32826VITELLONIS OPTICAE
Eſto circulus a b c, cuius centrum ſit d, & eius diameter c e, quæ producatur indefinitè ad pun-
ctum f: & ab unaquaq; parte puncti e ſint a e & b e arcus æquales: & à punctis a & b ducantur lineæ
circulũ contingentes per 17 p 3. Dico, quòd illæ duę lineæ concurrẽt
329[Figure 329]f h g a e b d c in uno puncto eductæ diametri e f. Quod ſi dicatur ipſas nõ concur-
rere in puncto uno diametri, concurrent tamen ambæ contingentes
cũ diametro d f: productis enim lineis d a, d b: erũtanguli ad puncta
a & b recti: ſed anguli e d a & e d b ſunt acuti per 33 p 6: arcus enim a
e, b e ſunt minores, quilibet, quarta circuli: ergo per 14 huius linearũ
contingentium utraq; concurret cum linea d f. Si itaq; non fit hoc in
eodem puncto: ſit, ut linea contingẽs ducta à puncto a, concurrat cũ
linea d f in puncto g: & contingens ducta à puncto b concurrat cum
d fin puncto h, quod ſit ultra punctum g: & ducatur linea a h: eritq́;
per 27 p 3, & exhypotheſi angulus h d a æqualis angulo h d b: ergo
per 4 p 1 erit angulus h a d æqualis angulo h b a: & per 18 p 3 uterq;
ipſorũ eſt rectus. Quia itaq; angulus d a g eſt rectus per 18 p 3: patet,
quòd ipſe eſt ęqualis angulo d a h recto, & angulus a d g eſt commu-
nis: erit ergo per 32 p 1 angulus a g d ęqualis angulo a h d, extrinſecus
ſcilicet intrinſeco in trigono a h g: quod eſt contra 16 p 1 & impoſsi-
bile. Patet ergo primum. Sed & ſi à puncto diametri h ducantur duæ
lineæ circulum contingentes in punctis a & b: erunt arcus a e & b e
æquales: trigona enim a h d & h b d ſunt æquilatera per præcedentẽ:
ergo ſunt æquiangula per 8 p 1: eſt ergo angulus a d h æqualis angu-
lo b d h. Ergo per 26 p 3 arcus a e eſt æqual s arcui b e: quod eſt propoſitum: & patet corollarium.
ctum f: & ab unaquaq; parte puncti e ſint a e & b e arcus æquales: & à punctis a & b ducantur lineæ
circulũ contingentes per 17 p 3. Dico, quòd illæ duę lineæ concurrẽt
329[Figure 329]f h g a e b d c in uno puncto eductæ diametri e f. Quod ſi dicatur ipſas nõ concur-
rere in puncto uno diametri, concurrent tamen ambæ contingentes
cũ diametro d f: productis enim lineis d a, d b: erũtanguli ad puncta
a & b recti: ſed anguli e d a & e d b ſunt acuti per 33 p 6: arcus enim a
e, b e ſunt minores, quilibet, quarta circuli: ergo per 14 huius linearũ
contingentium utraq; concurret cum linea d f. Si itaq; non fit hoc in
eodem puncto: ſit, ut linea contingẽs ducta à puncto a, concurrat cũ
linea d f in puncto g: & contingens ducta à puncto b concurrat cum
d fin puncto h, quod ſit ultra punctum g: & ducatur linea a h: eritq́;
per 27 p 3, & exhypotheſi angulus h d a æqualis angulo h d b: ergo
per 4 p 1 erit angulus h a d æqualis angulo h b a: & per 18 p 3 uterq;
ipſorũ eſt rectus. Quia itaq; angulus d a g eſt rectus per 18 p 3: patet,
quòd ipſe eſt ęqualis angulo d a h recto, & angulus a d g eſt commu-
nis: erit ergo per 32 p 1 angulus a g d ęqualis angulo a h d, extrinſecus
ſcilicet intrinſeco in trigono a h g: quod eſt contra 16 p 1 & impoſsi-
bile. Patet ergo primum. Sed & ſi à puncto diametri h ducantur duæ
lineæ circulum contingentes in punctis a & b: erunt arcus a e & b e
æquales: trigona enim a h d & h b d ſunt æquilatera per præcedentẽ:
ergo ſunt æquiangula per 8 p 1: eſt ergo angulus a d h æqualis angu-
lo b d h. Ergo per 26 p 3 arcus a e eſt æqual s arcui b e: quod eſt propoſitum: & patet corollarium.
60. Si intra duas lineas circulum contιngẽtes ab uno puncto ductas, aliæ duæ lineæ eundem
circulam contingentes ducantur: cadent puncta contingẽtiæ interiorum intra puncta contin-
gentiæ exteriorum: & ſiarcus hinc inde interiacentes puncta contingentiæ, fuerint æquales,
erit utrarum concurſus ſemper in eadẽ diametro circuli educta: interiores quo ad utram
partem productæ cum exterioribus neceſſariò concurrent.
circulam contingentes ducantur: cadent puncta contingẽtiæ interiorum intra puncta contin-
gentiæ exteriorum: & ſiarcus hinc inde interiacentes puncta contingentiæ, fuerint æquales,
erit utrarum concurſus ſemper in eadẽ diametro circuli educta: interiores quo ad utram
partem productæ cum exterioribus neceſſariò concurrent.
