233227OPTICAE LIBER VI.
bus punctis h, t:
& media earum erunt diſtincta & ſeparata:
& h t eſt diameter imaginis s i, quocun-
que modo fuerit imago: & diameter eſt cõmunis omnibus imaginibus eius, ſi plures habuerit ima-
gines: & linea h t eſt maior, quàm si, modica quantitate. Patet ergo, quòd cum lineæ rectæ, æquidi-
ſtantes axi columnaris ſpeculi concaui fuerint in aliquo uiſibili: imago earum fortè erit recta aut
concaua, & fortè una, aut plures.
que modo fuerit imago: & diameter eſt cõmunis omnibus imaginibus eius, ſi plures habuerit ima-
gines: & linea h t eſt maior, quàm si, modica quantitate. Patet ergo, quòd cum lineæ rectæ, æquidi-
ſtantes axi columnaris ſpeculi concaui fuerint in aliquo uiſibili: imago earum fortè erit recta aut
concaua, & fortè una, aut plures.
52. Si uiſ{us} à terminis lineæ rectæ æquabiliter diſtans, ſit extra ipſi{us} planum, perpendicula
re plano axis ſpeculi cylindr acei caui: imago uidebitur maximè caua. 27 p 9.
re plano axis ſpeculi cylindr acei caui: imago uidebitur maximè caua. 27 p 9.
ITem:
iteremus ſecundam figuram de fallacijs ſpeculorum columnarium conuexorum [29 n.
]
In hac autem figura dictum eſt: quòd duæ lineæ e b, h b reflectuntur ſecũdum angulos æquales:
& quòd duæ lineæ e g, t g reflectuntur ſecundum angulos æquales: & quòd h b, t g perueniunt
a d l: & h b continet cum b o angulum acutum. Ergo h b ſecat ſuperficiem, contingentem columnam
in b: b l ergo eſt ſub concauitate columnæ: & ſimiliter g l: & ſimiliter duæ lineæ b r, g y: & duo angu-
li l b d, d b r ſunt æquales [quia per 15 p 1 æquantur angulis e b o, h b o æqualibus] & ſimiliter l g d, g
d y ſunt æquales. Si ergo r y fuerit in aliquo uiſibili, & uiſus fuerit in l, & ſuperficies concaua colu-
mnæ fuerit terſa: tunc forma r extenditur per r b, & peruenit ad b, & reflectitur ք b l: & perueniet ad
l, & comprehendetur in l. Et linea h u eſt perpendicularis ſuper lineam, contingentem ſectionem,
ex cuius circumferentia reflectentur duæ lineæ b r, b l: h ergo eſt imago r [per 7 n 5. ] Similiter decla
rabitur, quòd forma y extenditur per y g, & reflectitur ք g l: & imago eius eſt t. Et continuemus q u:
ſecabit ergo r y in m: m ergo eſt in ſuperficie tranſeunte per axem & per l: nam l & q ſunt in hac ſu-
perficie, [ut demonſtratum eſt 29 n. ] Ergo q u eſt in hac ſuperficie [nam 29 n oſten ſum eſt, quòd
planum ductum per uiſum & axem ſpeculi, in quo eſt linea e l d, ſecat lineam h t in puncto q: eſtq́ue
punctum u in linea e l d: linea igitur q u eſt in plano per uiſum & axem ſpeculi ducto per 1 p 11: ideõ-
que & punctum m. ] Et quia duo puncta m, l ſunt in ſuperficie tranſeunte per axem columnæ: ideo
forma m reflectetur ad l in hac ſuperficie. Et quia a z eſt differentia communis inter columnę ſuper-
ficiem, & ſuperficiem, tranſeuntem per ſuum axem, & per l: forma ergo m reflectetur à linea a z. Et
continuemus e m, quæ eſt in hac ſuperficie: & e l
203[Figure 203]u r h d x b y m ſ o n f g i k q z t c c s a eſt in hac ſuperficie: & punctum e eſt elongatum à
ſuperficie contingente ſuperficiem columnæ in li-
nea a z [ut patuit 29 n. ] Ergo ſi a z extrahatur re-
ctè in parte z: concurret cum duabus lineis e m,
e l. Concurrat ergo cum e m in i, & cum e l in n:
ergo n eſt inter duo puncta e, l: quia l eſt intra con
