31311LIBER I.
orthogonio) quoniam linea a e per 19 p 1 breuior eſt qualibet linearum a f, a g, a h, & etiam
aliarum quarumcunq; ſic productarum: patet ergo propoſitum in planis. Sed & in conuexis patet
idem: quoniam ſi perpendicularis ſuper conuexam
280[Figure 280]a b c e f g h d i ſuperficiem ſit a e, & ſit b c d i ſuperficies plana con
tingens ſuperficiem conuexam ſecundum punctũ
e, ducanturq́; lineæ a f, a g, a h ſuper ſuperficiem pla
nam: erunt omnes illę maiores perpendiculari: er-
go eædem productæ ad ſuperficiem conuexã ſunt
multo maiores: patet ergo propoſitum.
aliarum quarumcunq; ſic productarum: patet ergo propoſitum in planis. Sed & in conuexis patet
idem: quoniam ſi perpendicularis ſuper conuexam
280[Figure 280]a b c e f g h d i ſuperficiem ſit a e, & ſit b c d i ſuperficies plana con
tingens ſuperficiem conuexam ſecundum punctũ
e, ducanturq́; lineæ a f, a g, a h ſuper ſuperficiem pla
nam: erunt omnes illę maiores perpendiculari: er-
go eædem productæ ad ſuperficiem conuexã ſunt
multo maiores: patet ergo propoſitum.
22. Ducta linea à ſupremo termino lineæ ſu-
per ſuperficiem erectæ, ad lineam perpendicularẽ
cuicun lineæ à puncto incidẽtiæ lineæ erectæ in
ſubiecta ſuperficie protractæ: neceſſe eſt protractã
lineam ſuperiacenti perpendicularem eſſe. Lem-
ma ad 37 theorema opticorum Euclidis: item 42
theor. 6 libri μαθκματικυεμ συναγωγυεμ Pappi.
per ſuperficiem erectæ, ad lineam perpendicularẽ
cuicun lineæ à puncto incidẽtiæ lineæ erectæ in
ſubiecta ſuperficie protractæ: neceſſe eſt protractã
lineam ſuperiacenti perpendicularem eſſe. Lem-
ma ad 37 theorema opticorum Euclidis: item 42
theor. 6 libri μαθκματικυεμ συναγωγυεμ Pappi.
Sit punctũ in aere datum, quod ſit a, à quo ad ſu-
perficiem planã ſubiectam, quæ ſit b c d, erigatur li-
nea per 12 p 11, quæ ſit a b, incidens datæ ſuperficiei in puncto b: & in ſuperficie b c d ducatur linea
d c, ut placuerit, & à puncto b ducatur perpendicularis ſuper lineam
281[Figure 281]a c b d d c, quæ ſit b d: & copuletur linea a d. Dico, quòd a d eſt perpendi-
cularis ſuper lineã d c. Sumatur enim in linea d c quodcunq; punctũ,
ut c, & ducantur lineæ a c, b c. Quia itaq; linea a b eſt erecta ſuper ſu-
perficiẽ b c d, patet ք definitionẽ lineę erectę 3 defin. 11, quoniã angu-
lus a b c eſt rectus: ergo ք 47 p 1, quadratũ lineę a c eſt æquale duob.
quadratis linearũ a b & b c: ſed & quadratũ lineę b c eſt æquale duob.
quadratis c d & b d per 47 p 1, quia linea b d eſt perpẽdicularis ſuper
lineam c d ex hypotheſi. Quadratum itaq; lineæ a c eſt æquale tribus
quadratis trium linearum, quæ ſunt a b & b d & c d: ſed quadratum li-
neæ a d eſt æquale duobus quadratis duarum linearum a b & b d:
quadratum ergo lineæ a c eſt æquale duobus quadratis duarum li-
nearum a d & d c. Ergo per 48 p 1 angulus a d c eſt rectus. Patet er-
go, quòd linea a d eſt perpendicularis ſuper lineam d c: quod eſt
propoſitum.
perficiem planã ſubiectam, quæ ſit b c d, erigatur li-
nea per 12 p 11, quæ ſit a b, incidens datæ ſuperficiei in puncto b: & in ſuperficie b c d ducatur linea
d c, ut placuerit, & à puncto b ducatur perpendicularis ſuper lineam
281[Figure 281]a c b d d c, quæ ſit b d: & copuletur linea a d. Dico, quòd a d eſt perpendi-
cularis ſuper lineã d c. Sumatur enim in linea d c quodcunq; punctũ,
ut c, & ducantur lineæ a c, b c. Quia itaq; linea a b eſt erecta ſuper ſu-
perficiẽ b c d, patet ք definitionẽ lineę erectę 3 defin. 11, quoniã angu-
lus a b c eſt rectus: ergo ք 47 p 1, quadratũ lineę a c eſt æquale duob.
