32725LIBER PRIMVS.
micirculis hoc eſt poſsibile.
Si enim ſemicirculi æquales fuerint:
tunc in centro alterius ſemicirculi
ſuper ſemidiametrum conſtituto æquali angulo a c d, per 23 p 1, compleatur propoſitum ex 4 p 1, &
4 p 6. Quòd ſi alter ſemicirculus minor fuerit dato ſemicirculo: inſcribatur æqualis illi ſemicirculo
ad idem centrum: eritq́; æquidiſtans primo, & in punctum, ubi linea c d ipſum ſecabit, (quod ſit f)
ducatur linea à termino ſuæ ſemidiametri, quæ ſit e f: & patet propoſitum per definitionem circuli
& 29 p 1, & 4 p 6. Quòd ſi dato ſemicirculo alter fuerit maior, circumſcribatur æquidiſtãter eidem,
& producta linea à centro primi ſemicirculi ad datum punctum d, quouſq; tangat peripheriam al-
terius ſemicirculi, & coniungatur à puncto contactus alia linea ad terminum diametri: & deinde
compleatur, ut prius, demonſtratio: & patet propoſitum.
ſuper ſemidiametrum conſtituto æquali angulo a c d, per 23 p 1, compleatur propoſitum ex 4 p 1, &
4 p 6. Quòd ſi alter ſemicirculus minor fuerit dato ſemicirculo: inſcribatur æqualis illi ſemicirculo
ad idem centrum: eritq́; æquidiſtans primo, & in punctum, ubi linea c d ipſum ſecabit, (quod ſit f)
ducatur linea à termino ſuæ ſemidiametri, quæ ſit e f: & patet propoſitum per definitionem circuli
& 29 p 1, & 4 p 6. Quòd ſi dato ſemicirculo alter fuerit maior, circumſcribatur æquidiſtãter eidem,
& producta linea à centro primi ſemicirculi ad datum punctum d, quouſq; tangat peripheriam al-
terius ſemicirculi, & coniungatur à puncto contactus alia linea ad terminum diametri: & deinde
compleatur, ut prius, demonſtratio: & patet propoſitum.
327[Figure 327]d a g b f e c
57. À puncto uno ad datum ſemicir culum unam tantum lineam contingentẽ poßibile eſt
duci. Ex quo patet, quòd omnis linea ab eodẽ puncto ſub contingẽte ducta,
ſecat ſemicirculũ in uno pũcto ſupr a punctũ cõtingẽtiæ, & in alio ſub ipſo.
duci. Ex quo patet, quòd omnis linea ab eodẽ puncto ſub contingẽte ducta,
ſecat ſemicirculũ in uno pũcto ſupr a punctũ cõtingẽtiæ, & in alio ſub ipſo.
Eſto datus ſemicirculus a b c, cuius cẽtrum e:
& ſit extrà datus punctus d:
à
quo ad ſemicirculũ ducatur linea contingẽs, quæ ſit d b. Dico, quòd à puncto
d ad ſemicirculum a b c, aliam contingẽtem; quàm lineam d b duci eſt impoſ-
ſibile. Si enim hoc ſit poſsibile, ducatur: hæc ergo contingens aut cadet ultra
punctum b, aut citra: ſit primò, ut cadat ultra punctum b, uerſus c in punctũ f,
& ſit d f: ducantur itaq; à centro e ad puncta contingentiæ, lineæ e f, e b, & pro
ducatur diameter c e a uſq; ad punctum d. Palàm ergo per 18 p 3, quoniam an-
gulus e b d eſt rectus: ſimiliter angulus e f d eſt rectus. Sunt itaq; æquales, &
cadunt in trigonum e f d: quod eſt contra 21 p 1. Idẽ quoq; accidit impoſsibile,
ſi linea contingẽs ducta à puncto d ad ſemicirculum a b c, cadat inter puncta
b & a: ut linea d g. Palàm ergo corollarium: quoniam enim linea d g non con-
tingit ſemicirculum: ergo ipſa producta ſecat ipſum: & hoc eſt propoſitum.
