244206NOUVEAU COURS
qu’à la rencontre de la perpendiculaire abaiſſée de l’angle A, &
la
partie B D ou le prolongement du même côté B D; c’eſt-à-dire que
l’on aura A C2 = A B2 + B C2 + 2B C x B D.
partie B D ou le prolongement du même côté B D; c’eſt-à-dire que
l’on aura A C2 = A B2 + B C2 + 2B C x B D.
Démonstration.
Soit fait A C = a, A B = c, B C = b, B D = x, A D = d;
il faut démontrer que aa = cc+bb + 2bx, ou que A C2 = A B2
+ B C2 + 2B C x B D. Le triangle rectangle A D C donne
A C2 = A D2 + D C2, ou aa = dd + bb + 2bx + xx: car
D C = D B + B C = b + x; & le triangle rectangle A D B
donne A B2 = A D2 + D B2, ou cc = dd + xx; ſi l’on retran-
che les deux membres de cette équation des deux membres de
la premiere, on aura aa - cc = dd + bb + 2bx + xx - dd
- xx, & réduiſant le dernier membre aa - cc = bb + 2bx,
& faiſant paſſer cc de l’autre côté du ſigne d’égalité, aa = bb
+ cc + 2bx, ou A C2 = A B2 + B C2 + 2B C x B D.
C. Q. F. D.
il faut démontrer que aa = cc+bb + 2bx, ou que A C2 = A B2
+ B C2 + 2B C x B D. Le triangle rectangle A D C donne
A C2 = A D2 + D C2, ou aa = dd + bb + 2bx + xx: car
D C = D B + B C = b + x; & le triangle rectangle A D B
donne A B2 = A D2 + D B2, ou cc = dd + xx; ſi l’on retran-
che les deux membres de cette équation des deux membres de
la premiere, on aura aa - cc = dd + bb + 2bx + xx - dd
- xx, & réduiſant le dernier membre aa - cc = bb + 2bx,
& faiſant paſſer cc de l’autre côté du ſigne d’égalité, aa = bb
+ cc + 2bx, ou A C2 = A B2 + B C2 + 2B C x B D.
C. Q. F. D.
Corollaire.
411.
Si l’on avoit un triangle A B C, dont on connût les
trois côtés, on pourroit par cette propoſition trouver la per-
pendiculaire A D, qui détermine la hauteur du triangle: car
comme on a aa = cc + bb + 2bx, ſi l’on fait paſſer cc + bb
du ſecond membre dans le premier, il viendra aa - cc - bb
= 2bx, qui étant diviſé par 2b, donne la valeur de x, ou
{aa - cc - bb/2b} = x, qui fait voir qu’on trouvera la valeur de la
ligne D B, en ſouſtrayant du quarré du côté A C oppoſé à l’an-
gle obtus; les quarrés des côtés A B & B C, & en diviſant le
reſte par le double du côté B C. Mais dans le triangle rectan-
gle A D B, on connoît le côté A B par l’hypotheſe, on connoît
le côté B D par le préſent corollaire: donc on pourra con-
noître l’autre côté A D, ou la perpendiculaire qui meſure la
hauteur du triangle, & l’on aura A D = √A B2 - B D2\x{0020}, ou
d = √cc - xx\x{0020}. Si le triangle donné étoit rectangle, la per-
pendiculaire A D ſe confondroit avec le côté A B, & l’on auroit
{aa - cc - bb/2b} = o = B D.
trois côtés, on pourroit par cette propoſition trouver la per-
pendiculaire A D, qui détermine la hauteur du triangle: car
comme on a aa = cc + bb + 2bx, ſi l’on fait paſſer cc + bb
du ſecond membre dans le premier, il viendra aa - cc - bb
= 2bx, qui étant diviſé par 2b, donne la valeur de x, ou
{aa - cc - bb/2b} = x, qui fait voir qu’on trouvera la valeur de la
ligne D B, en ſouſtrayant du quarré du côté A C oppoſé à l’an-
gle obtus; les quarrés des côtés A B & B C, & en diviſant le
reſte par le double du côté B C. Mais dans le triangle rectan-
gle A D B, on connoît le côté A B par l’hypotheſe, on connoît
le côté B D par le préſent corollaire: donc on pourra con-
noître l’autre côté A D, ou la perpendiculaire qui meſure la
hauteur du triangle, & l’on aura A D = √A B2 - B D2\x{0020}, ou
d = √cc - xx\x{0020}. Si le triangle donné étoit rectangle, la per-
pendiculaire A D ſe confondroit avec le côté A B, & l’on auroit
{aa - cc - bb/2b} = o = B D.