270264ALHAZEN
perpendiculari exeunte à loco refractionis:
& ſimiliter angulus n m g:
& erit angulus c h a angulus
refractionis: & ſimiliter angulus n m a. Angulus autem n m g aut erit æqualis angulo c h g, aut ma-
ior, aut minor. Si æqualis: erit [per 12 n] n m a æqualis
232[Figure 232]k o g e c n a d z f h m l p b angulo a h c: ergo [per 13 p 1. 3 ax. ] angulus b h a erit æ-
qualis angulo b m a: quod eſt impoſsibile. [Ducta enim
recta b a: erit angulus b m a maior angulo b h a per 21
p 1. ] Si maior: tunc [per 12 n] angulus n m a erit maior
angulo a h c: & ſic [per 13 p 1. 3 ax. ] angulus b m a erit mi-
nor angulo b h a: quod eſt impoſsibile [& contra 21 p 1. ]
Si minor: tunc [per 12 n] angulus n m a erit minor angu
lo a h c: & ſic totus angulus a m g erit minor toto angulo
a h g: & erit [per 12 n] diminutio anguli n m a, ab angu-
lo a h c minor, quàm diminutio anguli a m g, ab angulo
a h g: Sed diminutio anguli a m g ab angulo a h g, eſt æ-
qualis diminutioni anguli h g m ab angulo h a m: duo
enim anguli, qui ſunt in ſectione linearum a h, m g ſunt
æquales [per 15 p 1: & per 32 p 1 reliquus ſimul uterque
trianguli h g fæquatur reliquo ſimul utrique trianguli
m a f. Itaque quantò minor eſt angulus a m g angulo a h
g: tãtò minor erit angulus h g m angulo h a m per 32 p 1. ]
Ergo diminutio anguli n m a ab angulo a h c minor eſt,
quàm diminutio anguli h g m ab angulo h a m. Et extra-
hamus duas a h, m a ad duo puncta e, o: erit ergo [per 24
n] angulus h a m ille, quem reſpiciunt in circumferen-
tia duo arcus h m, e o: & angulũ h g m reſpicit in circũ-
ferentia arcus h m duplicatus [angulus enim h g m du-
plus eſt anguli in peripheria conſtituti, & in eandẽ peri-
pheriã h m inſiſtentis per 20 p 3. Si igitur angulus, æqua-
lis angulo h g m in peripheria conſtituatur: inſiſtet in pe
ripheriam duplã peripheriæ h m per 33 p 6. ] Et cum angulus h g m ſit minor angulo h a m: [angu-
lus enim a h g maior eſt concluſus angulo a m g: & ad uerticem f ęquantur per 15 p 1: reliquus igitur
h g m minor eſt reliquo h a m per 32 p 1] erit arcus h m duplicatus minor duobus arcubus h m, e o
[per 33 p 6: ] & erit dimin utio arcus h m duplicati à duobus arcubus h m, e o, ſicut diminutio ar-
cus h m ab arcu e o [quia h m communis eſt. ] Ergo diminutio anguli n m a ab angulo a h c erit mi
nor angulo, quem reſpicit apud circumferentiam dimi-
233[Figure 233]e o k a c n g d z h m l p b nutio arcus h m ab arcu e o. Sed angulus, quẽ reſpicit a-
pud circumferẽtiam diminutio arcus h m ab arcu e o, eſt
minor angulo h a m. Eſt ergo diminutio anguli n m a ab
angulo a h c minor angulo h a m. Exceſſus ergo anguli
b m a ſupra angulũ b h a eſt minor, quàm angulus h a m.
[Nam per 13 p 1 exuperantia anguli b m a ſupra angulum
b h a eſt exuperantia anguli a h c ſupra angulum n m a,
quæ minor eſt concluſa angulo h a m. ] Sed exceſſus an-
guli b m a ſupra angulum b h a ſunt duo anguli h a m, h b
m, [ut oſtenſum eſt 27 n. ] Ergo iſtí duo anguli ſimul
ſunt minores angulo h a m: quod eſt impoſsibile. Et
ſi a fuerit in linea g k: tunc linea h c erit inter duas lineas
h g, h a: & ſimiliter linea m n erit inter duas lineas m g,
m a: Erit ergo angulus b h a ex parte k: & ſimiliter angu-
lus b m a erit ex parte k: & erit b infra lineam g m p, ſci-
licet ex parte d, à linea g m p: & uterque angulus c h g. n
m g eſt ille, quem continet linea, per quam extẽditur for-
ma, & perpendicularis exiens à loco refractionis: & uter-
que angulus c h a, n m a erit angulus refractionis. Si ergo
c h g fuerit æqualis n m g: tunc [per 12 n] angulus c h a e-
rit æqualis angulo n m a: & ſic [per 13 p 1] angulus b h a
erit æqualis angulo b m a: quod eſt impoſsibile [& con-
tra 21 p 1, connexa recta b a. ] Et ſi fuerit maior: tunc [per
12 n] angulus c h a erit maior angulo n m a: & ſic [per 13
p 1] angulus b h a erit minor angulo b m a: quod eſt im-
poſsibile. Et ſi fuerit minor: tunc [per 12 n] angulus c h a
erit minor angulo n m a: & ſic totus angulus g h a erit minor toto angulo g m a: Ergo [ut ſuprà o-
ſtenſum eſt] erit angulus h g m minor angulo h a m. Et erit diminutio anguli h g m ab angulo h a m
minor, quàm angulus g m a, ut prius declarauimus. Et diminutio anguli c h a ab angulo n m a eſt
