31917LIBER I.
b d a ſunt recti:
erit itaq;
ք præ cedẽtẽ proximã angulus b a c maior angulo b a d:
erit ergo per 32 p 1
angulus a b c minor angulo a b d. Similiterq́; patet, quoniã angulus a b c minimus eſt omniũ angu-
lorũ cõtẽtorũ ſub linea obliquè incidẽte à pũcto a lineę b c, & ſub ipſa linea b c. Propinquior quoq;
illi eſt minor remotiore. Ducatur enim à pũcto b in ſubſtrata ſuperficie linea, ut cõtingit, quę ſit b e,
& à pũcto c ducatur in eadẽ ſuperficie linea քpẽdicularis ſuper lineã b e, q̃ ſit linea c e, & ꝓducatur
linea a e, quę ք 22 huius erit perpẽdicularis ſuper lineã b e. Et quoniã angulus b d c eſt rectus, & an-
gulus c e b rectus, & angulus b c d maior eſt angulo b c e per cõuerſam pręmiſſæ, quoniã linea e c ad
lineã c b maiorẽ habet ꝓportionẽ ꝗ̃ linea d c ad lineã c b. Linea itaq; e c eſt multõ maior ꝗ̃ linea c d:
ſed cathetus a c քpendiculariter incidit lineis c e & c d ք definitionẽ lineę erectæ: maior ergo eſt li-
nea a e ꝗ̃ linea a d ք 47 p 1: linea enim c e eſt maior ꝗ̃ linea c d. Linea itaq; b a ad lineã a d maiorẽ ha-
bet proportionẽ ꝗ̃ ad lineã e a ք 8 p 5: & anguli a d b & a e b ſunt recti: angulus itaq; b a d eſt maior
angulo b a e per præcedentẽ: ergo per 32 p 1 angulus a b d minor eſt angulo a b e. Similiter quoque
demonſtrandũ, quòd ſemper angulus propinquior, minor eſt remotiore: ſolũ uerò duo ex utraque
parte æquales cõſiſtunt: ſuper punctũ enim b terminũ lineæ c b in ſubiecta ſuperficie conſtituatur
angulus æqualis angulo d b c per 23 p 1, qui ſit c b f: & à puncto c ducatur linea c f perpendiculariter
ſuper lineã b f per 12 p 1, & ducatur linea a f. Quia itaq; angulus c b d eſt æqualis angulo c b f ex hypo
theſi, & angulus c d b eſt rectus æqualis angulo c f b recto, & linea c b eſt cõmunis ambobus trigo-
nis b c d & b c f: palàm per 26 p 1, quoniam latus b d eſt æquale lateri b f, & latus d c eſt æquale lateri
c f: ſed quia linea a c eſt cathetus ſuper ſuperficiẽ b c d, eſt per pendicularis ſuper ambas lineas d c &
f c. Eſt itaq; linea a d æqualis lineæ a f. Quoniã itaq; æqualis eſt linea d b lineæ b f, & linea b a eſt cõ-
munis ambobus trigonis d b a & b a f, & linea d a æqualis lineæ a f, erit angulus a b d æqualis angu-
lo a b f per 8 p 1. Similiter quoq; demonſtrandũ, quoniã angulo a b d non erit aliquis alius æqualis.
Eſt ergo angulus a b c minimus, &c. ut proponitur: patet itaq; intentum.
angulus a b c minor angulo a b d. Similiterq́; patet, quoniã angulus a b c minimus eſt omniũ angu-
lorũ cõtẽtorũ ſub linea obliquè incidẽte à pũcto a lineę b c, & ſub ipſa linea b c. Propinquior quoq;
illi eſt minor remotiore. Ducatur enim à pũcto b in ſubſtrata ſuperficie linea, ut cõtingit, quę ſit b e,
& à pũcto c ducatur in eadẽ ſuperficie linea քpẽdicularis ſuper lineã b e, q̃ ſit linea c e, & ꝓducatur
linea a e, quę ք 22 huius erit perpẽdicularis ſuper lineã b e. Et quoniã angulus b d c eſt rectus, & an-
gulus c e b rectus, & angulus b c d maior eſt angulo b c e per cõuerſam pręmiſſæ, quoniã linea e c ad
lineã c b maiorẽ habet ꝓportionẽ ꝗ̃ linea d c ad lineã c b. Linea itaq; e c eſt multõ maior ꝗ̃ linea c d:
ſed cathetus a c քpendiculariter incidit lineis c e & c d ք definitionẽ lineę erectæ: maior ergo eſt li-
nea a e ꝗ̃ linea a d ք 47 p 1: linea enim c e eſt maior ꝗ̃ linea c d. Linea itaq; b a ad lineã a d maiorẽ ha-
bet proportionẽ ꝗ̃ ad lineã e a ք 8 p 5: & anguli a d b & a e b ſunt recti: angulus itaq; b a d eſt maior
angulo b a e per præcedentẽ: ergo per 32 p 1 angulus a b d minor eſt angulo a b e. Similiter quoque
demonſtrandũ, quòd ſemper angulus propinquior, minor eſt remotiore: ſolũ uerò duo ex utraque
parte æquales cõſiſtunt: ſuper punctũ enim b terminũ lineæ c b in ſubiecta ſuperficie conſtituatur
angulus æqualis angulo d b c per 23 p 1, qui ſit c b f: & à puncto c ducatur linea c f perpendiculariter
ſuper lineã b f per 12 p 1, & ducatur linea a f. Quia itaq; angulus c b d eſt æqualis angulo c b f ex hypo
theſi, & angulus c d b eſt rectus æqualis angulo c f b recto, & linea c b eſt cõmunis ambobus trigo-
nis b c d & b c f: palàm per 26 p 1, quoniam latus b d eſt æquale lateri b f, & latus d c eſt æquale lateri
c f: ſed quia linea a c eſt cathetus ſuper ſuperficiẽ b c d, eſt per pendicularis ſuper ambas lineas d c &
f c. Eſt itaq; linea a d æqualis lineæ a f. Quoniã itaq; æqualis eſt linea d b lineæ b f, & linea b a eſt cõ-
munis ambobus trigonis d b a & b a f, & linea d a æqualis lineæ a f, erit angulus a b d æqualis angu-
lo a b f per 8 p 1. Similiter quoq; demonſtrandũ, quoniã angulo a b d non erit aliquis alius æqualis.
Eſt ergo angulus a b c minimus, &c. ut proponitur: patet itaq; intentum.
304[Figure 304]b f c h e k a g d
40. Omnium ſuperficierum æquidiſtantiũ laterũ
diagonij per æqualia ſe ſecãt: ex quo patet, quòd pun
ctum interſectionis diagoniorum eſt medium pun- ctum eiuſdem ſuperficiei.
diagonij per æqualia ſe ſecãt: ex quo patet, quòd pun
ctum interſectionis diagoniorum eſt medium pun- ctum eiuſdem ſuperficiei.
Sit ſuperficies æquidiſtantiũ laterũ, ſiue ſit quadra
ta, ſiue altera parte longior, quæ a b c d, in qua ducan-
tur diagonij, quæſint a c & b d, ſecantes ſe in puncto e.
Dico, quòd diagonij ſecant ſe adinuicem per ęqualia:
& quòd punctũ e eſt mediũ punctũ ſuperficiei a b c d.
Palàm enim, quia trigona b e c & a e d per 15 & 29 p 1
ſunt æquiangula: & erit angulus e b c æqualis angulo
e d a, ꝗa ſunt coalterni. Similiter quoq; angulus e c b,
eſt æ qualis angulo e a d: ergo per 4 p 6 erit proportio
lineæ b e ad lineam e d, ſicut lineæ c e ad lineam e a: &
ſicut lineæ b c ad lineã a d: ſed linea b c eſt æqualis li-
neæ a d per 34 p 1. Linea ergo b e eſt æqualis lineę e d,
& linea c e æqualis lineę e a. Illę ergo diagonij diuidũt
ſe adinuicẽ per æqualia. Et ք hoc manifeſtũ eſt corollariũ: punctũ enim e æqualiter diſtat ab omni-
bus extremis: in quo tñ ſi aliquod dubiũ fuerit, ducãtur à pũcto e lineę æquidiſtantes lateribus ſu-
perficiei propoſitę per 31 p 1, quę ſint f g & h k: ſequeturq́; propter æqualitatem partiũ ipſarũ diago-
niorũ modo prædicto argumẽtãdo, lineã f e æqualẽ fieri lineę e g, & lineã h e æqualẽ fieri lineæ e k.
Patet itaq; , quoniã ſecundum omnem modum, punctum e æqualiter diſtat à punctis extrem arum
linearum: directè igitur oppoſitum eſt: ergo medium inter illa: quod eſt propoſitum.
ta, ſiue altera parte longior, quæ a b c d, in qua ducan-
tur diagonij, quæſint a c & b d, ſecantes ſe in puncto e.
Dico, quòd diagonij ſecant ſe adinuicem per ęqualia:
& quòd punctũ e eſt mediũ punctũ ſuperficiei a b c d.
