323285DE MATHÉMATIQUE. Liv. VIII.
faut, ſi les trois dimenſions du parallelepipede ſont inégales,
comme on le ſuppoſe ici, chercher une moyenne proportion-
nelle entre les deux plus petites, A B, B C (art. 506), qui ſera,
par exemple F G, & faire ſur cette ligne un quarré F H, qui
doit ſervir de baſe à un parallelepipede F I, qui doit avoir la
même hauteur que le parallelepipede A E, puiſque le rectangle
A C, qui lui ſert de baſe, eſt égal au quarré F H, qui ſert de
baſe au ſecond. Cela poſé, il faut chercher deux moyennes
proportionnelles entre F G & G K (art. 589), qui ſeront, par
exemple, N O & P Q, & je dis que le cube fait ſur la premiere
N O ſera égal au parallelepipede F I ou A E.
comme on le ſuppoſe ici, chercher une moyenne proportion-
nelle entre les deux plus petites, A B, B C (art. 506), qui ſera,
par exemple F G, & faire ſur cette ligne un quarré F H, qui
doit ſervir de baſe à un parallelepipede F I, qui doit avoir la
même hauteur que le parallelepipede A E, puiſque le rectangle
A C, qui lui ſert de baſe, eſt égal au quarré F H, qui ſert de
baſe au ſecond. Cela poſé, il faut chercher deux moyennes
proportionnelles entre F G & G K (art. 589), qui ſeront, par
exemple, N O & P Q, & je dis que le cube fait ſur la premiere
N O ſera égal au parallelepipede F I ou A E.
Pour le prouver, nous prendrons G D égal à F G, pour
avoir le cube G O, nous nommerons F G ou G H, ou G D, a;
G K, b; & N O, c: ainſi le parallelepipede F I ſera a a b, le cube
F M ſera a a a, le cube de N O ſera c c c: il faut donc prouver
que a a b = c c c.
avoir le cube G O, nous nommerons F G ou G H, ou G D, a;
G K, b; & N O, c: ainſi le parallelepipede F I ſera a a b, le cube
F M ſera a a a, le cube de N O ſera c c c: il faut donc prouver
que a a b = c c c.
Démonstration.
Le cube F M &
le parallelepipede F I ayant la même baſe
F H, ſeront dans la raiſon de leurs hauteurs G D & G K, d’où
l’on tire a a a: a a b : : a: b; & à cauſe des quatre proportion-
nelles, on verra que le cube fait ſur la premiere, eſt au cube
fait ſur la ſeconde, comme la premiere à la quatrieme, ce qui
donne a a a : c c c : : a : b; donc puiſque ces deux proportions
ont la même derniere raiſon, on aura a a a : a a b : : a a a : c c c;
mais a3 = a3 : donc a a b = c c c. C. Q. F. D.
F H, ſeront dans la raiſon de leurs hauteurs G D & G K, d’où
l’on tire a a a: a a b : : a: b; & à cauſe des quatre proportion-
nelles, on verra que le cube fait ſur la premiere, eſt au cube
fait ſur la ſeconde, comme la premiere à la quatrieme, ce qui
donne a a a : c c c : : a : b; donc puiſque ces deux proportions
ont la même derniere raiſon, on aura a a a : a a b : : a a a : c c c;
mais a3 = a3 : donc a a b = c c c. C. Q. F. D.
Si les dimenſions du parallelepipede donné étoient expri-
mées en nombres, on n’auroit (pour trouver un cube égal au
parallelepipede) qu’à multiplier les trois dimenſions l’une par
l’autre pour avoir le ſolide du parallelepipede, & extraire la
racine cube du produit, qui ſera le côté du cube demandé.
mées en nombres, on n’auroit (pour trouver un cube égal au
parallelepipede) qu’à multiplier les trois dimenſions l’une par
l’autre pour avoir le ſolide du parallelepipede, & extraire la
racine cube du produit, qui ſera le côté du cube demandé.
Corollaire.
595.
L’on voit par cette propoſition, qu’il n’y a point de
ſolide qu’on ne puiſſe réduire en cube; car les cônes & les
ſpheres pouvant ſe réduire en cylindres, & les pyramides en
priſmes, ſi on change la baſe des cylindres & des priſmes en
quarrés qui leur ſoient égaux, on aura des parallelepipedes,
que l’on réduira aiſément en cube par le problême que nous
venons de réſoudre.
ſolide qu’on ne puiſſe réduire en cube; car les cônes & les
ſpheres pouvant ſe réduire en cylindres, & les pyramides en
priſmes, ſi on change la baſe des cylindres & des priſmes en
quarrés qui leur ſoient égaux, on aura des parallelepipedes,
que l’on réduira aiſément en cube par le problême que nous
venons de réſoudre.
Fin du huitieme Livre.