295257DE MATHÉMATIQUE. Liv. VII.
Cette conſtruction ſuppoſée, il eſt aiſé de voir que les qua-
drilateres E G B F, M B K I ſont ſemblables, ayant chacun deux
angles droits, les côtés E G, G F égaux entr’eux, de même
que les côtés B K, B M, l’angle E B F du premier égal à l’angle
en I du ſecond, puiſqu’ils ſont chacun ſupplément du même
angle M B K, & que dans tout quadrilatere, les quatre angles
valent quatre droits: donc les triangles G E B, B K I, qui ſont
les moitiés de ces quadrilateres, ſeront ſemblables, & donne-
ront I K: B K : : BE : GE, d’où l’on tire IK x GE = BK x BE;
mais G E2 : IK x GE: :GE: I K, & à cauſe des triangles ſemblables
A E G, A K I; GE : I K : : AE : AK; donc GE2 : IK x GE
ou B K x B E : : A E : A K; & prenant le produit des extrêmes
& des moyens G E2 x A K = B K x B E x A E : & multipliant
encore chaque membre par A K, G E2 x A K2 = B K x B E
x A E x A K, d’où l’on déduit, en prenant les racines de part
& d’autre, G E x A K, ou (art. 529) la ſurface du triangle
B A C = √B K x B E x A E x A K\x{0020}. Or il eſt viſible que les
facteurs ſoumis au radical ſont les trois différences de la demi-
ſomme des trois côtés, à chacun de ces côtés, multipliées par
la même demi-ſomme A K : donc la ſurface du triangle B A C
eſt égale à la racine quarrée d’un produit de quatre dimen-
ſions, fait de la demi-ſomme des trois côtés, multipliée par
la différence de la même demi-ſomme à chacundes trois côtés.
C. Q. F. D.
drilateres E G B F, M B K I ſont ſemblables, ayant chacun deux
angles droits, les côtés E G, G F égaux entr’eux, de même
que les côtés B K, B M, l’angle E B F du premier égal à l’angle
en I du ſecond, puiſqu’ils ſont chacun ſupplément du même
angle M B K, & que dans tout quadrilatere, les quatre angles
valent quatre droits: donc les triangles G E B, B K I, qui ſont
les moitiés de ces quadrilateres, ſeront ſemblables, & donne-
ront I K: B K : : BE : GE, d’où l’on tire IK x GE = BK x BE;
mais G E2 : IK x GE: :GE: I K, & à cauſe des triangles ſemblables
A E G, A K I; GE : I K : : AE : AK; donc GE2 : IK x GE
ou B K x B E : : A E : A K; & prenant le produit des extrêmes
& des moyens G E2 x A K = B K x B E x A E : & multipliant
encore chaque membre par A K, G E2 x A K2 = B K x B E
x A E x A K, d’où l’on déduit, en prenant les racines de part
& d’autre, G E x A K, ou (art. 529) la ſurface du triangle
B A C = √B K x B E x A E x A K\x{0020}. Or il eſt viſible que les
facteurs ſoumis au radical ſont les trois différences de la demi-
ſomme des trois côtés, à chacun de ces côtés, multipliées par
la même demi-ſomme A K : donc la ſurface du triangle B A C
eſt égale à la racine quarrée d’un produit de quatre dimen-
ſions, fait de la demi-ſomme des trois côtés, multipliée par
la différence de la même demi-ſomme à chacundes trois côtés.
C. Q. F. D.
Fin du ſeptieme Livre.