quo ad ſemicirculũ ducatur linea contingẽs, quæ ſit d b. Dico, quòd à puncto
d ad ſemicirculum a b c, aliam contingẽtem; quàm lineam d b duci eſt impoſ-
ſibile. Si enim hoc ſit poſsibile, ducatur: hæc ergo contingens aut cadet ultra
punctum b, aut citra: ſit primò, ut cadat ultra punctum b, uerſus c in punctũ f,
& ſit d f: ducantur itaq; à centro e ad puncta contingentiæ, lineæ e f, e b, & pro
ducatur diameter c e a uſq; ad punctum d. Palàm ergo per 18 p 3, quoniam an-
gulus e b d eſt rectus: ſimiliter angulus e f d eſt rectus. Sunt itaq; æquales, &
cadunt in trigonum e f d: quod eſt contra 21 p 1. Idẽ quoq; accidit impoſsibile,
ſi linea contingẽs ducta à puncto d ad ſemicirculum a b c, cadat inter puncta
b & a: ut linea d g. Palàm ergo corollarium: quoniam enim linea d g non con-
tingit ſemicirculum: ergo ipſa producta ſecat ipſum: & hoc eſt propoſitum.
58. Quælibet duæ lineæ ab uno puncto productæ circulum contingẽtes,
ſunt æquales: & arcus interiacens puncta contingentiæ eſt minor ſemicir-
culo. Linea quo diuidens angulum illarum per æqualia: & arcum inter-
iacentem diuidit per æqualia: & linea per æqualia diuidens arcum, hæc
producta per æqualia diuidit & angulum à lineis contingentibus conten-
tum. Conſectarium ſecundum Campani ad 36 p 3.
ſunt æquales: & arcus interiacens puncta contingentiæ eſt minor ſemicir-
culo. Linea quo diuidens angulum illarum per æqualia: & arcum inter-
iacentem diuidit per æqualia: & linea per æqualia diuidens arcum, hæc
producta per æqualia diuidit & angulum à lineis contingentibus conten-
tum. Conſectarium ſecundum Campani ad 36 p 3.
Sit circulus a b c, cuius centrum f:
& ſit, ut à puncto e ducantur duę lineæ circulum contingen-
tes per 17 p 3, quæ ſint e a & e c. Dico, quòd lineæ e a, e c ſunt æqua-
328[Figure 328]e b a g c f dles: & quòd arcus a b c interiacens puncta contingentiæ eſt mi-
nor ſemicirculo: & ſi producatur à puncto e linea e b, diuidẽs angu-
lum a e c per æqualia: dico; quòd linea e b in puncto b diuidet arcum
a c per æqualia: & ſi linea d e diuidat arcum a c per æqualia, diuidet
etiam angulum a e c per æqualia. Ducatur enim primò linea e f diui-
dens a e c, quæ producta ſecabit circulũ: ſecet ergo ipſum in punctis
b & d. Palàm itaq; per 36 p 3, quoniam illud, quod fit ex ductu lineæ
d e in lineam e b, æquale eſt quadrato lineæ a e: & eadẽ ratione qua-
drato lineæ e c. Ergo quadratum lineæ a c eſt ęquale quadrato lineæ
e c. Ergo & linea a e eſt æqualis lineæ c e: & hoc eſt primum propoſi-
torũ. Sed quia ductis lineis f a & f c, erunt anguli f c e & f a e recti, per
18 p 3: ſunt ergo æquales: ergo per 4 p 1 linea f e diuidit angulum a e c
per æqualia. Et quia lineæ c e & a e concurrunt in puncto e: palàm
per 32 p 1, quoniã anguli e f c & e f a ſunt minores duobus rectis. Ar-
cus ergo a b c eſt minor ſemicirculo per 33 p 6: quod eſt ſecundum.
