6: quia peripheria c z multiplex oſtenſa eſt peripheriæ z h. ] Ergo angulus c h z
eſt multiplus anguli e d g: [quia multiplex eſt ad angulum z d h, æqualem ipſi e d g. ] Ergo angu-
lus z h d excedit angulum c h d multiplo anguli e d g. Angulus ergo z h d eſt æqualis angulo f m d:
quia arcus f m d eſt ęqualis arcui z h d [per concluſionem. Itaque per 2 ax. peripheria z f d, in quam
inſiſtit angulus z h d, ęquabitur peripheriæ f z d, in quam inſſtit angulus f m d: & idcirco z h d æ-
quabitur f m d per 27 p 3] & angulus c h d, ut declarauimus, eſt ęqualis angulo b m e. Ergo angu-
lus f m d excedit angulum b m e multiplo anguli e d g: ergo angulus f m d excedit angulum o m d
multiplo anguli e d g: [quia angulus o m d ęquatur angulo b m e per 15 p 1] & angulus m o g exce-
dit angulum o m d angulo e d g [nam angulus m o g æquatur angulis o m d & e d g per 32 p 1. ] Er-
go angulus f m d excedit angulum m o g, multiplo anguli e d g: & angulus f m d excedit angulum
m u d, angulo e d g ſolo: [quia per 32 p 1 æquatur angulis m d u ſeu e d g & m u d] ergo angulus m u d
eſt maior angulo m o g: ergo angulus m o u eſt maior angulo m u o: [Nam quia anguli ad u dein-
ceps ęquantur angulis ad o deinceps per 13 p 1: & m u d maior concluſus m o g: reliquus igitur m o u
maior eſt reliquo m u o] ergo [per 19 p 1] linea m u eſt maior linea m o. Et quia arcus z h d eſt ęqua
lis arcui f m d: erunt duo anguli h f d, m f d æquales [per 27 p 3: quia peripheriæ h d, m d æquales
ſunt concluſæ. ] Duæ ergo lineæ h f, f u reflectentur æqualiter: & ſimiliter h b, b o reflectentur ęqua
liter [propter concluſam æqualitatem angulorum h b d, o b d] q ergo eſt imago o: & n imago u [per
6 n 5. ] Et extrahamus ex m lineam æquidiſtantem lineæ h q [per 31 p 1] & ſit m s: & extrahamus ex
m etiam lineam æquidiſtantem lineæ h n: & ſit m p. Quia ergo [per 16 p 1] angulus h n d eſt maior
angulo h q d: erit angulus m p o maior angulo m s o. [nam per 29 p 1 angulus m s o æ quatur angu-
lo ad q, & angulus m p o æquatur angulo ad n] p ergo erit inter duo puncta s, u. Et quia angulus
h d n eſt rectus [ex theſi: ] erit angulus h n d acutus [per 32 p 1] ergo angulus m p d eſt acutus: ergo
[per 13 p 1] angulus m p s eſt obtuſus: ergo [per 19 p 1] linea m s eſt maior, quàm m p: ſed m u eſt ma-
ior, quàm m o, ut diximus: ergo proportio s m ad m o eſt maior, quàm proportio p m ad m u: [ut
patet per 8 p 5] & [per 29 p 1. 4 p 6] proportio s m ad m o eſt, ſicut proportio q b ad b o: quia m s eſt
æquidiſtans b q: & ſimiliter proportio p m ad m u eſt, ſicut proportio n f a d f u: ergo [per 11 p 5] pro-
portio q b ad b o eſt maior, quàm proportio n f ad f u: & proportio q b ad b o eſt, ſicut proportio q d
ad d o: & proportio n f ad f u eſt, ſicut proportio n d ad d u, ut declarauimus in capitulo de imagine
[64 n 5. ] Ergo proportio q d ad d o eſt maior, quàm proportio n d ad d u. [Eſt autem q, imago pun-
cti o, à centro ſpeculi d longinquior: & o punctum uiſibilis ab eodem centro eſt lon-
ginquius. n uerò, imago puncti u centro ſpeculi d eſt propinquior: & u
alterum uiſibilis punctum eodem centro d eſt propinquius. ]
Quare patet propoſitum.
