3119LIBER I.
16. Si per terminos duarum linearum æquidiſtantium & inæqualium, rectæproducantur,
illas ad partem minoris lineæ concurrere est neceſſe.
illas ad partem minoris lineæ concurrere est neceſſe.
Sint duæ lineæ a b & c d æquidiſtantes & inæquales:
ſitq́;
linea c d minor quàm linea a b:
producãturq́; per terminos ipſarum, lineę a c
273[Figure 273]a c f d b e& b d. Dico, quòd illæ lineæ a c & b d concur
rent ultra lineam c d. Producatur enim linea
c d ultra punctum d ad punctum e, fiatq́; per
3 p 1 linea c e æqualis lineę a b, & ducatur li-
nea b e. Hic itaque linea b e per 33 p 1 eſt æqui
diſtans lineę a c: ergo per 2 huius cum linea
b d concurrat cum linea b e in puncto b: pa-
tet, quòd ipſa concurret cum linea a c, quę æ-
quidiſtat lineę b e: ſed & ad partem lineę c d,
quę eſt minor quàm linea a b, concurrere eſt
neceſſe per 14 huius, uel per 2 p 6: patet ergo
propoſitum: punctus enim concurſus eius, (qui ſit f) erit ultra lineam c d.
producãturq́; per terminos ipſarum, lineę a c
273[Figure 273]a c f d b e& b d. Dico, quòd illæ lineæ a c & b d concur
rent ultra lineam c d. Producatur enim linea
c d ultra punctum d ad punctum e, fiatq́; per
3 p 1 linea c e æqualis lineę a b, & ducatur li-
nea b e. Hic itaque linea b e per 33 p 1 eſt æqui
diſtans lineę a c: ergo per 2 huius cum linea
b d concurrat cum linea b e in puncto b: pa-
tet, quòd ipſa concurret cum linea a c, quę æ-
quidiſtat lineę b e: ſed & ad partem lineę c d,
quę eſt minor quàm linea a b, concurrere eſt
neceſſe per 14 huius, uel per 2 p 6: patet ergo
propoſitum: punctus enim concurſus eius, (qui ſit f) erit ultra lineam c d.
17. Lineæ rectæ continentes angulos æquales cum linea recta, cui ad unum punctum inci-
dunt, ſimuliunctæ, ſunt breuiores omnibus lineis ab eiſdem terminis ſuper eandem lineam
adunum punctum alium productis, continentibus cum eadem linea angulos inæquales, ſi-
muliunctis.
dunt, ſimuliunctæ, ſunt breuiores omnibus lineis ab eiſdem terminis ſuper eandem lineam
adunum punctum alium productis, continentibus cum eadem linea angulos inæquales, ſi-
muliunctis.
Sit linea recta, quę a b c f:
& ſint duo puncta g, & d, â quibus duę lineę g b & d b productę ſuper
lineam a b c f, contineant angulos æquales,
274[Figure 274]g d a h b c f k ita, ut angulus a b g ſit æqualis angulo c b d.
Dico, quòd ſi à pũctis d & g ad aliquod aliud
punctum lineæ a b c f (quod ſitc) lineę du-
ctę contineant inęquales angulos, ita, ut an-
gulus g c a ſit minor angulo f c d: quòd lineę
g b & b d ſimul iunctę ſunt minores duabus
lineis g c & d c ſimul iunctis. Ducatur enim
à puncto g ſuper lineam a f perpendicularis
per 12 p 1, quę ſit g h: & producatur linea g h
ultra punctum h: & producatur d b, donec
concurrat cum linea g h producta: concur-
rent autem per 14 huius: ſit ergo punctus concurſus k: & coniungatur linea k c. Et quoniam angu-
lus d b c eſt æqualis angulo g b h exhypotheſi, & angulo h b k, ex 15 p 1: palàm, quòd angulus
h b k eſt ęqualis g b h: ſed anguli g h b & k h b ſunt ęquales: quia recti: ergo per 32 p 1 trigoni
g h b & k h b ſunt ęquianguli. Ergo per 4 p 6, cum linea h b ſit communis & ęqualis ſibijpſi, erit
linea g b ęqualis lineę k b, & linea g h ęqualis lineę h k. Et eadem ratione per 4 p 1 erit linea g c
ęqualis lineę k c. Quia uerò per 20 p 1 linea k d in trigono k d c minor eſt ambabus lineis d c &
k c ſimuliunctis, & linea g b ęqualis eſt lineę b k, & linea g c ęqualis eſt lineę k c: palàm, quia
ambę lineę g b & d b ſimul iunctę, minores ſunt ambabus lineis d c & g c ſimul iunctis. Simi-
liter quoque de quibuſcunque lineis à punctis g & d ad lineam a fproductis eſt demonſtrandum:
patet ergo propoſitum.