refractionis: & ſimiliter angulus n m a. Angulus autem n m g aut erit æqualis angulo c h g, aut ma-
ior, aut minor. Si æqualis: erit [per 12 n] n m a æqualis
232[Figure 232]k o g e c n a d z f h m l p b angulo a h c: ergo [per 13 p 1. 3 ax. ] angulus b h a erit æ-
qualis angulo b m a: quod eſt impoſsibile. [Ducta enim
recta b a: erit angulus b m a maior angulo b h a per 21
p 1. ] Si maior: tunc [per 12 n] angulus n m a erit maior
angulo a h c: & ſic [per 13 p 1. 3 ax. ] angulus b m a erit mi-
nor angulo b h a: quod eſt impoſsibile [& contra 21 p 1. ]
Si minor: tunc [per 12 n] angulus n m a erit minor angu
lo a h c: & ſic totus angulus a m g erit minor toto angulo
a h g: & erit [per 12 n] diminutio anguli n m a, ab angu-
lo a h c minor, quàm diminutio anguli a m g, ab angulo
a h g: Sed diminutio anguli a m g ab angulo a h g, eſt æ-
qualis diminutioni anguli h g m ab angulo h a m: duo
enim anguli, qui ſunt in ſectione linearum a h, m g ſunt
æquales [per 15 p 1: & per 32 p 1 reliquus ſimul uterque
trianguli h g fæquatur reliquo ſimul utrique trianguli
m a f. Itaque quantò minor eſt angulus a m g angulo a h
g: tãtò minor erit angulus h g m angulo h a m per 32 p 1. ]
Ergo diminutio anguli n m a ab angulo a h c minor eſt,
quàm diminutio anguli h g m ab angulo h a m. Et extra-
hamus duas a h, m a ad duo puncta e, o: erit ergo [per 24
n] angulus h a m ille, quem reſpiciunt in circumferen-
tia duo arcus h m, e o: & angulũ h g m reſpicit in circũ-
ferentia arcus h m duplicatus [angulus enim h g m du-
plus eſt anguli in peripheria conſtituti, & in eandẽ peri-
pheriã h m inſiſtentis per 20 p 3. Si igitur angulus, æqua-
lis angulo h g m in peripheria conſtituatur: inſiſtet in pe
ripheriam duplã peripheriæ h m per 33 p 6. ] Et cum angulus h g m ſit minor angulo h a m: [angu-
lus enim a h g maior eſt concluſus angulo a m g: & ad uerticem f ęquantur per 15 p 1: reliquus igitur
h g m minor eſt reliquo h a m per 32 p 1] erit arcus h m duplicatus minor duobus arcubus h m, e o
[per 33 p 6: ] & erit dimin utio arcus h m duplicati à duobus arcubus h m, e o, ſicut diminutio ar-
cus h m ab arcu e o [quia h m communis eſt. ] Ergo diminutio anguli n m a ab angulo a h c erit mi
nor angulo, quem reſpicit apud circumferentiam dimi-
233[Figure 233]e o k a c n g d z h m l p b nutio arcus h m ab arcu e o. Sed angulus, quẽ reſpicit a-
pud circumferẽtiam diminutio arcus h m ab arcu e o, eſt
minor angulo h a m. Eſt ergo diminutio anguli n m a ab
angulo a h c minor angulo h a m. Exceſſus ergo anguli
b m a ſupra angulũ b h a eſt minor, quàm angulus h a m.
[Nam per 13 p 1 exuperantia anguli b m a ſupra angulum
b h a eſt exuperantia anguli a h c ſupra angulum n m a,
quæ minor eſt concluſa angulo h a m. ] Sed exceſſus an-
guli b m a ſupra angulum b h a ſunt duo anguli h a m, h b
m, [ut oſtenſum eſt 27 n. ] Ergo iſtí duo anguli ſimul
ſunt minores angulo h a m: quod eſt impoſsibile. Et
ſi a fuerit in linea g k: tunc linea h c erit inter duas lineas
h g, h a: & ſimiliter linea m n erit inter duas lineas m g,
m a: Erit ergo angulus b h a ex parte k: & ſimiliter angu-
lus b m a erit ex parte k: & erit b infra lineam g m p, ſci-
licet ex parte d, à linea g m p: & uterque angulus c h g. n
m g eſt ille, quem continet linea, per quam extẽditur for-
ma, & perpendicularis exiens à loco refractionis: & uter-
que angulus c h a, n m a erit angulus refractionis. Si ergo
c h g fuerit æqualis n m g: tunc [per 12 n] angulus c h a e-
rit æqualis angulo n m a: & ſic [per 13 p 1] angulus b h a
erit æqualis angulo b m a: quod eſt impoſsibile [& con-
tra 21 p 1, connexa recta b a. ] Et ſi fuerit maior: tunc [per
12 n] angulus c h a erit maior angulo n m a: & ſic [per 13
p 1] angulus b h a erit minor angulo b m a: quod eſt im-
poſsibile. Et ſi fuerit minor: tunc [per 12 n] angulus c h a
erit minor angulo n m a: & ſic totus angulus g h a erit minor toto angulo g m a: Ergo [ut ſuprà o-
ſtenſum eſt] erit angulus h g m minor angulo h a m. Et erit diminutio anguli h g m ab angulo h a m
minor, quàm angulus g m a, ut prius declarauimus. Et diminutio anguli c h a ab angulo n m a eſt
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