riæ d h per 28 p 3, quia d m, d h æquatæ ſunt: reliqua igitur l f m æquatur reliquę l z h] & arcus
m f eſt æqualis arcui z h. [Nam propter æqualitatem ſemidiametrorum d f, & d z, ęquantur periphe
riæ d m f, d h z per 28 p 3: & per eandem peripheriæ d m & d h ęquales concluſæ ſunt: reliqua igitur
m f æquatur reliquæ z h. ] Ergo arcus l f eſt ęqualis arcui l z [per 3 ax: quare per 27 p 3 anguli l d f, l d
z ęquabuntur. ] Et continuemus lineas h b, h f, f m, b m, f z, f b. Angulus ergo b h d eſt acutus [quia
l h d rectus eſt concluſus] & angulus g d h rectus [per fabricationem. ] Ergo linea h b concurret cũ
linea d g extra circulum [per 11 ax. ] Concurrant ergo in q: h f ergo concurret etiam cum d g extra
circulum [eadem de cauſſa. ] Concurrant ergo in n. Et extrahamus f b, quouſque ſecet arcum l z:
ſecet ergo in r: & continuemus r m: angulus ergo f r m, qui eſt in circumferentia, reſpicit arcum f m:
& [per 16 p 1] angulus f b m eſt maior angulo f r m: & angulus f b m eſt in circumferentia a b g. Ergo
ſi b m linea extrahatur ex parte m: abſcindet de circulo a b g arcum maiorem ſimili arcui f m circuli
l h d [per 33 p 6] & arcus f m eſt ſimilis duplo arcus f e: [angulus enim duplus anguli f d e in periphe
ria circuli a b g conſtituti, inſiſtit in peripheriam duplam peripheriæ f e per 33 p 6] & arcus f e eſt æ-
qualis arcui a z: [quia enim anguli a d b, e d b ęquantur propter angulum a d e per rectam b d bifa-
riam ſectum: & z d b, f d b per concluſionem: ęquabitur reliquus a d z reliquo f d e: ideoq́ue peri-
pherię a z peripherię f e per 26 p 3] & arcus a z eſt ęqualis arcui e g [per 26 p 3: quia angulus a d z
ęquatus eſt angulo e d g. ] Ergo arcus f e eſt ęqualis arcui e g: ergo arcus g f eſt duplus arcus g e: er
go arcus g f eſt ſimilis arcui f m. Si ergo b m extrahatur rectè in partem m: abſcindet de circulo a b g
arcum ultra punctum g, maiorem arcu f g. Linea ergo b m ſecabit lineam d g inter duo puncta g, d.
Secet ergo in o: & extrahamus lineam f m: & ſecet d o in u: [ſecabit autem: quia ſecat angulum
d m o à baſi d o ſubtenſum] & extrahamus b m in parte b: & ſecet arcum l r in c: & continuemus
c d. Quia ergo angulus b f z eſt in circumferentia a b g: erit [per 20 p 3] angulus b f z dimidius angu
li b d z: ſed angulus b d z eſt multiplus anguli z d a: [è fabricatione] ergo angulus b f z eſt multi-
plus anguli z d h: ergo [per 33 p 6] arcus r z eſt multiplus arcus z h: & arcus c z eſt maior arcu r z
[per 9 axiom. ] ergo arcus c z eſt multiplus arcus z h. Et continuemus c h: angulus ergo c h d cum
angulo c m d, eſt æqualis duobus rectis: [per 22 p 3] ergo angulus c h d eſt æqualis angulo b m e.
[Nam per 13 p 1 anguli c m d, c m e ęquantur duobus rectis, quibus etiam ęquantur per proximam
concluſionem c h d, c m d: communi igitur c m d ſubducto, reliquus c h d æquabitur reliquo c m e
ſeu b m e. ] Sed angulus z h d addit ſuper angulum c h d, angulum c h z, qui eſt æqualis angulo c
d z: [per 27 p 3: quia uterque inſiſtit in eandem peripheriam c z] & angulus c d z eſt multiplus an-
guli z d a, [per 33 p 6: quia peripheria c z multiplex oſtenſa eſt peripheriæ z h. ] Ergo angulus c h z
eſt multiplus anguli e d g: [quia multiplex eſt ad angulum z d h, æqualem ipſi e d g. ] Ergo angu-
lus z h d excedit angulum c h d multiplo anguli e d g. Angulus ergo z h d eſt æqualis angulo f m d:
quia arcus f m d eſt ęqualis arcui z h d [per concluſionem. Itaque per 2 ax. peripheria z f d, in quam
inſiſtit angulus z h d, ęquabitur peripheriæ f z d, in quam inſſtit angulus f m d: & idcirco z h d æ-
quabitur f m d per 27 p 3] & angulus c h d, ut declarauimus, eſt ęqualis angulo b m e. Ergo angu-
lus f m d excedit angulum b m e multiplo anguli e d g: ergo angulus f m d excedit angulum o m d
multiplo anguli e d g: [quia angulus o m d ęquatur angulo b m e per 15 p 1] & angulus m o g exce-
dit angulum o m d angulo e d g [nam angulus m o g æquatur angulis o m d & e d g per 32 p 1. ] Er-
go angulus f m d excedit angulum m o g, multiplo anguli e d g: & angulus f m d excedit angulum
m u d, angulo e d g ſolo: [quia per 32 p 1 æquatur angulis m d u ſeu e d g & m u d] ergo angulus m u d
eſt maior angulo m o g: ergo angulus m o u eſt maior angulo m u o: [Nam quia anguli ad u dein-
ceps ęquantur angulis ad o deinceps per 13 p 1: & m u d maior concluſus m o g: reliquus igitur m o u
maior eſt reliquo m u o] ergo [per 19 p 1] linea m u eſt maior linea m o. Et quia arcus z h d eſt ęqua
lis arcui f m d: erunt duo anguli h f d, m f d æquales [per 27 p 3: quia peripheriæ h d, m d æquales
ſunt concluſæ. ] Duæ ergo lineæ h f, f u reflectentur æqualiter: & ſimiliter h b, b o reflectentur ęqua
liter [propter concluſam æqualitatem angulorum h b d, o b d] q ergo eſt imago o: & n imago u [per
6 n 5. ] Et extrahamus ex m lineam æquidiſtantem lineæ h q [per 31 p 1] & ſit m s: & extrahamus ex
m etiam lineam æquidiſtantem lineæ h n: & ſit m p. Quia ergo [per 16 p 1] angulus h n d eſt maior
angulo h q d: erit angulus m p o maior angulo m s o. [nam per 29 p 1 angulus m s o æ quatur angu-
lo ad q, & angulus m p o æquatur angulo ad n] p ergo erit inter duo puncta s, u. Et quia angulus
h d n eſt rectus [ex theſi: ] erit angulus h n d acutus [per 32 p 1] ergo angulus m p d eſt acutus: ergo
[per 13 p 1] angulus m p s eſt obtuſus: ergo [per 19 p 1] linea m s eſt maior, quàm m p: ſed m u eſt ma-
ior, quàm m o, ut diximus: ergo proportio s m ad m o eſt maior, quàm proportio p m ad m u: [ut
patet per 8 p 5] & [per 29 p 1. 4 p 6] proportio s m ad m o eſt, ſicut proportio q b ad b o: quia m s eſt
æquidiſtans b q: & ſimiliter proportio p m ad m u eſt, ſicut proportio n f a d f u: ergo [per 11 p 5] pro-
portio q b ad b o eſt maior, quàm proportio n f ad f u: & proportio q b ad b o eſt, ſicut proportio q d
ad d o: & proportio n f ad f u eſt, ſicut proportio n d ad d u, ut declarauimus in capitulo de imagine
[64 n 5. ] Ergo proportio q d ad d o eſt maior, quàm proportio n d ad d u. [Eſt autem q, imago pun-
cti o, à centro ſpeculi d longinquior: & o punctum uiſibilis ab eodem centro eſt lon-
ginquius. n uerò, imago puncti u centro ſpeculi d eſt propinquior: & u
alterum uiſibilis punctum eodem centro d eſt propinquius. ]
Quare patet propoſitum.
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib