251213DE MATHÉMATIQUE. Liv. V.
PROPOSITION V.
Theoreme.
429.
L’angle A B C, qui a ſon ſommet à la circonférence d’un
11Figure 57 cercle, a pour meſure la moitié de l’arc compris entre ſes côtés.
11Figure 57 cercle, a pour meſure la moitié de l’arc compris entre ſes côtés.
Demonstration.
Par le ſommet B de l’angle A B C, &
le centre D, ſoit me-
née la ligne B D E, & les rayons D A, D C; il eſt évident
que l’angle total A B C eſt égal à la ſomme des angles A B E,
C B E, & que l’angle au centre A D C eſt égal à la ſomme des
angles A D E, C D E. Cela poſé, l’angle C D E extérieur au
triangle iſoſcele C D B eſt égal aux deux angles intérieurs en B
& en C, ou double de l’angle en B; & de même l’angle A D E
étant extérieur au triangle iſoſcele A D B, eſt égal à la ſomme
des intérieurs oppoſés en B & en A, ou double de l’angle
A B D: donc l’angle total A D C eſt double de l’angle total
A B C: donc l’angle à la circonférence n’eſt que la moitié de
l’angle au centre. C. Q. F. D.
née la ligne B D E, & les rayons D A, D C; il eſt évident
que l’angle total A B C eſt égal à la ſomme des angles A B E,
C B E, & que l’angle au centre A D C eſt égal à la ſomme des
angles A D E, C D E. Cela poſé, l’angle C D E extérieur au
triangle iſoſcele C D B eſt égal aux deux angles intérieurs en B
& en C, ou double de l’angle en B; & de même l’angle A D E
étant extérieur au triangle iſoſcele A D B, eſt égal à la ſomme
des intérieurs oppoſés en B & en A, ou double de l’angle
A B D: donc l’angle total A D C eſt double de l’angle total
A B C: donc l’angle à la circonférence n’eſt que la moitié de
l’angle au centre. C. Q. F. D.
430.
On déduit de cette propoſition pluſieurs conſéquences,
qui ſont d’un très-grand uſage. 10. Qu’un angle, tel que A B C,
22Figure 59. eſt droit, lorſqu’il eſt appuyé ſur le diametre, ou ſur une demi-
circonférence, puiſqu’il a pour meſure la moitié de l’arc A O C,
qui eſt de 90 degrés, ou un quart de cercle.
qui ſont d’un très-grand uſage. 10. Qu’un angle, tel que A B C,
22Figure 59. eſt droit, lorſqu’il eſt appuyé ſur le diametre, ou ſur une demi-
circonférence, puiſqu’il a pour meſure la moitié de l’arc A O C,
qui eſt de 90 degrés, ou un quart de cercle.
431.
20, Qu’un angle, comme D E F, qui eſt renfermé dans
33Figure 60 un ſegment plus petit qu’un demi-cercle eſt obtus, puiſqu’il a
pour meſure un arc plus grand qu’un quart de cercle, étant
appuyé ſur l’arc D O F, plus grand que la demi-circonférence.
33Figure 60 un ſegment plus petit qu’un demi-cercle eſt obtus, puiſqu’il a
pour meſure un arc plus grand qu’un quart de cercle, étant
appuyé ſur l’arc D O F, plus grand que la demi-circonférence.
432.
30.
Qu’un angle, comme G H I, qui eſt renfermé dans
44Figure 60 un ſegment plus petit qu’un demi-cercle eſt obtus, puiſqu’il
a pour meſure la moitié de l’arc G O I, qui eſt plus petite qu’un
quart de cercle.
44Figure 60 un ſegment plus petit qu’un demi-cercle eſt obtus, puiſqu’il
a pour meſure la moitié de l’arc G O I, qui eſt plus petite qu’un
quart de cercle.
433.
40.
Que les angles, comme A B C &
A D C, qui ſont
55Figure 62. renfermés dans le même ſegment ſont égaux, puiſqu’ils ont
chacun pour meſure la moitié de l’arc A O C.
55Figure 62. renfermés dans le même ſegment ſont égaux, puiſqu’ils ont
chacun pour meſure la moitié de l’arc A O C.
434.
Que deux angles qui ſont appuyés ſur une même corde
66Figure 60. D F, l’un d’un côté, l’autre de l’autre, ſont ſupplémens l’un
de l’autre, puiſqu’ils ont enſemble pour meſure la moitié de
la circonférence, tels ſont les angles D E F, D O F.
66Figure 60. D F, l’un d’un côté, l’autre de l’autre, ſont ſupplémens l’un
de l’autre, puiſqu’ils ont enſemble pour meſure la moitié de
la circonférence, tels ſont les angles D E F, D O F.