cauitatem columnæ, & n eſt in ſuperficie colu-
mnæ: & e eſt elõgatum à columna: & in dem on-
ſtratione huius figuræ [29 n] patuit, quòd circu-
lus b g eſt medius inter lineam h t, & ſuperficiem
exeuntem ex e, æ quidiſtantem baſibus columnæ:
& perpendicularis, quæ exit ex e ſuper a z, eſt in ſu
perficie exeunte ex e, æ quidiſtante columnæ. Er-
go perpendicularis, quæ exit ex e ſuper lineam a
z n, cadit extra triangulum e i n, & in parte n: angu
lus ergo e i n eſt acutus: [per 32 p 1] ergo [per 15 p
1] angulus m i a eſt acutus: ergo m i n obtuſus [per
13 p 1. ] Extrahamus ergo ex m perpendicularem
ſuper a i [per 12 p 1] & ſit m k: k ergo erit ultra i,
reſpectu 11. [ſi enim caderet inter i & n: eſſent triã-
guli tres anguli maiores duobus rectis contra 32
p 1: quia angulus m i n obtuſus eſt concluſus. ] Et
extrahamus m k ex parte k, in s: & diuidamus k s
ad æqualitatem k m: ergo s erit extra ſuperficiem
ſpeculi, & ultra concauitatem eius, & l erit ſub concauitate eius. Et continuemus l s: ſecabit ergo
n k in f: & ex f extrahamus f x ad æquidiſtantiam m k. Cum ergo [per 29 p 1] f x ſit perpendicularis
ſuper a n, & in ſuperficie tranſeunte per axem & per l: ergo eſt diameter circuli exeuntis ex f & æ-
quidiſtantis baſi columnæ [per 34 n 4. ] Linea ergo f x eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, con-
tingentem columnam, tranſeuntem per a z [ſicut oſtenſum eſt 54 n 5. ] Et continuemus m f: erit
ergo æqualis f s: [per 4 p 1: quia k s, k m æquantur per fabricationem, & communis eſt k f, anguli-
que ad k recti] & duo anguli qui ſunt, apud m, s erunt æquales: [per 5 p 1. ] Et quia x f eſt æquidi-
ſtans m g: erunt [per 29 p 1] duo anguli apud f æquales duobus angulis, qui ſunt apud s, m [ideó-
que anguli x f m & x f l æquabuntur. ] Duæ ergo lineę m f, f l reflectuntur ſecundum angu-
los æquales: & x f eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentem ſpeculum in f. For-
ma ergo m extenditur per m f, & reflectitur per f l: & imago eius erit s [per 7 n 5. ] Et quia
duæ lineæ r y, h t ſunt æquidiſtantes, & perpendiculares ſuper ſuperficiem tranſeuntem per
axem, & per l: quia h t fuit poſita talis: [29 n] ideo duæ ſuperficies exeuntes à duabus li-
In hac autem figura dictum eſt: quòd duæ lineæ e b, h b reflectuntur ſecũdum angulos æquales:
& quòd duæ lineæ e g, t g reflectuntur ſecundum angulos æquales: & quòd h b, t g perueniunt
a d l: & h b continet cum b o angulum acutum. Ergo h b ſecat ſuperficiem, contingentem columnam
in b: b l ergo eſt ſub concauitate columnæ: & ſimiliter g l: & ſimiliter duæ lineæ b r, g y: & duo angu-
li l b d, d b r ſunt æquales [quia per 15 p 1 æquantur angulis e b o, h b o æqualibus] & ſimiliter l g d, g
d y ſunt æquales. Si ergo r y fuerit in aliquo uiſibili, & uiſus fuerit in l, & ſuperficies concaua colu-
mnæ fuerit terſa: tunc forma r extenditur per r b, & peruenit ad b, & reflectitur ք b l: & perueniet ad
l, & comprehendetur in l. Et linea h u eſt perpendicularis ſuper lineam, contingentem ſectionem,
ex cuius circumferentia reflectentur duæ lineæ b r, b l: h ergo eſt imago r [per 7 n 5. ] Similiter decla
rabitur, quòd forma y extenditur per y g, & reflectitur ք g l: & imago eius eſt t. Et continuemus q u:
ſecabit ergo r y in m: m ergo eſt in ſuperficie tranſeunte per axem & per l: nam l & q ſunt in hac ſu-
perficie, [ut demonſtratum eſt 29 n. ] Ergo q u eſt in hac ſuperficie [nam 29 n oſten ſum eſt, quòd
planum ductum per uiſum & axem ſpeculi, in quo eſt linea e l d, ſecat lineam h t in puncto q: eſtq́ue
punctum u in linea e l d: linea igitur q u eſt in plano per uiſum & axem ſpeculi ducto per 1 p 11: ideõ-
que & punctum m. ] Et quia duo puncta m, l ſunt in ſuperficie tranſeunte per axem columnæ: ideo
forma m reflectetur ad l in hac ſuperficie. Et quia a z eſt differentia communis inter columnę ſuper-
ficiem, & ſuperficiem, tranſeuntem per ſuum axem, & per l: forma ergo m reflectetur à linea a z. Et
continuemus e m, quæ eſt in hac ſuperficie: & e l
203[Figure 203]u r h d x b y m ſ o n f g i k q z t c c s a eſt in hac ſuperficie: & punctum e eſt elongatum à
ſuperficie contingente ſuperficiem columnæ in li-
nea a z [ut patuit 29 n. ] Ergo ſi a z extrahatur re-
ctè in parte z: concurret cum duabus lineis e m,
e l. Concurrat ergo cum e m in i, & cum e l in n:
ergo n eſt inter duo puncta e, l: quia l eſt intra con
cauitatem columnæ, & n eſt in ſuperficie colu-
mnæ: & e eſt elõgatum à columna: & in dem on-
ſtratione huius figuræ [29 n] patuit, quòd circu-
lus b g eſt medius inter lineam h t, & ſuperficiem
exeuntem ex e, æ quidiſtantem baſibus columnæ:
& perpendicularis, quæ exit ex e ſuper a z, eſt in ſu
perficie exeunte ex e, æ quidiſtante columnæ. Er-
go perpendicularis, quæ exit ex e ſuper lineam a
z n, cadit extra triangulum e i n, & in parte n: angu
lus ergo e i n eſt acutus: [per 32 p 1] ergo [per 15 p
1] angulus m i a eſt acutus: ergo m i n obtuſus [per
13 p 1. ] Extrahamus ergo ex m perpendicularem
ſuper a i [per 12 p 1] & ſit m k: k ergo erit ultra i,
reſpectu 11. [ſi enim caderet inter i & n: eſſent triã-
guli tres anguli maiores duobus rectis contra 32
p 1: quia angulus m i n obtuſus eſt concluſus. ] Et
extrahamus m k ex parte k, in s: & diuidamus k s
ad æqualitatem k m: ergo s erit extra ſuperficiem
ſpeculi, & ultra concauitatem eius, & l erit ſub concauitate eius. Et continuemus l s: ſecabit ergo
n k in f: & ex f extrahamus f x ad æquidiſtantiam m k. Cum ergo [per 29 p 1] f x ſit perpendicularis
ſuper a n, & in ſuperficie tranſeunte per axem & per l: ergo eſt diameter circuli exeuntis ex f & æ-
quidiſtantis baſi columnæ [per 34 n 4. ] Linea ergo f x eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, con-
tingentem columnam, tranſeuntem per a z [ſicut oſtenſum eſt 54 n 5. ] Et continuemus m f: erit
ergo æqualis f s: [per 4 p 1: quia k s, k m æquantur per fabricationem, & communis eſt k f, anguli-
que ad k recti] & duo anguli qui ſunt, apud m, s erunt æquales: [per 5 p 1. ] Et quia x f eſt æquidi-
ſtans m g: erunt [per 29 p 1] duo anguli apud f æquales duobus angulis, qui ſunt apud s, m [ideó-
que anguli x f m & x f l æquabuntur. ] Duæ ergo lineę m f, f l reflectuntur ſecundum angu-
los æquales: & x f eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentem ſpeculum in f. For-
ma ergo m extenditur per m f, & reflectitur per f l: & imago eius erit s [per 7 n 5. ] Et quia
duæ lineæ r y, h t ſunt æquidiſtantes, & perpendiculares ſuper ſuperficiem tranſeuntem per
axem, & per l: quia h t fuit poſita talis: [29 n] ideo duæ ſuperficies exeuntes à duabus li-
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib