237199DE MATHÉMATIQUE. Liv. IV.
portionnels à ceux d’une autre, ſans que les angles oppoſés à
ces côtés ſoient égaux, comme on le verra par la ſuite.
ces côtés ſoient égaux, comme on le verra par la ſuite.
PROPOSITION X.
Theoreme.
Theoreme.
399.
Deux triangles A B C, D E F ſont ſemblables, lorſque
les trois côtés A B, B C, A C du premier ſont proportionnels aux
trois côtés D E, E F, D F du ſecond.
les trois côtés A B, B C, A C du premier ſont proportionnels aux
trois côtés D E, E F, D F du ſecond.
Demonstration.
Pour démontrer cette propoſition, il n’y a qu’à faire voir
que les angles A, B, C du premier triangles ſont égaux aux an-
gles D, E, F du ſecond, oppoſés aux côtés proportionnels à
ceux du triangle A B C : pour cela, ſur le côté A B propor-
tionnel au côté D E du triangle D E F, ſoit priſe la ligne B G
égale à D E, & ſoit menée par ce point la parallele G K au côté
A C, on aura (art. 393.) A B: B G : : B C : B K = {BG x BC/AB}=
{D E x B C/A B}, puiſque par conſtruction D E = B G: mais par hy-
potheſe, puiſque les trois côtés du premier triangle ſont pro-
portionnels aux trois côtés du ſecond, A B : D E : : B C : E F
= {D E x B C/A B}; d’où il ſuit que le triangle B G K a le côté B K
égal au côté E F du triangle D E F: on démontrera de même,
que ce même triangle B G K a auſſi le côté G K égal au côté
D F du triangle D E F: donc ces triangles ſont parfaitement
égaux, puiſqu’ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun
(art. 378) : donc les angles en D & en F ſont égaux aux an-
gles en G & en K, ou aux angles en A & en C, à cauſe des
paralleles : donc le triangle D E F eſt ſemblable au triangle
A B C. C. Q. F. D.
que les angles A, B, C du premier triangles ſont égaux aux an-
gles D, E, F du ſecond, oppoſés aux côtés proportionnels à
ceux du triangle A B C : pour cela, ſur le côté A B propor-
tionnel au côté D E du triangle D E F, ſoit priſe la ligne B G
égale à D E, & ſoit menée par ce point la parallele G K au côté
A C, on aura (art. 393.) A B: B G : : B C : B K = {BG x BC/AB}=
{D E x B C/A B}, puiſque par conſtruction D E = B G: mais par hy-
potheſe, puiſque les trois côtés du premier triangle ſont pro-
portionnels aux trois côtés du ſecond, A B : D E : : B C : E F
= {D E x B C/A B}; d’où il ſuit que le triangle B G K a le côté B K
égal au côté E F du triangle D E F: on démontrera de même,
que ce même triangle B G K a auſſi le côté G K égal au côté
D F du triangle D E F: donc ces triangles ſont parfaitement
égaux, puiſqu’ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun
(art. 378) : donc les angles en D & en F ſont égaux aux an-
gles en G & en K, ou aux angles en A & en C, à cauſe des
paralleles : donc le triangle D E F eſt ſemblable au triangle
A B C. C. Q. F. D.
Corollaire.
400.
Réciproquement ſi deux triangles ſont ſemblables, ils
auront les côtés proportionnels; car s’ils étoient ſemblables
ſans avoir les côtés proportionnels, la propoſition que nous
venons de démontrer ſeroit fauſſe; ce qui ne peut arriver.
auront les côtés proportionnels; car s’ils étoient ſemblables
ſans avoir les côtés proportionnels, la propoſition que nous
venons de démontrer ſeroit fauſſe; ce qui ne peut arriver.