31412VITELLONIS OPTIC AE
ſit l m.
Palàm itaque per præmiſſſam, quoniã illa linea l m erit perpendicularis ſuper ſuperficiẽ d e f
æquieiſtantẽ ſuperficiei a b c. Producta ergo linea l m ultra alterutrũ
283[Figure 283]b c l a e f d h k m g ſuorũ terminorũ, erit ipſa ք eandẽ pręmiſſam քpendicularis ſuper ſu
perficiẽ g h k, æquidiſtãtẽ ſuքficiei a b c. Quia itaq; una linea l m ſuք
duas ſuperficies a b c & g h k orthogonaliter inſiſtit, patet per 14 p 11,
quòd illę duę ſuperficies, etiam ſi in infinitũ protrahantur, nunquã
concurrent. Sunt ergo ęquidiſtantes: patet ergo propoſitum primũ:
& per hoc & per 2 huius patet etiam ſecundum propoſitum.
æquieiſtantẽ ſuperficiei a b c. Producta ergo linea l m ultra alterutrũ
283[Figure 283]b c l a e f d h k m g ſuorũ terminorũ, erit ipſa ք eandẽ pręmiſſam քpendicularis ſuper ſu
perficiẽ g h k, æquidiſtãtẽ ſuքficiei a b c. Quia itaq; una linea l m ſuք
duas ſuperficies a b c & g h k orthogonaliter inſiſtit, patet per 14 p 11,
quòd illę duę ſuperficies, etiam ſi in infinitũ protrahantur, nunquã
concurrent. Sunt ergo ęquidiſtantes: patet ergo propoſitum primũ:
& per hoc & per 2 huius patet etiam ſecundum propoſitum.
284[Figure 284]k a e i l g b c ſ h d
25. Omnes lineæ perpendiculares inter lineas uel ſuperficies æ-
quidiſtãtes du
ctæ, ſunt æqui diſtantes & æ- quales: & ſi li- neærectæ line- is uel ſuperficie bus æquidiſt an tibus ad angu- los æquales in- cidant, ſunt quales.
quidiſtãtes du
ctæ, ſunt æqui diſtantes & æ- quales: & ſi li- neærectæ line- is uel ſuperficie bus æquidiſt an tibus ad angu- los æquales in- cidant, ſunt quales.
Sint duę lineę a b & c d æquidiſtãtes, inter quas ducãtur lineę perpẽdiculares, quę ſint e f & g h.
Dico, quòd lineæ e f & g h ſunt ęquidiſtantes & æquales. Quòd enim ſunt ęquidiſtãtes, hoc patet ք
28 p 1: quòd etiã ſunt ęquales, patet per 34 p 1. Et eodẽ modo demonſtrãdũ eſt, ſi lineę a b & c d ſint
in ſuperficiebus ęquidiſtantibus ſignatę. Quòd ſi lineę e f & g h non perpendiculariter, ſed ad angu
los ęquales incidãt, ductis lineis uel ſuperficiebus, ita, ut angulus g h c ſit ęqualis angulo e f d, erũt
etiam lineę g h & e f ęquales: concurrent enim per 14 huius: ſit ergo punctus concurſus k. Quia ita-
que angulus k f h eſt ęqualis angulo k h f, ex hypotheſi: erit per 6 p 1 trigoni k f h latus k f ęquale la-
teri k h. Sed per 29 & 26 p 1 erit trigoni k i llatus k i ęquale lateri k l: relinquitur ergo linea i f ęqualis
lineæ l h: quod eſt propoſitum. In ſuperficiebus quoq; æquidiſtantibus ſignatis lineis a b & c d ea-
dem eſt demonſtratio: patet ergo illud, quod proponebatur.
Dico, quòd lineæ e f & g h ſunt ęquidiſtantes & æquales. Quòd enim ſunt ęquidiſtãtes, hoc patet ք
28 p 1: quòd etiã ſunt ęquales, patet per 34 p 1. Et eodẽ modo demonſtrãdũ eſt, ſi lineę a b & c d ſint
in ſuperficiebus ęquidiſtantibus ſignatę. Quòd ſi lineę e f & g h non perpendiculariter, ſed ad angu
los ęquales incidãt, ductis lineis uel ſuperficiebus, ita, ut angulus g h c ſit ęqualis angulo e f d, erũt
etiam lineę g h & e f ęquales: concurrent enim per 14 huius: ſit ergo punctus concurſus k. Quia ita-
que angulus k f h eſt ęqualis angulo k h f, ex hypotheſi: erit per 6 p 1 trigoni k f h latus k f ęquale la-
teri k h. Sed per 29 & 26 p 1 erit trigoni k i llatus k i ęquale lateri k l: relinquitur ergo linea i f ęqualis
lineæ l h: quod eſt propoſitum. In ſuperficiebus quoq; æquidiſtantibus ſignatis lineis a b & c d ea-
dem eſt demonſtratio: patet ergo illud, quod proponebatur.
