309271DE MATHÉMATIQUE. Liv. VIII.
Lemme.
565.
Une ligne moyenne proportionnelle entre les parties E G
11Figure 137.& G F du diametre E F d’un cercle, ſera le rayon d’un cercle égal
à la couronne X.
11Figure 137.& G F du diametre E F d’un cercle, ſera le rayon d’un cercle égal
à la couronne X.
Demonstration.
Conſidérez que par la nature du cercle, la ligne G H eſt
moyenne proportionnelle entre les parties E G & G F du dia-
metre; & à cauſe du triangle rectangle D G H, on a GH2 =
DH2-DG2: & commeles cercles ſont en mêmeraiſon que les
quarrés de leurs rayons, on aura le cercle de G H égal au cer-
cle de D H moins le cercle de D G; mais la couronne eſt auſſi
égale à la différence des cercles décrits du rayon DH & du
rayon D G: donc la couronne eſt égale au cercle du rayon
G H, ou d’une ligne moyenne entre les parties du diametre.
C. Q. F. D.
moyenne proportionnelle entre les parties E G & G F du dia-
metre; & à cauſe du triangle rectangle D G H, on a GH2 =
DH2-DG2: & commeles cercles ſont en mêmeraiſon que les
quarrés de leurs rayons, on aura le cercle de G H égal au cer-
cle de D H moins le cercle de D G; mais la couronne eſt auſſi
égale à la différence des cercles décrits du rayon DH & du
rayon D G: donc la couronne eſt égale au cercle du rayon
G H, ou d’une ligne moyenne entre les parties du diametre.
C. Q. F. D.
PROPOSITION VIII.
Theoreme.
Theoreme.
566.
Si l’on a une demi-ſphere A E D inſcrite dans un cylindre
22Figure 138. A B C D, je dis que la demi - ſphere eſt égale aux deux tiers du
cylindre.
22Figure 138. A B C D, je dis que la demi - ſphere eſt égale aux deux tiers du
cylindre.
Prolongez le diametre B C juſqu’en F, enſorte que B F ſoit
égale à B A, & tirez la ligne F A, qui donnera letriangle iſoſ-
cele A B F.
égale à B A, & tirez la ligne F A, qui donnera letriangle iſoſ-
cele A B F.
Demonstration.
Si l’on ſuppoſe que la demi-ſphere &
le cylindre ſont coupés
par un plan GL parallele à la baſe A D, cette ſection formera
la couronne G H, & ſi l’on abaiſſe du point H la perpendi-
culaire H I ſur le diametre A D, elle ſera, par le lemme précé-
dent, le rayon du cercle égal à la couronne G H, puiſqu’elle
eſt moyenne proportionnelle entre les parties A I & I D, ou
G H & H L qui leur ſont égales. Or comme les lignes H I,
G A, G K ſont égales, par conſtruction, il s’enſuit que la cou-
ronne G H ſera égale au cercle, qui auroit pour rayon la ligne
correſpondante G K, qui eſt un des élémens du triangle A B E;
& comme le triangle eſt compoſé d’autant d’élémens qu’il y a
de couronnes dans l’eſpace qui eſt entre la demi-ſphere &
par un plan GL parallele à la baſe A D, cette ſection formera
la couronne G H, & ſi l’on abaiſſe du point H la perpendi-
culaire H I ſur le diametre A D, elle ſera, par le lemme précé-
dent, le rayon du cercle égal à la couronne G H, puiſqu’elle
eſt moyenne proportionnelle entre les parties A I & I D, ou
G H & H L qui leur ſont égales. Or comme les lignes H I,
G A, G K ſont égales, par conſtruction, il s’enſuit que la cou-
ronne G H ſera égale au cercle, qui auroit pour rayon la ligne
correſpondante G K, qui eſt un des élémens du triangle A B E;
& comme le triangle eſt compoſé d’autant d’élémens qu’il y a
de couronnes dans l’eſpace qui eſt entre la demi-ſphere &
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