31816VITELLONIS OPTICAE
à latere d a æquale lateri b a, quod ſit linea d f.
Et quia linea d c eſt minor latere b c per 19 p 1:
quo-
niã angulus b d c eſt rectus: protrahatur linea d c, & reſecetur in pũcto g taliter, ut ſit linea d g ęqua
lis lineæ b c. Quia ergo trigoni f d g duo latera f d & d g ſunt æqualia duobus lateribus a b & b c tri-
goni a b c, & angulus f d g æqualis eſt angulo a b c: quia uterq; rectus: erit per 4 p 1 baſis f g æqualis
baſi a c, & reliqui anguli reliquis angulis: angulus ergo f g d æqualis erit angulo a c b. Quia uerò
puncta a & fſunt in linea a d, & puncta c & g ſunt in linea d g: palàm, quia lineæ a c & f g ſunt in una
ſuperficie, quæ eſt a d g per 2 p 11: ergo interſecant ſe lineæ g f & c a: ſit earũ interſectio in puncto h.
Quia uerò in trigono c h g latus g c protrahitur, palàm ex 16 p 1, quoniã angulus h c d maior eſt an-
gulo h g c: ergo & eius æquali, ſcilicet angulo a c b: angulus ergo a c d maior eſt angulo a c b: quod
eſt propoſitũ. Similiterq́; demonſtrandũ in alijs: ſi enim trigona propoſita fuerint in diuerſis locis
conſtituta, palàm, quia ipſis æqualia & æquiangula trigona ſic poſſunt ordinari, ut in figura diſpo-
nuntur, & demonſtratio facta de ijs ſe extendit ad alia. Patet ergo uniuerſaliter propoſitum. Et ex
hoc patet, quòd angulus b a c eſt maior angulo d a c per 32 p 1.
niã angulus b d c eſt rectus: protrahatur linea d c, & reſecetur in pũcto g taliter, ut ſit linea d g ęqua
lis lineæ b c. Quia ergo trigoni f d g duo latera f d & d g ſunt æqualia duobus lateribus a b & b c tri-
goni a b c, & angulus f d g æqualis eſt angulo a b c: quia uterq; rectus: erit per 4 p 1 baſis f g æqualis
baſi a c, & reliqui anguli reliquis angulis: angulus ergo f g d æqualis erit angulo a c b. Quia uerò
puncta a & fſunt in linea a d, & puncta c & g ſunt in linea d g: palàm, quia lineæ a c & f g ſunt in una
ſuperficie, quæ eſt a d g per 2 p 11: ergo interſecant ſe lineæ g f & c a: ſit earũ interſectio in puncto h.
Quia uerò in trigono c h g latus g c protrahitur, palàm ex 16 p 1, quoniã angulus h c d maior eſt an-
gulo h g c: ergo & eius æquali, ſcilicet angulo a c b: angulus ergo a c d maior eſt angulo a c b: quod
eſt propoſitũ. Similiterq́; demonſtrandũ in alijs: ſi enim trigona propoſita fuerint in diuerſis locis
conſtituta, palàm, quia ipſis æqualia & æquiangula trigona ſic poſſunt ordinari, ut in figura diſpo-
nuntur, & demonſtratio facta de ijs ſe extendit ad alia. Patet ergo uniuerſaliter propoſitum. Et ex
hoc patet, quòd angulus b a c eſt maior angulo d a c per 32 p 1.
38. Omnium duorum trigonorum rectangulorũ, quorũ latus ſubtenſum recto angulo unius
ad minus latus eiuſdem proportionem habuerit maiorem, quàm latus ſubtenſum recto angulo
alterius ad minus latus eiuſdem: erit angulus linearum maioris proportionis maior angulo li-
nearum minoris proportionis: & econuerſo.
ad minus latus eiuſdem proportionem habuerit maiorem, quàm latus ſubtenſum recto angulo
alterius ad minus latus eiuſdem: erit angulus linearum maioris proportionis maior angulo li-
nearum minoris proportionis: & econuerſo.
Sint duo trigona rectangula a b c & d e f, quorũ anguli a b c & d e f ſint recti:
ſitq́;
latus b c minus
latere a b, & latus e f minus latere d e: ſitq́; maior proportio lineæ a c ad lineam f e. Dico, quòd an-
gulus a c b maior eſt angulo d f e. Quia enim maior eſt proportio lineæ a c ad lineã c b, quàm lineæ
d f ad lineam f e: ſed per 47 p 1 quadratũ lineæ
300[Figure 300]a k b c301[Figure 301]d e f302[Figure 302]h g a c ualet quadrata duarum linearũ a b & c b: &
quadratũ lineæ d fualet quadrata duarũ linea
rum, quæ ſunt d e & f e: & quia per 20 p 6 pro-
portio quadratorũ eſt proportio duplicata la-
terũ: patet, quòd maior eſt proportio quadra.
tia c ad quadratum c b, quàm quadrati d f ad
quadratũ f e: eſt ergo per 11 huius maior pro-
portio amborũ quadratorũ linearũ a b & b c
ad quadra tũ b c, quàm am borũ quadratorũ li-
nearũ d e & f e a d quadratũ f e: ergo per 12 hu-
ius maior eſt proportio quadrati a b ad qua-
dratum b c, quàm quadrati d e ad quadratũ e f: eſt ergo per 22 p 6 maior proportio lineę a b ad line-
am b c, quàm lineæ d e ad lineã e f. Eſto, ut, quæ eſt proportio lineæ d e ad lineã e f, eadẽ ſit alicuius
lineæ, ut g h ad lineam c b per 3 huius: erit ergo linea g h minor quàm linea a b per 10 p 5. Reſecetur
ergo per 3 p 1 ex linea a b æqualis lineæ g h: & ſit b k, & continuetur linea c k: erunt ergo per 6 p 6
trigona d e f & k b c æquiangula: angulus itaq; b c k eſt æqualis angulo e f d: ſed angulus b c a eſt
maior angulo b c k, totũ parte. Angulus itaq; a c b maior eſt angulo d f e: & hoc eſt ꝓpoſitũ: ex quo
etiã patet, quòd eius cõuerſa eſt uera: quoniã in talibus trigonis lineæ maiores angulos continen-
tes, maiorem habent ad ſeinuicem proportionem.
latere a b, & latus e f minus latere d e: ſitq́; maior proportio lineæ a c ad lineam f e. Dico, quòd an-
gulus a c b maior eſt angulo d f e. Quia enim maior eſt proportio lineæ a c ad lineã c b, quàm lineæ
d f ad lineam f e: ſed per 47 p 1 quadratũ lineæ
300[Figure 300]a k b c301[Figure 301]d e f302[Figure 302]h g a c ualet quadrata duarum linearũ a b & c b: &
quadratũ lineæ d fualet quadrata duarũ linea
rum, quæ ſunt d e & f e: & quia per 20 p 6 pro-
portio quadratorũ eſt proportio duplicata la-
terũ: patet, quòd maior eſt proportio quadra.
tia c ad quadratum c b, quàm quadrati d f ad
quadratũ f e: eſt ergo per 11 huius maior pro-
portio amborũ quadratorũ linearũ a b & b c
ad quadra tũ b c, quàm am borũ quadratorũ li-
nearũ d e & f e a d quadratũ f e: ergo per 12 hu-
ius maior eſt proportio quadrati a b ad qua-
dratum b c, quàm quadrati d e ad quadratũ e f: eſt ergo per 22 p 6 maior proportio lineę a b ad line-
am b c, quàm lineæ d e ad lineã e f. Eſto, ut, quæ eſt proportio lineæ d e ad lineã e f, eadẽ ſit alicuius
lineæ, ut g h ad lineam c b per 3 huius: erit ergo linea g h minor quàm linea a b per 10 p 5. Reſecetur
ergo per 3 p 1 ex linea a b æqualis lineæ g h: & ſit b k, & continuetur linea c k: erunt ergo per 6 p 6
trigona d e f & k b c æquiangula: angulus itaq; b c k eſt æqualis angulo e f d: ſed angulus b c a eſt
maior angulo b c k, totũ parte. Angulus itaq; a c b maior eſt angulo d f e: & hoc eſt ꝓpoſitũ: ex quo
etiã patet, quòd eius cõuerſa eſt uera: quoniã in talibus trigonis lineæ maiores angulos continen-
tes, maiorem habent ad ſeinuicem proportionem.
