31210VITELLONIS OPTICAE
arcum a b c in puncto a per 17 p 3:
anguli ergo contingentiæ, qui ſunt e a c & f a b ſunt æquales
per 16 p 3: ſed anguli g a c & d a b ſunt æquales ex hypotheſi: erunt ergo anguli g a e & d a f æqua-
les. Et ad punctum, ubi linea g b ſecat lineam e f(quod ſit z) ducatur linea d z: ergo per præceden
tem ambæ lineæ g a & d a ſunt breuiores ambabus lineis g z & d z: cum angulus g z a ſit minor an-
gulo g a e, & angulus d z f ſit maior angulo d a f per 16 p 1. Sed linea g b eſt maior quàm linea
g z, ut totum parte, & linea d b eſt maior quàm linea d z per 19 p 1, quoniam angulus d z b eſt
maior angulus ſui trigoni. Patet ergo propoſitum in arcu circuli conuexo: & eodem modo demon
ſtrandum in quacunque alia columnali uel pyramidali ſectione ſecũdum ipſius conuexum: patet
ergo propoſitum.
per 16 p 3: ſed anguli g a c & d a b ſunt æquales ex hypotheſi: erunt ergo anguli g a e & d a f æqua-
les. Et ad punctum, ubi linea g b ſecat lineam e f(quod ſit z) ducatur linea d z: ergo per præceden
tem ambæ lineæ g a & d a ſunt breuiores ambabus lineis g z & d z: cum angulus g z a ſit minor an-
gulo g a e, & angulus d z f ſit maior angulo d a f per 16 p 1. Sed linea g b eſt maior quàm linea
g z, ut totum parte, & linea d b eſt maior quàm linea d z per 19 p 1, quoniam angulus d z b eſt
maior angulus ſui trigoni. Patet ergo propoſitum in arcu circuli conuexo: & eodem modo demon
ſtrandum in quacunque alia columnali uel pyramidali ſectione ſecũdum ipſius conuexum: patet
ergo propoſitum.
19. Vna linea recta in duabus ſuperficiebus planis exiſtente, neceſſe est, ut illæ duæ ſuperſi-
cies ſecundum illam lineam ſe ſecent. E' 3 p 11 element.
cies ſecundum illam lineam ſe ſecent. E' 3 p 11 element.
Sint duæ ſuperficies planæ a b c d & c d e f:
in quarum utraque ſit linea c d.
Dico, quòd illæ
duæ ſuperficies ſecant ſe ſuper lineam e d. Si enim illæ duæ ſuperfici-
277[Figure 277]a b c d e f es ad lineam c d, ut ad communem terminum per modum unius ſu-
perficiei continuè copulentur: tunc patet, quòd ipſæ ſunt partes uni-
us ſuperficiei, & non duæ ſuperficies: quod eſt contra hypotheſim.
Quòd ſi ipſæ ſuperficies datam lineam c d pertranſeant, nec ad ipſam,
ut ad communem terminum copulentur: palàm per 3 p 11, cum ipſæ
ad inuicem ſe ſecent, quòd ipſis aliqua linea eſt communis. Aut ergo
ſecant ſe ſuper lineam c d: & habetur propoſitum: aut ſuper aliam
quamcunque datam: & tunc, cum illa ſit ambabus propoſitis ſuper-
ficiebus communis per prænominatam 3 p 11, & eiſdem ſit linea c d
communis ex hypotheſi: ſequetur, ut duæ planæ ſuperficies illas du-
as lineas interiacentes corpus includãt: quod eſt impoſsibile, & con-
tra 4 ſuppoſitionem huius: patet ergo propoſitum.
duæ ſuperficies ſecant ſe ſuper lineam e d. Si enim illæ duæ ſuperfici-
277[Figure 277]a b c d e f es ad lineam c d, ut ad communem terminum per modum unius ſu-
perficiei continuè copulentur: tunc patet, quòd ipſæ ſunt partes uni-
us ſuperficiei, & non duæ ſuperficies: quod eſt contra hypotheſim.
Quòd ſi ipſæ ſuperficies datam lineam c d pertranſeant, nec ad ipſam,
ut ad communem terminum copulentur: palàm per 3 p 11, cum ipſæ
ad inuicem ſe ſecent, quòd ipſis aliqua linea eſt communis. Aut ergo
ſecant ſe ſuper lineam c d: & habetur propoſitum: aut ſuper aliam
quamcunque datam: & tunc, cum illa ſit ambabus propoſitis ſuper-
ficiebus communis per prænominatam 3 p 11, & eiſdem ſit linea c d
communis ex hypotheſi: ſequetur, ut duæ planæ ſuperficies illas du-
as lineas interiacentes corpus includãt: quod eſt impoſsibile, & con-
tra 4 ſuppoſitionem huius: patet ergo propoſitum.
20. Ab uno puncto in aere dato, ſuper unamquam ſubſtratã
planam uel conuexam ſuperficiem, una tantũ perpendicularis du-
ci potest. E' 11 & 13 p 11 elem.
planam uel conuexam ſuperficiem, una tantũ perpendicularis du-
ci potest. E' 11 & 13 p 11 elem.
Sit data ſuperficies plana a b c d, & datus in aere punctus e.
Dico, quòd à puncto e ad ſubſtra-
tam ſuperficiem, unam tantùm perpendicularem duci eſt poſsibi-
278[Figure 278]e a b k l f g h m c dle. Sienim poſsibile, ſit ut ſuper ſuperficiem planam datam, quæ a
b c d, ducantur à puncto e duæ perpendiculares, quæ ſint e f & e g.