285[Figure 285]d e b f h g l a k c
26. Cuilibet angulo dato baſim, æqualem datæ lineæ, ſub-
tendere.
tendere.
Eſto angulus datus a b c, & linea data d e:
ſeparetur itaque à li-
nea b c, ex parte puncti b linea b f, non maior medietate lineæ d e
per 3 p 1, & in puncto f poſito pede circini immobili, deſcribatur cir-
culus ſecundum quantitatem ſemidiametri d e: hic itaq; ſecabit ne-
ceſſariò latus b a per 20 p 1, cum latus b f non ſit maius medietate li-
neæ d e. Sit ergo, ut ſecet ipſum in puncto g, & ducatur linea g f: hęc
itaque neceſſariò erit æqualis lineæ d e per circuli definitionem 15
defin: 1 elemen: patet ergo propoſitum. Poteſt & idem aliter demon
ſtrari. A' puncto enim b ducatur linea b h angulariter, ut conting it,
ſuper lineam a b, quæ per 3 p 1 fiat æqualis datæ lineę d e: & à puncto
h ducatur æquidiſtans lineę a b per 31 p 1, quæ per 2 huius neceſſariò
concurret cum linea b c. Sit punctus concurſus k, & à puncto k du-
catur linea æquidiſtans lineæ b h, quæ ſit k l: erit quo que ſuperficies
b h k l æquidiſtantium laterum: ergo per 34 p 1, linea l k eſt æqualis
lineæ b h: ergo & lineæ datæ, quæ eſt d e: patet ergo propoſitum.
nea b c, ex parte puncti b linea b f, non maior medietate lineæ d e
per 3 p 1, & in puncto f poſito pede circini immobili, deſcribatur cir-
culus ſecundum quantitatem ſemidiametri d e: hic itaq; ſecabit ne-
ceſſariò latus b a per 20 p 1, cum latus b f non ſit maius medietate li-
neæ d e. Sit ergo, ut ſecet ipſum in puncto g, & ducatur linea g f: hęc
itaque neceſſariò erit æqualis lineæ d e per circuli definitionem 15
defin: 1 elemen: patet ergo propoſitum. Poteſt & idem aliter demon
ſtrari. A' puncto enim b ducatur linea b h angulariter, ut conting it,
ſuper lineam a b, quæ per 3 p 1 fiat æqualis datæ lineę d e: & à puncto
h ducatur æquidiſtans lineę a b per 31 p 1, quæ per 2 huius neceſſariò
concurret cum linea b c. Sit punctus concurſus k, & à puncto k du-
catur linea æquidiſtans lineæ b h, quæ ſit k l: erit quo que ſuperficies
b h k l æquidiſtantium laterum: ergo per 34 p 1, linea l k eſt æqualis
lineæ b h: ergo & lineæ datæ, quæ eſt d e: patet ergo propoſitum.
286[Figure 286]b a g c e d f
27. Datis duobus angulis inæqualibus, ex maiore
ipſorum æquum minorireſecare. E' 23 p 1 element.
ipſorum æquum minorireſecare. E' 23 p 1 element.
Sint duo anguli dati a b c, d e f:
ſit a b c maior & d e f mi
nor. Propoſitum eſt, ut ex angulo a b c reſecetur angulus
æqualis angulo d e f: hoc autem fiet per 23 p 1, ſi ſuper b ter
minum lineæ a b intra angulum a b c fiat angulus æqualis
angulo d e f, qui ſit a b g: & hoc eſt propoſitum.
nor. Propoſitum eſt, ut ex angulo a b c reſecetur angulus
æqualis angulo d e f: hoc autem fiet per 23 p 1, ſi ſuper b ter
minum lineæ a b intra angulum a b c fiat angulus æqualis
angulo d e f, qui ſit a b g: & hoc eſt propoſitum.
28. Datum angulum rectum in tres partes æqua-
les diuidere.
les diuidere.
Nõ indiguimus quò ad præſens propoſitum diuiſione
aliorum angulorum in partes tres æquales, ſed ſolum recto: & ob hoc non proponimus hic, niſi de
aliorum angulorum in partes tres æquales, ſed ſolum recto: & ob hoc non proponimus hic, niſi de