32523LIBER PRIMVS.
ipſam a c in duo æqualia per 3 p 3, producaturq́;
linea o g, ut ſecet lineam d e in puncto f:
& ductis li-
neis o a, o c, o d, o e: palàm per 4 p 1, cum in trigonis a g o & c g o duo latera a g & g c ſint æqualia, &
latus g o commune, & anguli ad g recti ex hypotheſi: quòd angulus a o g eſt æqualis angulo c o g:
ſed angulus a o d æqualis eſt angulo c o e per 27 p 3: relin quitur ergo angulus d o f æqualis angulo
f o e: ſed latus d o æquale lateri e o, & latus o f commune: erit ergo per 4 p 1 angulus o f d æqualis an
gulo o fe: uterq; ergo eſt rectus. Eſt ergo angulus o f d æqualis angulo o g a: ergo per 28 p 1 lineę d e
& a c ſunt æquidiſtantes: quod eſt propoſitum primum. Quòd ſi una illarum duarum linearum ſe-
cet circulum, & alia ipſum contingat: ſi ſecans tranſit centrũ, & ſit diameter, quæ h k, & linea l m con
tingat in puncto n: ſitq́; arcus n h æqualis arcui n k: palàm, quòd illorum arcuum quilibet eſt quar-
ta circuli: ducatur ita que linea n o: ergo per 18 p 3 angulus l n o eſt rectus: ſed & angulus n o h eſt re-
ctus: ergo per 28 p 1 lineæ l m & h k ęquidiſtant: quod eſt ſecundũ propoſitum. Quòd ſi linea l m cir-
culum contingente in puncto n, linea d e ſecet circulum nõ per centrũ: ducantur lineę o d l & o e m,
& à centro o ad punctum contactus, quod eſt n, ducatur linea o n ſecãs lineam d e in puncto f. Quia
ita que arcus n d eſt æqualis arcui n e: erit per 27 p 3 angulus l o n ęqualis angulo m o n: ſed per 18 p 3
angulus o n l eſt æqualis angulo o n m: quia ambo ſunt recti. Item per 4 p 1 angulus o f d eſt æqualis
angulo o f e: ſunt ergo recti. Ergo per 28 p 1 patet propoſitum tertium.
neis o a, o c, o d, o e: palàm per 4 p 1, cum in trigonis a g o & c g o duo latera a g & g c ſint æqualia, &
latus g o commune, & anguli ad g recti ex hypotheſi: quòd angulus a o g eſt æqualis angulo c o g:
ſed angulus a o d æqualis eſt angulo c o e per 27 p 3: relin quitur ergo angulus d o f æqualis angulo
f o e: ſed latus d o æquale lateri e o, & latus o f commune: erit ergo per 4 p 1 angulus o f d æqualis an
gulo o fe: uterq; ergo eſt rectus. Eſt ergo angulus o f d æqualis angulo o g a: ergo per 28 p 1 lineę d e
& a c ſunt æquidiſtantes: quod eſt propoſitum primum. Quòd ſi una illarum duarum linearum ſe-
cet circulum, & alia ipſum contingat: ſi ſecans tranſit centrũ, & ſit diameter, quæ h k, & linea l m con
tingat in puncto n: ſitq́; arcus n h æqualis arcui n k: palàm, quòd illorum arcuum quilibet eſt quar-
ta circuli: ducatur ita que linea n o: ergo per 18 p 3 angulus l n o eſt rectus: ſed & angulus n o h eſt re-
ctus: ergo per 28 p 1 lineæ l m & h k ęquidiſtant: quod eſt ſecundũ propoſitum. Quòd ſi linea l m cir-
culum contingente in puncto n, linea d e ſecet circulum nõ per centrũ: ducantur lineę o d l & o e m,
& à centro o ad punctum contactus, quod eſt n, ducatur linea o n ſecãs lineam d e in puncto f. Quia
ita que arcus n d eſt æqualis arcui n e: erit per 27 p 3 angulus l o n ęqualis angulo m o n: ſed per 18 p 3
angulus o n l eſt æqualis angulo o n m: quia ambo ſunt recti. Item per 4 p 1 angulus o f d eſt æqualis
angulo o f e: ſunt ergo recti. Ergo per 28 p 1 patet propoſitum tertium.