quadratis linearũ a b & b c: ſed & quadratũ lineę b c eſt æquale duob.
quadratis c d & b d per 47 p 1, quia linea b d eſt perpẽdicularis ſuper
lineam c d ex hypotheſi. Quadratum itaq; lineæ a c eſt æquale tribus
quadratis trium linearum, quæ ſunt a b & b d & c d: ſed quadratum li-
neæ a d eſt æquale duobus quadratis duarum linearum a b & b d:
quadratum ergo lineæ a c eſt æquale duobus quadratis duarum li-
nearum a d & d c. Ergo per 48 p 1 angulus a d c eſt rectus. Patet er-
go, quòd linea a d eſt perpendicularis ſuper lineam d c: quod eſt
propoſitum.
23. Duabus planis ſuperficiebus æquidiſtantibus, una linea rect a incidente, quæ ad alteram
earũ erit perpendicularis, erit quo ad reliquã perpendicularis. Conuerſa 14 p 11 elem.
earũ erit perpendicularis, erit quo ad reliquã perpendicularis. Conuerſa 14 p 11 elem.
Sit, ut duabus ſuperficiebus planis & æquidiſtantibus incidatun a linea, quæ a b, uni ipſarum
in puncto a, & reliquæ in puncto b. Dico, quòd ſi linea a b fuerit
282[Figure 282]c d a b perpendicularis ſuper unam iſtarum ſuperficierum, quòd erit per-
pendicularis & ſuper reliquam. Nam à puncto a ducatur in altera ſu-
perficierum illarum linea recta, quæ a c, & in reliqua à puncto b du-
catur linea b d. Palàm itaque, quoniam lineæ a c & b d æquidiſtant:
in infinitum enim protractæ non concurrent, quia & ſuperficies in
quibus ſunt, non concurrunt. Si itaque alter angulorum, qui b a c
uel a b d fueritrectus: palàm ſemper per 29 p 1, quoniam & reli-
quus ipſorum erit rectus. Et quoniam eodem modo poteſt hoc de-
clarari de omnibus lineis in ſuperficiebus hinc inde ductis à punctis
a & b: patet, quòd linea a b cum ſingulis ſibi conterminalibus lineis
in utraque ſuperficierum illarum productis angulos rectos facit. Si
eſt ergo linea a b perpendicularis ſuper alteram ſuperficierum, pa-
làm, quia erit perpendicularis ſuper reliquam ipſarum: & hoc eſt
propoſitum.
in puncto a, & reliquæ in puncto b. Dico, quòd ſi linea a b fuerit
282[Figure 282]c d a b perpendicularis ſuper unam iſtarum ſuperficierum, quòd erit per-
pendicularis & ſuper reliquam. Nam à puncto a ducatur in altera ſu-
perficierum illarum linea recta, quæ a c, & in reliqua à puncto b du-
catur linea b d. Palàm itaque, quoniam lineæ a c & b d æquidiſtant:
in infinitum enim protractæ non concurrent, quia & ſuperficies in
quibus ſunt, non concurrunt. Si itaque alter angulorum, qui b a c
uel a b d fueritrectus: palàm ſemper per 29 p 1, quoniam & reli-
quus ipſorum erit rectus. Et quoniam eodem modo poteſt hoc de-
clarari de omnibus lineis in ſuperficiebus hinc inde ductis à punctis
a & b: patet, quòd linea a b cum ſingulis ſibi conterminalibus lineis
in utraque ſuperficierum illarum productis angulos rectos facit. Si
eſt ergo linea a b perpendicularis ſuper alteram ſuperficierum, pa-
làm, quia erit perpendicularis ſuper reliquam ipſarum: & hoc eſt
propoſitum.
24. Si duæ ſuperficies uni ſuperficiei æquidiſtantes fuerint, eædem inter ſe erunt æquidiſtan
tes: ſuperficies quoque concurrens cum una æquidiſtantium ſuperficierum & cum reliqua con-
curret. E' 30 p 1 & 9 p 11 elementorum.
tes: ſuperficies quoque concurrens cum una æquidiſtantium ſuperficierum & cum reliqua con-
curret. E' 30 p 1 & 9 p 11 elementorum.
Sint duæ ſuperficies a b c & g h k æquidiſtantes uni ſuperficiei, quæ d e f.
Dico, quòd
illæ duæ ſuperficies a b c & g h k neceſſariò adinuicem æquidiſtabunt. Educatur enim à pun-
cto l ſuperficiei a b c linea perpendicularis ſuper illam ſuperficiem per 12 p undecimi, quæ
illæ duæ ſuperficies a b c & g h k neceſſariò adinuicem æquidiſtabunt. Educatur enim à pun-
cto l ſuperficiei a b c linea perpendicularis ſuper illam ſuperficiem per 12 p undecimi, quæ