234228ALHAZEN
neis h t, r y, erunt æquidiſtantes & perpendiculares [per 18 p 11.
] Et quia r y eſt perpendicularis ſu-
per ſuperficiem tranſeuntem per axem & per l: ideo [per 18 p 11] ſuperficies duarum linearum rm,
m s erit perpendicularis ſuper ſuperficiem, tranſeuntem per axem & per l: & erit m s differentia cõ-
munis his duabus ſuperficiebus. Et quia a k eſt in ſuperficie tranſeunte per axem: [per 21 d 11: quia
pars eſt lateris cylindracei] & eſt perpendicularis ſuper m s [per fabricationem] quę eſt differentia
communis inter ſuperficiem, trãſeuntem per axem, & inter ſuperficiem duarum linearum r m, m s:
erit a k n perpendicularis ſuper ſuperficiem duarum linearum r m, m s: & linea a n eſt æquidiſtans
axi columnæ [per 21 d 11: ] ergo [per 8 p 11] axis columnæ eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, in
qua ſunt r m, m s. Superficies ergo iſta eſt perpendicularis ſuper axem columnæ: s ergo eſt in ſuper-
ficie exeunte ex linea r y, perpendiculari ſuper axem columnæ: ſed linea h t eſt in ſuperficie perpen-
diculari ſuper axem, æquidiſtante ſuperficiei ex linea r y: s ergo eſt extra h t, & propinquius l, quàm
ſint h & t: & duo puncta h, t ſunt imagines r, y: & punctum s eſt imago m: imago ergo lineæ r m y eſt
linea tranſiens per h, s, t: ſed talis eſt linea arcualis: quia s eſt extra h t. Et tranſeat per puncta h, s, t li-
nea h s t arcualis. Et quia h t ſecundum poſitionem [29 n] fuit elongata à conuexo columnæ: erit
h t ultra ſuperficiem ſpeculi, reſpectu l: & iam declarauimus, quòd s eſt ultra concauitatem ſpeculi,
reſpectul. Ergo tota linea h s t erit ultra concauitatem ſuperficiei ſpeculi: & e l eſt ſub concauitate
ſpeculi: ergo l eſt extra ſuperficiẽ, in qua eſt linea h s t: arcualitas igitur lineæ h s t apparebit uiſuil
manifeſtè. Et quia f eſt in ſuperficie columnæ, & t h ultra columnam, eſt in ſuperficie trianguli l h t:
erit linea l f s altior quàm ſuperficies trianguli l h t. Linea ergo l s erit altior duabus lineis l h, h t, re-
ſpectu uiſus. Ergo s eſt altius, quàm duo puncta h, t. Linea ergo h s t apparebit uiſuil concaua.
per ſuperficiem tranſeuntem per axem & per l: ideo [per 18 p 11] ſuperficies duarum linearum rm,
m s erit perpendicularis ſuper ſuperficiem, tranſeuntem per axem & per l: & erit m s differentia cõ-
munis his duabus ſuperficiebus. Et quia a k eſt in ſuperficie tranſeunte per axem: [per 21 d 11: quia
pars eſt lateris cylindracei] & eſt perpendicularis ſuper m s [per fabricationem] quę eſt differentia
communis inter ſuperficiem, trãſeuntem per axem, & inter ſuperficiem duarum linearum r m, m s:
erit a k n perpendicularis ſuper ſuperficiem duarum linearum r m, m s: & linea a n eſt æquidiſtans
axi columnæ [per 21 d 11: ] ergo [per 8 p 11] axis columnæ eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, in
qua ſunt r m, m s. Superficies ergo iſta eſt perpendicularis ſuper axem columnæ: s ergo eſt in ſuper-
ficie exeunte ex linea r y, perpendiculari ſuper axem columnæ: ſed linea h t eſt in ſuperficie perpen-
diculari ſuper axem, æquidiſtante ſuperficiei ex linea r y: s ergo eſt extra h t, & propinquius l, quàm
ſint h & t: & duo puncta h, t ſunt imagines r, y: & punctum s eſt imago m: imago ergo lineæ r m y eſt
linea tranſiens per h, s, t: ſed talis eſt linea arcualis: quia s eſt extra h t. Et tranſeat per puncta h, s, t li-
nea h s t arcualis. Et quia h t ſecundum poſitionem [29 n] fuit elongata à conuexo columnæ: erit
h t ultra ſuperficiem ſpeculi, reſpectu l: & iam declarauimus, quòd s eſt ultra concauitatem ſpeculi,
reſpectul. Ergo tota linea h s t erit ultra concauitatem ſuperficiei ſpeculi: & e l eſt ſub concauitate
ſpeculi: ergo l eſt extra ſuperficiẽ, in qua eſt linea h s t: arcualitas igitur lineæ h s t apparebit uiſuil
manifeſtè. Et quia f eſt in ſuperficie columnæ, & t h ultra columnam, eſt in ſuperficie trianguli l h t:
erit linea l f s altior quàm ſuperficies trianguli l h t. Linea ergo l s erit altior duabus lineis l h, h t, re-
ſpectu uiſus. Ergo s eſt altius, quàm duo puncta h, t. Linea ergo h s t apparebit uiſuil concaua.
53. Si uiſ{us} ſit in plano lineæ rectæ, obliquo adplanum axis ſpeculi cylindracei caui: imago
uidebitur caua & euerſa. 28 p 9.
uidebitur caua & euerſa. 28 p 9.
ITem:
ſecemus columnam per ſuperficiem decliuem ſuper axem eius:
faciet ergo ſectionem co-
lumnarem [per 9 th. cylindricorum Sereni. ] Sit ergo a b g. Sed in prima figura de columnis con
cauis [91 n 5] declaratum eſt, quòd in ſuperficie cuiuslibet ſectionis columnæ exit à puncto re-
flexionis perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem, ex cuius extremitatibus reflectuntur
formæ. Sit ergo perpendicularis g a: & ſit b e k perpendicularis ſuper lineam, contingentem circũ-
ferentiam ſectionis in b: & ſit b prope g. b k ergo ſecabit perpendicularem g a ſub axe, & continebit
cum ipſa angulum acutum. [per 24 n: punctum enim b tam propin quum ipſi g ſumitur, ut recta à
puncto b, & perpendicularis à reflexionis puncto in axe angulum acutum cõprehendant. ] Secet
ergo in e. Angulus ergo b e g erit acutus [per 32 p 1. ] Et extrahamus ex g lineam ad æquidiſtan-
tiam lineæ b k: & ſit g d. Angulus ergo d g e erit acutus: [quia
204[Figure 204]p b o n m d r h c t a K per proximam fabricationem & 29 p 1 æquatur angulo b e g
acuto] ergo g d e erit intra concauitatem columnæ. Et pona
mus angulum e g l æqualem angulo e g d: [per 23 p 1] g l ergo
concurret cum b e in l: [per 11 ax. quia anguli ad g & e acuti,
minores ſunt duobus rectis] & ſignemus punctum m in li-
nea l e: erit ergo m a g acutus: [quia per 16 p 1 minor eſt an-
gulo g e m acuto] ergo a m eſt intra ſectionem. Et ponamus
angulum g a d æqualem angulo g a m: ergo a d concurret cũ
g d: [per 11 ax. ] nam duo anguli, qui ſunt apud a, g, ſunt acuti,
Concurrant ergo in d. a d igitur ſecabit b k [per lemma Pro-
cli ad 29 p 1. ] Secet ergo in t. Cum ergo l k fuerit in aliquo ui
ſibili, & uiſus fuerit in d: tunc forma l uidebitur in g: [ut oſtẽ
ſum eſt 90 n 5] quia forma l reflectetur ad d ex g, & quia d g
eſt æquidiſtans perpendiculari b l k: Et forma m uidebitur in t: quia forma m reflectitur ad d ex a: &
t imago eſt m. Et tranſeat per d ſuperficies æquidiſtans baſi columnæ: [ut oſtenſum eſt 47 n 5] ſeca
bit ergo ſectionem a b g, & faciet in ſuperficie columnæ circulum p o r [per 5 theor: cylindricorum
Sereni. ] Superficies ergo huius circuli ſecabit b k: ſecat enim g d, quæ eſt ei æquidiſtans. Ergo ſe-
cet b k in k: & ſit centrum circuli p o r, punctũ h: & continuemus d h, & tranſeat ad r: & cõtinuemus
k h, & tranſeat ad p. Forma ergo k reflectitur ad d ex circumferentia arcus r p, ut patuit de imagini-
bus ſpeculorum [73 n 5. ] Reflectatur ergo ex o: & cõtinuemus k o, d o, h o. Anguli ergo, qui ſunt a-
pud o, ſunt æquales: [per 12 n 4] & d o ſecabit h p in n. n ergo eſt imago k. Et cõtinuemus k d: k d er
go erit differentia communis inter circulum r p & ſectionem a b g. Nam duo puncta k, d ſunt in u-
traque ſuperficie, & nihil de ſuperficie ſectionis a b g eſt in ſuperficie circuli r p, niſi linea k d: g ergo
eſt extra circulum: & ſimiliter b: & ſunt in ſuperficie ſectionis: & n eſt in ſuperficie circuli r p: & for-
ma l m k tranſit per puncta g, t, n: & linea, quæ tranſit per hæc puncta, eſt arcualis: ſed ſuperficies
ſectionis eſt decliuis ſuper ſuperficiem columnæ: [per 9 th. cylindricorum Sereni] axis ergo ſectio
nis non tranſit per totum axem columnæ, neque eſt æquidiſtans baſi columnæ. Patet ergo ex hac
figura & duabus præmiſsis, quòd lineæ rectæ æquidiſtantes axi columnæ, & æquidiſtantes baſi e-
ius: & etiam illæ lineæ, quæ obliquantur ſuper ſuperficiem eius: fortè uidebuntur arcuales, fortè re
ctæ, fortè conuerſæ. Et quia t eſt imago m, & n imago k: erit forma m k conuerſa. Et ſi linea etiam
fuerit in ſuperficie circuli, æquidiſtante baſibus columnæ, cuius ſuperficies tranſit per centrũ uiſus,
lumnarem [per 9 th. cylindricorum Sereni. ] Sit ergo a b g. Sed in prima figura de columnis con
cauis [91 n 5] declaratum eſt, quòd in ſuperficie cuiuslibet ſectionis columnæ exit à puncto re-
flexionis perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem, ex cuius extremitatibus reflectuntur
formæ. Sit ergo perpendicularis g a: & ſit b e k perpendicularis ſuper lineam, contingentem circũ-
ferentiam ſectionis in b: & ſit b prope g. b k ergo ſecabit perpendicularem g a ſub axe, & continebit
cum ipſa angulum acutum. [per 24 n: punctum enim b tam propin quum ipſi g ſumitur, ut recta à
puncto b, & perpendicularis à reflexionis puncto in axe angulum acutum cõprehendant. ] Secet
ergo in e. Angulus ergo b e g erit acutus [per 32 p 1. ] Et extrahamus ex g lineam ad æquidiſtan-
tiam lineæ b k: & ſit g d. Angulus ergo d g e erit acutus: [quia
204[Figure 204]p b o n m d r h c t a K per proximam fabricationem & 29 p 1 æquatur angulo b e g
acuto] ergo g d e erit intra concauitatem columnæ. Et pona
mus angulum e g l æqualem angulo e g d: [per 23 p 1] g l ergo
concurret cum b e in l: [per 11 ax. quia anguli ad g & e acuti,
minores ſunt duobus rectis] & ſignemus punctum m in li-
nea l e: erit ergo m a g acutus: [quia per 16 p 1 minor eſt an-
gulo g e m acuto] ergo a m eſt intra ſectionem. Et ponamus
angulum g a d æqualem angulo g a m: ergo a d concurret cũ
g d: [per 11 ax. ] nam duo anguli, qui ſunt apud a, g, ſunt acuti,
Concurrant ergo in d. a d igitur ſecabit b k [per lemma Pro-
cli ad 29 p 1. ] Secet ergo in t. Cum ergo l k fuerit in aliquo ui
ſibili, & uiſus fuerit in d: tunc forma l uidebitur in g: [ut oſtẽ
ſum eſt 90 n 5] quia forma l reflectetur ad d ex g, & quia d g
eſt æquidiſtans perpendiculari b l k: Et forma m uidebitur in t: quia forma m reflectitur ad d ex a: &
t imago eſt m. Et tranſeat per d ſuperficies æquidiſtans baſi columnæ: [ut oſtenſum eſt 47 n 5] ſeca
bit ergo ſectionem a b g, & faciet in ſuperficie columnæ circulum p o r [per 5 theor: cylindricorum
Sereni. ] Superficies ergo huius circuli ſecabit b k: ſecat enim g d, quæ eſt ei æquidiſtans. Ergo ſe-
cet b k in k: & ſit centrum circuli p o r, punctũ h: & continuemus d h, & tranſeat ad r: & cõtinuemus
k h, & tranſeat ad p. Forma ergo k reflectitur ad d ex circumferentia arcus r p, ut patuit de imagini-
bus ſpeculorum [73 n 5. ] Reflectatur ergo ex o: & cõtinuemus k o, d o, h o. Anguli ergo, qui ſunt a-
pud o, ſunt æquales: [per 12 n 4] & d o ſecabit h p in n. n ergo eſt imago k. Et cõtinuemus k d: k d er
go erit differentia communis inter circulum r p & ſectionem a b g. Nam duo puncta k, d ſunt in u-
traque ſuperficie, & nihil de ſuperficie ſectionis a b g eſt in ſuperficie circuli r p, niſi linea k d: g ergo
eſt extra circulum: & ſimiliter b: & ſunt in ſuperficie ſectionis: & n eſt in ſuperficie circuli r p: & for-
ma l m k tranſit per puncta g, t, n: & linea, quæ tranſit per hæc puncta, eſt arcualis: ſed ſuperficies
ſectionis eſt decliuis ſuper ſuperficiem columnæ: [per 9 th. cylindricorum Sereni] axis ergo ſectio
nis non tranſit per totum axem columnæ, neque eſt æquidiſtans baſi columnæ. Patet ergo ex hac
figura & duabus præmiſsis, quòd lineæ rectæ æquidiſtantes axi columnæ, & æquidiſtantes baſi e-
ius: & etiam illæ lineæ, quæ obliquantur ſuper ſuperficiem eius: fortè uidebuntur arcuales, fortè re
ctæ, fortè conuerſæ. Et quia t eſt imago m, & n imago k: erit forma m k conuerſa. Et ſi linea etiam
fuerit in ſuperficie circuli, æquidiſtante baſibus columnæ, cuius ſuperficies tranſit per centrũ uiſus,
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib