253215DE MATHÉMATIQUE. Liv. V.
ſomme, a pour meſure la ſomme de la moitié des mêmes arcs,
c’eſt-à-dire la moitié de l’arc A C compris entre ſes côtés, plus
la moitié de l’arc B D, compris entre le prolongement des
mêmes côtés. C. Q. F. D.
c’eſt-à-dire la moitié de l’arc A C compris entre ſes côtés, plus
la moitié de l’arc B D, compris entre le prolongement des
mêmes côtés. C. Q. F. D.
PROPOSITION VIII.
Theoreme.
437.
L’angle B A C, dont le ſommet eſt au dehors de la cir-
11Figure 64. conférence d’un cercle, & dont les côtés ſe terminent à la partie
concave de la même circonférence en B & en C, a pour meſure la
moitié de l’arc concave B C, moins la moitié de l’arc conyexe
D E compris entre ſes côtés.
11Figure 64. conférence d’un cercle, & dont les côtés ſe terminent à la partie
concave de la même circonférence en B & en C, a pour meſure la
moitié de l’arc concave B C, moins la moitié de l’arc conyexe
D E compris entre ſes côtés.
Demonstration.
Soient menées les lignes B E, C D, qui donneront les trian-
gles B A E, D A C. L’angle B D C étant extérieur au triangle
D A C eſt égal à l’angle D A C, plus à l’angle A C D: donc
l’angle D A C, ou ſon égal B A C, eſt égal à l’angle B D C,
moins l’angle D C E: mais chacun de ces angles étant à la
circonférence, a pour meſure la moitié de l’arc compris entre
ſes côtés; ſçavoir l’angle B D C, la moitié de l’arc B C, &
l’angle A C D, la moitié de l’arc D E: donc l’angle B A C a
pour meſure la moitié de la différence des mêmes arcs, c’eſt-
à-dire la moitié de l’arc concave B C ſur lequel il eſt appuyé,
moins la moitié de l’arc convexe D E. C. Q. F. D.
gles B A E, D A C. L’angle B D C étant extérieur au triangle
D A C eſt égal à l’angle D A C, plus à l’angle A C D: donc
l’angle D A C, ou ſon égal B A C, eſt égal à l’angle B D C,
moins l’angle D C E: mais chacun de ces angles étant à la
circonférence, a pour meſure la moitié de l’arc compris entre
ſes côtés; ſçavoir l’angle B D C, la moitié de l’arc B C, &
l’angle A C D, la moitié de l’arc D E: donc l’angle B A C a
pour meſure la moitié de la différence des mêmes arcs, c’eſt-
à-dire la moitié de l’arc concave B C ſur lequel il eſt appuyé,
moins la moitié de l’arc convexe D E. C. Q. F. D.
Corollaire.
438.
Il ſuit de tout ce que nous venons de dire, que, ſi l’on
a un angle à la circonférence, tel que A D C, formé par une
22Figure 64. corde D C & une droite A D, dont le prolongement coupe
le cercle, cet angle aura pour meſure la moitié de l’arc
compris entre la corde D C, plus la moitié de l’arc ſoutenu
par le côté A D, prolongé juſqu’à la circonférence du cercle
en B: car puiſque la ligne A D B eſt une ligne droite, ainſi que
la ligne D C, les angles B D C, A D C ſont enſemble égaux à
deux droits, & par conſéquent doivent avoir pour meſure la
moitié de la circonférence; mais l’angle B D C ayant ſon ſom-
met à la circonférence, a pour meſure la moitié de l’arc B C:
donc l’angle A D C doit avoir pour meſure la moitié de l’arc
D C, plus la moitié de l’arc B D, qui font enſemble la moitié
du reſte de la circonférence.
a un angle à la circonférence, tel que A D C, formé par une
22Figure 64. corde D C & une droite A D, dont le prolongement coupe
le cercle, cet angle aura pour meſure la moitié de l’arc
compris entre la corde D C, plus la moitié de l’arc ſoutenu
par le côté A D, prolongé juſqu’à la circonférence du cercle
en B: car puiſque la ligne A D B eſt une ligne droite, ainſi que
la ligne D C, les angles B D C, A D C ſont enſemble égaux à
deux droits, & par conſéquent doivent avoir pour meſure la
moitié de la circonférence; mais l’angle B D C ayant ſon ſom-
met à la circonférence, a pour meſure la moitié de l’arc B C:
donc l’angle A D C doit avoir pour meſure la moitié de l’arc
D C, plus la moitié de l’arc B D, qui font enſemble la moitié
du reſte de la circonférence.
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