lineam a b c f, contineant angulos æquales,
274[Figure 274]g d a h b c f k ita, ut angulus a b g ſit æqualis angulo c b d.
Dico, quòd ſi à pũctis d & g ad aliquod aliud
punctum lineæ a b c f (quod ſitc) lineę du-
ctę contineant inęquales angulos, ita, ut an-
gulus g c a ſit minor angulo f c d: quòd lineę
g b & b d ſimul iunctę ſunt minores duabus
lineis g c & d c ſimul iunctis. Ducatur enim
à puncto g ſuper lineam a f perpendicularis
per 12 p 1, quę ſit g h: & producatur linea g h
ultra punctum h: & producatur d b, donec
concurrat cum linea g h producta: concur-
rent autem per 14 huius: ſit ergo punctus concurſus k: & coniungatur linea k c. Et quoniam angu-
lus d b c eſt æqualis angulo g b h exhypotheſi, & angulo h b k, ex 15 p 1: palàm, quòd angulus
h b k eſt ęqualis g b h: ſed anguli g h b & k h b ſunt ęquales: quia recti: ergo per 32 p 1 trigoni
g h b & k h b ſunt ęquianguli. Ergo per 4 p 6, cum linea h b ſit communis & ęqualis ſibijpſi, erit
linea g b ęqualis lineę k b, & linea g h ęqualis lineę h k. Et eadem ratione per 4 p 1 erit linea g c
ęqualis lineę k c. Quia uerò per 20 p 1 linea k d in trigono k d c minor eſt ambabus lineis d c &
k c ſimuliunctis, & linea g b ęqualis eſt lineę b k, & linea g c ęqualis eſt lineę k c: palàm, quia
ambę lineę g b & d b ſimul iunctę, minores ſunt ambabus lineis d c & g c ſimul iunctis. Simi-
liter quoque de quibuſcunque lineis à punctis g & d ad lineam a fproductis eſt demonſtrandum:
patet ergo propoſitum.
275[Figure 275]g d e a z b f c
18. Lineæ rectæ continentes angulos æ-
quales cumlinea conuexa, cui ad unum pun- ctum incidunt, ſimuliunctæ, ſunt breuiores omnibus lineis ab eiſdem terminis ſuper ean- dem lineam adunum punctum alium produ- ctis, continentibus cum eadem linea angulos inæquales, ſimuliunctis.
quales cumlinea conuexa, cui ad unum pun- ctum incidunt, ſimuliunctæ, ſunt breuiores omnibus lineis ab eiſdem terminis ſuper ean- dem lineam adunum punctum alium produ- ctis, continentibus cum eadem linea angulos inæquales, ſimuliunctis.
Sit linea curua a b c, ſuper cuius conuexum
â punctis g & d incidant lineę d a & g a, conti-
nentes angulos ęquales, ita, ut angulus c a g ſit
ęqualis angulo b a d. Dico, quòd ſi ducantur
alię lineę à punctis g & d ſuper lineam a b c,
ut g b & d b, continentes angulos inęquales
cum linea a b c: quòd ambę lineę g a & d a ſi-
mul iunctę, erunt breuiores duabus lineis g b &
d b ſimul iũctis, Ducatur enim linea e f, cõtingẽs
276[Figure 276]
â punctis g & d incidant lineę d a & g a, conti-
nentes angulos ęquales, ita, ut angulus c a g ſit
ęqualis angulo b a d. Dico, quòd ſi ducantur
alię lineę à punctis g & d ſuper lineam a b c,
ut g b & d b, continentes angulos inęquales
cum linea a b c: quòd ambę lineę g a & d a ſi-
mul iunctę, erunt breuiores duabus lineis g b &
d b ſimul iũctis, Ducatur enim linea e f, cõtingẽs