Palàm enim, quia trigona b e c & a e d per 15 & 29 p 1
ſunt æquiangula: & erit angulus e b c æqualis angulo
e d a, ꝗa ſunt coalterni. Similiter quoq; angulus e c b,
eſt æ qualis angulo e a d: ergo per 4 p 6 erit proportio
lineæ b e ad lineam e d, ſicut lineæ c e ad lineam e a: &
ſicut lineæ b c ad lineã a d: ſed linea b c eſt æqualis li-
neæ a d per 34 p 1. Linea ergo b e eſt æqualis lineę e d,
& linea c e æqualis lineę e a. Illę ergo diagonij diuidũt
ſe adinuicẽ per æqualia. Et ք hoc manifeſtũ eſt corollariũ: punctũ enim e æqualiter diſtat ab omni-
bus extremis: in quo tñ ſi aliquod dubiũ fuerit, ducãtur à pũcto e lineę æquidiſtantes lateribus ſu-
perficiei propoſitę per 31 p 1, quę ſint f g & h k: ſequeturq́; propter æqualitatem partiũ ipſarũ diago-
niorũ modo prædicto argumẽtãdo, lineã f e æqualẽ fieri lineę e g, & lineã h e æqualẽ fieri lineæ e k.
Patet itaq; , quoniã ſecundum omnem modum, punctum e æqualiter diſtat à punctis extrem arum
linearum: directè igitur oppoſitum eſt: ergo medium inter illa: quod eſt propoſitum.
305[Figure 305]a b n l e p m d c
41. Datæ ſuperficiei æquidiſtantium laterũ ſimilem ſuperficiẽ,
cuius latera æquidiſtent datæ ſuperficiei laterib{us}, inſcribere.
cuius latera æquidiſtent datæ ſuperficiei laterib{us}, inſcribere.
Data ſuperficies ęquidiſtãtiũ laterũ, cui altera inſcribi modo prę-
dicto debeat, ſit a b c d, in qua ducãtur diagonij a c & b d, ſecãtes ſe in
puncto e: palamq́; per proximã pręcedentẽ, quoniã illæ diagonij per
æqualia ſe ſecantin puncto e: ſed & ipſæ adinuicẽ ſunt æquales: & ſi
quidẽ data ſuperficies fuerit rectangula: tunc patet per 34 & 47 p 1,
quoniã ipſarũ diagonij ſunt æquales, & ipſarũ medietates æquales.
A' puncto itaq; e, à medietatibus diagoniorũ partes æquales abſcin
dantur ք 3 p 1. Et ſi data ſuperficies nõ fuerit rectangula: tũc erũt dia
gonij forſitan inęquales: ab illis ergo partes proportionales refecen
tur, ſecundũ 3 huius: utcunq; autẽ hoc contingat, abſcindantur illæ
partes ex parte puncti e, quæ ſint e l, e m, e n, e p, & ducantur lineæ
l m, l n, n p, m p. Dico itaq; , quòd ſuperficies l m p n eſt datæ ſuperfi-
ciei ſimilis, & quòd latera ipſius æquidiſtant lateribus datę ſuperfi-
ciei. Quoniã enim in trigono b e c reſecta ſunt latera b e & c e in pun
ctis l & m, & eſt proportio b l ad l e, ſicut c m ad m e: patet ergo per 2
p 6, quoniam linea l m æquidiſtat lineæ b c. Similiter quoq; linea l n
dicto debeat, ſit a b c d, in qua ducãtur diagonij a c & b d, ſecãtes ſe in
puncto e: palamq́; per proximã pręcedentẽ, quoniã illæ diagonij per
æqualia ſe ſecantin puncto e: ſed & ipſæ adinuicẽ ſunt æquales: & ſi
quidẽ data ſuperficies fuerit rectangula: tunc patet per 34 & 47 p 1,
quoniã ipſarũ diagonij ſunt æquales, & ipſarũ medietates æquales.
A' puncto itaq; e, à medietatibus diagoniorũ partes æquales abſcin
dantur ք 3 p 1. Et ſi data ſuperficies nõ fuerit rectangula: tũc erũt dia
gonij forſitan inęquales: ab illis ergo partes proportionales refecen
tur, ſecundũ 3 huius: utcunq; autẽ hoc contingat, abſcindantur illæ
partes ex parte puncti e, quæ ſint e l, e m, e n, e p, & ducantur lineæ
l m, l n, n p, m p. Dico itaq; , quòd ſuperficies l m p n eſt datæ ſuperfi-
ciei ſimilis, & quòd latera ipſius æquidiſtant lateribus datę ſuperfi-
ciei. Quoniã enim in trigono b e c reſecta ſunt latera b e & c e in pun
ctis l & m, & eſt proportio b l ad l e, ſicut c m ad m e: patet ergo per 2
p 6, quoniam linea l m æquidiſtat lineæ b c. Similiter quoq; linea l n