25571
THEOR. XXXV. PROP. LIV.
Si Conus rectus plano per axem ſecetur, per in quo verticem du-
cta ſit quędam linea, quę non in directum ſit poſita cum aliquo late-
rum trianguli per axem perque ipſam agatur planum, quod rectum
ſit ad idem planum, per axem ductum: Huiuſmodi planum in ipſo
tantùm vertice coni ſuperficiem continget, quæ tota cadet ad alte-
ram partem ducti plani.
cta ſit quędam linea, quę non in directum ſit poſita cum aliquo late-
rum trianguli per axem perque ipſam agatur planum, quod rectum
ſit ad idem planum, per axem ductum: Huiuſmodi planum in ipſo
tantùm vertice coni ſuperficiem continget, quæ tota cadet ad alte-
ram partem ducti plani.
SIt conus rectus A B C plano per axem B D ſectus efficiente triangulum
A B C, in cuius plano, & per verticem B ſit quælibet linea E B F, non
tamen cum aliquo laterum B A, B C ſit in directũ poſita, per quam tranſeat
planum G H I K, quod ad planum per axem A B C ſit rectum. Dico tale
planum G I in nullo alio puncto, quàm in vertice B conicam ſuperficiem
contingere, & c.
A B C, in cuius plano, & per verticem B ſit quælibet linea E B F, non
tamen cum aliquo laterum B A, B C ſit in directũ poſita, per quam tranſeat
planum G H I K, quod ad planum per axem A B C ſit rectum. Dico tale
planum G I in nullo alio puncto, quàm in vertice B conicam ſuperficiem
contingere, & c.
Quoniam ſi recta E B F ęquidiſtat
211[Figure 211]
ipſi A C baſi trianguli per axem, an-
guli interiores E B D, A D B duobus
rectis æquales erunt, ſed A D B re-
ctus eſt, cum ſit axis B D plano baſis
A C perpendicularis, quare, & an-
gulus E B D rectus erit, ſed planum
A B C ponitur rectum ad planum G
I, & in eo ad communem horum ſe-
ctionem E B F ducta eſt perpendi-
cularis D B, ergo ipſa D B erit 114. defin.
vndec. E-
lem. cta ad planum G I, eſtque eadem B
D recta ad planum baſis A C, quare
duo plana G I, A C inter ſe æquidiſtant, atque eſt punctum B in vno 2214. vnd.
Elem. no G I, & circuli peripheria A C in altero A C, ergo recta B A, quæ ma-
nente puncto B circa peripheriam C A circumducitur conicam ſuperficiem
deſcribens, hoc eſt ipſa conica ſuperficies tota cadet inter plana ęquidiſtan-
tia (vbicunque enim ducatur planum per axem, habentur communes æqui-
diſtantium planorum fectiones inter ſe parallelę, inter quas cadit communis
ſectio ſecantis plani cum ſuperficie) ac ideò planum G I in ipſo tantùm ver-
tice B, coni ſuperficiem continget.
guli interiores E B D, A D B duobus
rectis æquales erunt, ſed A D B re-
ctus eſt, cum ſit axis B D plano baſis
A C perpendicularis, quare, & an-
gulus E B D rectus erit, ſed planum
A B C ponitur rectum ad planum G
I, & in eo ad communem horum ſe-
ctionem E B F ducta eſt perpendi-
cularis D B, ergo ipſa D B erit 114. defin.
vndec. E-
lem. cta ad planum G I, eſtque eadem B
D recta ad planum baſis A C, quare
duo plana G I, A C inter ſe æquidiſtant, atque eſt punctum B in vno 2214. vnd.
Elem. no G I, & circuli peripheria A C in altero A C, ergo recta B A, quæ ma-
nente puncto B circa peripheriam C A circumducitur conicam ſuperficiem
deſcribens, hoc eſt ipſa conica ſuperficies tota cadet inter plana ęquidiſtan-
tia (vbicunque enim ducatur planum per axem, habentur communes æqui-
diſtantium planorum fectiones inter ſe parallelę, inter quas cadit communis
ſectio ſecantis plani cum ſuperficie) ac ideò planum G I in ipſo tantùm ver-
tice B, coni ſuperficiem continget.
Si verò recta F B E conueniet cum C A, vt in E;
patet, dum triangulum
B E D circa axim B D conuerti concipitur, rectam B E coni B E L ſuperfi-
ciem deſcribere, cuius triangulum per axem eſt B E L idem cum plano A B
C, cui rectum eſt planum G I ductum per latus B E, quare idem planum G
I continget conicam B E L in ipſo tantùm latere B E, ſed latus B E 3353. h. tingit conicam B C in vnico tantùm vertice B, ergo planum G I conicam
A B C in ipſo tantùm vertice B contingit, ac propterea ipſa coni ſuperficies
cadit tota infra planum G I. Quod erat demonſtrandum.
B E D circa axim B D conuerti concipitur, rectam B E coni B E L ſuperfi-
ciem deſcribere, cuius triangulum per axem eſt B E L idem cum plano A B
C, cui rectum eſt planum G I ductum per latus B E, quare idem planum G
I continget conicam B E L in ipſo tantùm latere B E, ſed latus B E 3353. h. tingit conicam B C in vnico tantùm vertice B, ergo planum G I conicam
A B C in ipſo tantùm vertice B contingit, ac propterea ipſa coni ſuperficies
cadit tota infra planum G I. Quod erat demonſtrandum.