Ducatur quoq; linea a c ſecans lineam e d in puncto g: & ducantur
lineæ a b & a c. Quia ergo linea e g ſecat angulum a e c per æqualia:
patet per 4 p 1, cum linea a e ſit æqualis lineæ e c, & latus e g ſit com-
mune, quoniã linea a g eſt æqualis lineæ c g, & angulus e g a eſt æqua
lis angulo e g c. Sed & trigonis a b g & c b g latus b g eſt comune: ergo per 4 p 1 erit linea a b æqua-
lis lineæ b c: ergo per 28 p 3 arcus a b eſt æqualis arcui b c. Eodem quoq; modo patet, quòd ſi linea
g e ſecat arcum a c per æqualia in puncto b, quòd ipſa etiam diuidet per æqualia angulũ a e c. Quia
enim trigona a e b & c e b ſunt æquilatera, ut patet: palam ergo per 8 p 1, quoniam angulus a e b eſt
æqualis angulo c e b: & hoc eſt totum quod proponebatur.
tes per 17 p 3, quæ ſint e a & e c. Dico, quòd lineæ e a, e c ſunt æqua-
328[Figure 328]e b a g c f dles: & quòd arcus a b c interiacens puncta contingentiæ eſt mi-
nor ſemicirculo: & ſi producatur à puncto e linea e b, diuidẽs angu-
lum a e c per æqualia: dico; quòd linea e b in puncto b diuidet arcum
a c per æqualia: & ſi linea d e diuidat arcum a c per æqualia, diuidet
etiam angulum a e c per æqualia. Ducatur enim primò linea e f diui-
dens a e c, quæ producta ſecabit circulũ: ſecet ergo ipſum in punctis
b & d. Palàm itaq; per 36 p 3, quoniam illud, quod fit ex ductu lineæ
d e in lineam e b, æquale eſt quadrato lineæ a e: & eadẽ ratione qua-
drato lineæ e c. Ergo quadratum lineæ a c eſt ęquale quadrato lineæ
e c. Ergo & linea a e eſt æqualis lineæ c e: & hoc eſt primum propoſi-
torũ. Sed quia ductis lineis f a & f c, erunt anguli f c e & f a e recti, per
18 p 3: ſunt ergo æquales: ergo per 4 p 1 linea f e diuidit angulum a e c
per æqualia. Et quia lineæ c e & a e concurrunt in puncto e: palàm
per 32 p 1, quoniã anguli e f c & e f a ſunt minores duobus rectis. Ar-
cus ergo a b c eſt minor ſemicirculo per 33 p 6: quod eſt ſecundum.
Ducatur quoq; linea a c ſecans lineam e d in puncto g: & ducantur
lineæ a b & a c. Quia ergo linea e g ſecat angulum a e c per æqualia:
patet per 4 p 1, cum linea a e ſit æqualis lineæ e c, & latus e g ſit com-
mune, quoniã linea a g eſt æqualis lineæ c g, & angulus e g a eſt æqua
lis angulo e g c. Sed & trigonis a b g & c b g latus b g eſt comune: ergo per 4 p 1 erit linea a b æqua-
lis lineæ b c: ergo per 28 p 3 arcus a b eſt æqualis arcui b c. Eodem quoq; modo patet, quòd ſi linea
g e ſecat arcum a c per æqualia in puncto b, quòd ipſa etiam diuidet per æqualia angulũ a e c. Quia
enim trigona a e b & c e b ſunt æquilatera, ut patet: palam ergo per 8 p 1, quoniam angulus a e b eſt
æqualis angulo c e b: & hoc eſt totum quod proponebatur.
59. Arcubus æqualibus, minoribus quolibet, quarta circuli ex utra parte diametri cir-
culi reſectis: à terminis illorũ arcuum ductas contingentes in uno puncto eductæ diametri con-
currere eſt neceſſe: & ab uno puncto diametri ductas contingẽtes in terminis æqualiũ arcuum
contingere eſt neceſſe. Ex quo patet, quoniam omnem angulum & arcum à lineis contingenti-
bus contentum diuidit diameter educta per æqualia.
culi reſectis: à terminis illorũ arcuum ductas contingentes in uno puncto eductæ diametri con-
currere eſt neceſſe: & ab uno puncto diametri ductas contingẽtes in terminis æqualiũ arcuum
contingere eſt neceſſe. Ex quo patet, quoniam omnem angulum & arcum à lineis contingenti-
bus contentum diuidit diameter educta per æqualia.