53. Lineas æquidiſt antes trans circuli ſuperficiem product{as}, ſiue ambæ ſecent, ſiue ambæ cõ-
tingant, ſiue una ſecet & alia contingat, arcus interiacent æquales.
tingant, ſiue una ſecet & alia contingat, arcus interiacent æquales.
Sit circulus a c b d, cuius centrum e:
contingantq́;
ipſum duæ lineæ ęquidiſtãtes f g in puncto d,
& h q in puncto c: & à puncto contingentiæ, quod eſt d,
322[Figure 322]f m a h k d p e o c l g n b q ducatur linea d e ad centrum e. Eſt ergo per 18 p 3 linea
d e perpendicularis ſuper lineam in illo puncto contin-
gentem, quæ f g. Ducatur quoque linea c e à puncto cõ
tingentiæ ad centrum e: erit ergo linea c e perpendicu-
laris ſuper lineam h q contingentem in puncto c. Duca
tur quoq; à centro e linea ęquidiſtans lineę f g per 31 p 1,
quæ ſit n m: hæc quoq; etiam æquidiſtabit lineæ h q per
30 p 1: ergo per 29 p 1 angulus m e d eſt æqualis angulo
m e c: ergo per 14 p 1 lineæ d e & e c cõiunctæ, ſunt linea
una: eſt ergo linea d c diameter circuli, cum trãſeat per
centrum e: arcus itaque d a c eſt ſemicirculus æqualis
ſemicirculo d b c. Sed & ſi linea a b ſecet circulum æqui
diſtans lineæ h q contingenti in puncto e, erit iterum ar
cus a c æqualis arcui c b. Quia enim ſemidiameter e c
ſecat lineam contingẽtem, quæ h q: palàm per 2 huius,
quoniam ſecabit & eius æquidiſtantem, quæ eſt linea
a b: ſit, ut ſecet ipſam in puncto o. Et quia angulus h c e
eſtrectus per 18 p 3, palàm per 29 p 1, quoniam angulus
b o e eſt rectus: ergo per 3 p 3 linea a b diuiditur per æqualia in puncto o. Ducantur itaq; lineę a c &
c b: palamq́; per 4 p 1, quoniã illę erunt æquales: ergo per 28 p 3 arcus a c eſt æqualis arcui b c. Quòd
ſi linea æquidiſtans lineę b a ſecet circulũ: quæ ſit k l: palàm, quoniam ſemidiameter e c producta ſe-
cabit lineam k l per ęqualia per 29 p 1. 3 p 3: ſecet ergo ipſam per æqualia & orthogonaliter in puncto
p: & ducãtur lineæ p a, p b, k a, l b: erit ergo in trigonis p a c, p b c ք præmiſſa, & 4 p 1 latus p a ęquale
lateri p b: & angulus p b c æqualis angulo a p c: relin quitur ergo angulus k p a æqualis angulo b p l:
ſed linea k p eſt æqualis lineæ p l: erit ergo per 4 p 1 linea k a æqualis lineæ l b. Ergo per 28 p 3 erit ar-
cus k a æqualis arcui l b: quod eſt propoſitum.
323[Figure 323]a h b g e f d c & h q in puncto c: & à puncto contingentiæ, quod eſt d,
322[Figure 322]f m a h k d p e o c l g n b q ducatur linea d e ad centrum e. Eſt ergo per 18 p 3 linea
d e perpendicularis ſuper lineam in illo puncto contin-
gentem, quæ f g. Ducatur quoque linea c e à puncto cõ
tingentiæ ad centrum e: erit ergo linea c e perpendicu-
laris ſuper lineam h q contingentem in puncto c. Duca
tur quoq; à centro e linea ęquidiſtans lineę f g per 31 p 1,
quæ ſit n m: hæc quoq; etiam æquidiſtabit lineæ h q per
30 p 1: ergo per 29 p 1 angulus m e d eſt æqualis angulo
m e c: ergo per 14 p 1 lineæ d e & e c cõiunctæ, ſunt linea
una: eſt ergo linea d c diameter circuli, cum trãſeat per
centrum e: arcus itaque d a c eſt ſemicirculus æqualis
ſemicirculo d b c. Sed & ſi linea a b ſecet circulum æqui
diſtans lineæ h q contingenti in puncto e, erit iterum ar
cus a c æqualis arcui c b. Quia enim ſemidiameter e c
ſecat lineam contingẽtem, quæ h q: palàm per 2 huius,
quoniam ſecabit & eius æquidiſtantem, quæ eſt linea
a b: ſit, ut ſecet ipſam in puncto o. Et quia angulus h c e
eſtrectus per 18 p 3, palàm per 29 p 1, quoniam angulus
b o e eſt rectus: ergo per 3 p 3 linea a b diuiditur per æqualia in puncto o. Ducantur itaq; lineę a c &
c b: palamq́; per 4 p 1, quoniã illę erunt æquales: ergo per 28 p 3 arcus a c eſt æqualis arcui b c. Quòd
ſi linea æquidiſtans lineę b a ſecet circulũ: quæ ſit k l: palàm, quoniam ſemidiameter e c producta ſe-
cabit lineam k l per ęqualia per 29 p 1. 3 p 3: ſecet ergo ipſam per æqualia & orthogonaliter in puncto
p: & ducãtur lineæ p a, p b, k a, l b: erit ergo in trigonis p a c, p b c ք præmiſſa, & 4 p 1 latus p a ęquale
lateri p b: & angulus p b c æqualis angulo a p c: relin quitur ergo angulus k p a æqualis angulo b p l:
ſed linea k p eſt æqualis lineæ p l: erit ergo per 4 p 1 linea k a æqualis lineæ l b. Ergo per 28 p 3 erit ar-
cus k a æqualis arcui l b: quod eſt propoſitum.
54. Duabus chordis in aliquo circulo ſe ſecanti-
bus: erit quilibet angulus ſectionis æqualis angulo
apud circumferentiam, cadenti in arcum æqua-
lem duobus arcubus ſcilicet eidem angulo & ſuo cõ
trapoſito ſubtenſis. Albazen 24 n 7.
bus: erit quilibet angulus ſectionis æqualis angulo
apud circumferentiam, cadenti in arcum æqua-
lem duobus arcubus ſcilicet eidem angulo & ſuo cõ
trapoſito ſubtenſis. Albazen 24 n 7.
Sit circulus a b c d, in quo ſecẽt ſe duę chordę a c &
b d: & ſit pũctũ ſectionis e. Dico, quòd angulus a e b
eſt æqualis angulo, qui eſt in circumferentia, quam
ſubtẽdunt duo arcus a b & c d: & quòd angulus b e c
eſt ęqualis angulo in circumferẽtia, quã ſubtendunt
duo arcus d g a & b z c. Ducatur enim à puncto b li-
nea b z ęquidiſtanter lineę a c per 31 p 1. Si ergo linea
b z ſecat circulum, palã, quia arcus c z eſt ęqualis ar-
cui a b per præcedentem: arcus itaq; z d æqualis eſt
ambobus arcubus a b & d c: quoniam arcus d c utro-
biq; eſt cõmunis: fed arcus d z reſpicit angulũ d b z,
b d: & ſit pũctũ ſectionis e. Dico, quòd angulus a e b
eſt æqualis angulo, qui eſt in circumferentia, quam
ſubtẽdunt duo arcus a b & c d: & quòd angulus b e c
eſt ęqualis angulo in circumferẽtia, quã ſubtendunt
duo arcus d g a & b z c. Ducatur enim à puncto b li-
nea b z ęquidiſtanter lineę a c per 31 p 1. Si ergo linea
b z ſecat circulum, palã, quia arcus c z eſt ęqualis ar-
cui a b per præcedentem: arcus itaq; z d æqualis eſt
ambobus arcubus a b & d c: quoniam arcus d c utro-
biq; eſt cõmunis: fed arcus d z reſpicit angulũ d b z,