303[Figure 303]a c e f b d
39. A puncto in aere dato ad ſubſtratam planãſuperficiẽ una linea perpendiculariter, alia
obliquè incidente, & linea recta inter pũcta incidentiæ in ipſa ſu
perficie protracta: erit angulus à non perpendiculari cũ iacẽte li- nea contentus, minimus omnium angulorum ſub illa obliqua & quacun linea in ſubſtrata ſuperſicie protracta contentorum: & omnis angulus illi propinquior, eſt minor remotiore: & duo ex utra parte æqualiter approximantes, ſunt æquales. Lemma ad 37 the. opticorum Euclidis. 43 theor 6 libri συναγωγυζμ μαθκμα- τικυζμ Pappi.
obliquè incidente, & linea recta inter pũcta incidentiæ in ipſa ſu
perficie protracta: erit angulus à non perpendiculari cũ iacẽte li- nea contentus, minimus omnium angulorum ſub illa obliqua & quacun linea in ſubſtrata ſuperſicie protracta contentorum: & omnis angulus illi propinquior, eſt minor remotiore: & duo ex utra parte æqualiter approximantes, ſunt æquales. Lemma ad 37 the. opticorum Euclidis. 43 theor 6 libri συναγωγυζμ μαθκμα- τικυζμ Pappi.
Sit punctus in aere datus a, cui ſit ſub ſtrata ſuperficies plana, quę
b c d, fuper quã ab illo puncto ducatur obliquè linea a b, ducaturq́;
perpendiculariter linea a c, & copuletur linea b c. Dico, quòd angu-
lus a b c eſt minimus omnium angulorũ contentorũ ſub linea obli-
qua a b, & ſub unaquaq; linearũ à puncto b ductarũ in ſuperficie b
c d: & quòd ſemper propinquior ipſi eſt minor quàm remotior: &
quòd duo anguli æquales ſolũ ex utraq; parte ipſius cõſiſtunt. Duca
tur enim in data plana ſuperficie, utcunq; contingit, linea b d, & à
puncto c ducatur in eadem ſuperficie linea perpendicularis ſuper lineam b d per 11 p 1, quæ ſit c d,
& copuletur à puncto a linea a d: eſt ita q; per 22 huius linea a d perpẽdicularis ſuper lineam b d. Et
quoniam angulus a c d eſt rectus, palàm per 19 p 1, quoniam obliqua linea a d maior eſt catheto a c:
linea itaq; b a ad lineam a c maiorẽ habet proportionẽ quàm ad lineã a d per 8 p 5: & anguli b c a &
b c d, fuper quã ab illo puncto ducatur obliquè linea a b, ducaturq́;
perpendiculariter linea a c, & copuletur linea b c. Dico, quòd angu-
lus a b c eſt minimus omnium angulorũ contentorũ ſub linea obli-
qua a b, & ſub unaquaq; linearũ à puncto b ductarũ in ſuperficie b
c d: & quòd ſemper propinquior ipſi eſt minor quàm remotior: &
quòd duo anguli æquales ſolũ ex utraq; parte ipſius cõſiſtunt. Duca
tur enim in data plana ſuperficie, utcunq; contingit, linea b d, & à
puncto c ducatur in eadem ſuperficie linea perpendicularis ſuper lineam b d per 11 p 1, quæ ſit c d,
& copuletur à puncto a linea a d: eſt ita q; per 22 huius linea a d perpẽdicularis ſuper lineam b d. Et
quoniam angulus a c d eſt rectus, palàm per 19 p 1, quoniam obliqua linea a d maior eſt catheto a c:
linea itaq; b a ad lineam a c maiorẽ habet proportionẽ quàm ad lineã a d per 8 p 5: & anguli b c a &