Quia itaq; lineę e f & e g angulariter cõiunguntur in puncto e, pa
tet per 2 p 11, quoniam illæ duæ lineæ ſunt in eadem ſuperficie: &
quoniam lineæ illæ ſunt perpendiculares ſuper ſuperficiem a b c d,
erit ſuperficies, in qua ſunt lineæ illæ, erecta ſuper ſuperficiem a b
c d. Huius itaq; ſuperficiei & ſuperficiei a b c d communis ſectio
eſt linea f g per præmiſſam: in trigono itaque e f g ſunt duo angu
li recti, ſcilicet e f g & e g f per definitionem lineæ erectæ ſuper ſu
perficiem 3 definit. 11: hoc autem eſt impoſsibile, & contra 32 p 1.
Hoc autem etiam patet in ſuperficiebus conuexis: quia enim, per
5 definitionem huius omnis linea perpendicularis ſuper quam cun
que ſuperficiem conuexam, eſt perpendicularis ſuper planam ſu-
perficiem ipſam conuexam ſuperficiem in puncto incidentię lineę
illius contingentem: patet, quia in omni ſuperficie conuexaidem
accidit impoſsibile. Si enim ſit ſuperficies ſphærica cõuexa, in qua
ſit arcus f g: ſit ut ipſam contingat in puncto fſuperficies plana, in
qua ducatur linea h f k, & in puncto g ſuperficies plana, in qua ſit li-
nea l g m. Palàm ergo ex pręmiſsis, quia anguli e f k & e g l ſunt re-
cti. Producta quoq; chorda f g: palàm quia anguli e f g & e g f ſunt maiores duobus rectis, quod eſt
impoſsibile. Non eſt ergo poſsibile ab uno puncto dato plus una perpendiculari duci ad ſuperficiẽ
planam uel conuexam. Patet ergo propoſitum: quoniam in quibuſcunque alijs conuexis ſuperfi-
ciebus eſt eodem modo demonſtrandum.
tam ſuperficiem, unam tantùm perpendicularem duci eſt poſsibi-
278[Figure 278]e a b k l f g h m c dle. Sienim poſsibile, ſit ut ſuper ſuperficiem planam datam, quæ a
b c d, ducantur à puncto e duæ perpendiculares, quæ ſint e f & e g.
Quia itaq; lineę e f & e g angulariter cõiunguntur in puncto e, pa
tet per 2 p 11, quoniam illæ duæ lineæ ſunt in eadem ſuperficie: &
quoniam lineæ illæ ſunt perpendiculares ſuper ſuperficiem a b c d,
erit ſuperficies, in qua ſunt lineæ illæ, erecta ſuper ſuperficiem a b
c d. Huius itaq; ſuperficiei & ſuperficiei a b c d communis ſectio
eſt linea f g per præmiſſam: in trigono itaque e f g ſunt duo angu
li recti, ſcilicet e f g & e g f per definitionem lineæ erectæ ſuper ſu
perficiem 3 definit. 11: hoc autem eſt impoſsibile, & contra 32 p 1.
Hoc autem etiam patet in ſuperficiebus conuexis: quia enim, per
5 definitionem huius omnis linea perpendicularis ſuper quam cun
que ſuperficiem conuexam, eſt perpendicularis ſuper planam ſu-
perficiem ipſam conuexam ſuperficiem in puncto incidentię lineę
illius contingentem: patet, quia in omni ſuperficie conuexaidem
accidit impoſsibile. Si enim ſit ſuperficies ſphærica cõuexa, in qua
ſit arcus f g: ſit ut ipſam contingat in puncto fſuperficies plana, in
qua ducatur linea h f k, & in puncto g ſuperficies plana, in qua ſit li-
nea l g m. Palàm ergo ex pręmiſsis, quia anguli e f k & e g l ſunt re-
cti. Producta quoq; chorda f g: palàm quia anguli e f g & e g f ſunt maiores duobus rectis, quod eſt
impoſsibile. Non eſt ergo poſsibile ab uno puncto dato plus una perpendiculari duci ad ſuperficiẽ
planam uel conuexam. Patet ergo propoſitum: quoniam in quibuſcunque alijs conuexis ſuperfi-
ciebus eſt eodem modo demonſtrandum.
21. Omnium linearum ab eodem puncto adeandem ſuperficiem planamuel conuexam pro-
ductarum, minima eſt perpendicularis. Albazen 5 n 5.
ductarum, minima eſt perpendicularis. Albazen 5 n 5.
Eſto ſuperficies plana b c d i:
& punctum extrà ſignatum a, à quo ducantur plurimæ lineæ ad ſu-
perficiem datam, ut contingit, ſcilicet a e, a f, a g, a h, ſola tamen a e ſit perpendicularis. Dico, quòd li
nea a e eſt omnium aliarum breuiſsima. Ducantur enim lineæ e f, e g, e h, & componantur tri-
gona orthogonia. Palàm itaque (cum per 32 p 1 angulus rectus ſit maior in qualibet trigono
279[Figure 279]
perficiem datam, ut contingit, ſcilicet a e, a f, a g, a h, ſola tamen a e ſit perpendicularis. Dico, quòd li
nea a e eſt omnium aliarum breuiſsima. Ducantur enim lineæ e f, e g, e h, & componantur tri-
gona orthogonia. Palàm itaque (cum per 32 p 1 angulus rectus ſit maior in qualibet trigono