Eſto circulus a b c d e, cuius cẽtrũ k:
& eius diameter e h educatur:
& ſit, ut ab aliquo puncto ſuo,
quod ſit f, lineæ f a & f d contingentes circulũ ducantur: & inter lineas f a & f d ducantur ab aliquo
puncto ſuperficiei a f d, quod ſit g, lineæ g b & g c circulũ contingen-
330[Figure 330]f g g m b p h c a k d b e tes in punctis b & c Dico, quòd puncta b & c cadent intra pũcta a &
d. Si enim nõ caduntintra puncta a & d: aut cadũt in illa puncta aut
extra: ſi in illa, ducãtur lineæ k a & k d à cẽtro k ad puncta contingen
tiæ a & d: erit itaq; per 18 p 3 angulus k a frectus: & ſimiliter angulus
k a g rectus: & ſic rectus maior recto. Itẽ inter contingentẽ f a & cir-
culum, alia linea capitur, ut g a: hoc autẽ eſt cõtra 16 p 3. Palàm ergo,
quoniã impoſsibile. Si uerò detur, quòd puncta b & c cadant extra
pũcta a & d: ſit punctũ b ultra a punctũ, ſecabitq́; linea g b producta
lineam f a per 14 huius. Et quoniã eſt contingẽs ſolum in puncto b,
erit punctus ſectionis extra circulũ: ſit ille punctus m. Palàm itaq; ,
quoniã lineæ m a & m b ab uno pũcto m productæ ſemicirculũ con-
tingunt: quod eſt contra 57 huius. Non ergo cadit punctum b ultra
punctũ a, ſed intra. Similiterq́; demonſtrabitur, quia punctũ c cadit
intra punctum d. Cadũt ergo puncta contingẽtiæ interiorum intra
puncta contingẽtiæ exteriorũ. Sed & arcubus a b & c d exiſtẽtibus
ęqualibus, punctũ g neceſſariò cadit in diametro e h f. Si enim extra
illã, ducatur linea k g ſecãs circũferentiã in pũcto p. Quia ergo arcus
b p eſt æqualis arcui p c per præcedentẽ: arcus quoq; a b eſt æqualis
arcui c d ex hypotheſi: remanet ergo arcus c h æqualis arcui h b: ſed
arcus h b eſt maior arcu p b: ergo arcus c h eſt maior arcu c p, pars ſuo toto: qđ eſt impoſsibile. Nõ
ergo cadit pũctũ g extra diametrũ e h f. Palàm etiã eſt ք 14 huius, quoniã linea g b ꝓducta ultra pũ-
ctũ b, neceſſariò cõcurret cũ linea f a, & linea c g ꝓducta ultra pũctũ c, cõcurret neceſſariò cũ linea
f d: linea enim k c rectũ angulũ cõtinẽs cũ linea a g, cõtinet acutũ cũ linea f d: patet ergo ꝓpoſitũ.
quod ſit f, lineæ f a & f d contingentes circulũ ducantur: & inter lineas f a & f d ducantur ab aliquo
puncto ſuperficiei a f d, quod ſit g, lineæ g b & g c circulũ contingen-
330[Figure 330]f g g m b p h c a k d b e tes in punctis b & c Dico, quòd puncta b & c cadent intra pũcta a &
d. Si enim nõ caduntintra puncta a & d: aut cadũt in illa puncta aut
extra: ſi in illa, ducãtur lineæ k a & k d à cẽtro k ad puncta contingen
tiæ a & d: erit itaq; per 18 p 3 angulus k a frectus: & ſimiliter angulus
k a g rectus: & ſic rectus maior recto. Itẽ inter contingentẽ f a & cir-
culum, alia linea capitur, ut g a: hoc autẽ eſt cõtra 16 p 3. Palàm ergo,
quoniã impoſsibile. Si uerò detur, quòd puncta b & c cadant extra
pũcta a & d: ſit punctũ b ultra a punctũ, ſecabitq́; linea g b producta
lineam f a per 14 huius. Et quoniã eſt contingẽs ſolum in puncto b,
erit punctus ſectionis extra circulũ: ſit ille punctus m. Palàm itaq; ,
quoniã lineæ m a & m b ab uno pũcto m productæ ſemicirculũ con-
tingunt: quod eſt contra 57 huius. Non ergo cadit punctum b ultra
punctũ a, ſed intra. Similiterq́; demonſtrabitur, quia punctũ c cadit
intra punctum d. Cadũt ergo puncta contingẽtiæ interiorum intra
puncta contingẽtiæ exteriorũ. Sed & arcubus a b & c d exiſtẽtibus
ęqualibus, punctũ g neceſſariò cadit in diametro e h f. Si enim extra
illã, ducatur linea k g ſecãs circũferentiã in pũcto p. Quia ergo arcus
b p eſt æqualis arcui p c per præcedentẽ: arcus quoq; a b eſt æqualis
arcui c d ex hypotheſi: remanet ergo arcus c h æqualis arcui h b: ſed
arcus h b eſt maior arcu p b: ergo arcus c h eſt maior arcu c p, pars ſuo toto: qđ eſt impoſsibile. Nõ
ergo cadit pũctũ g extra diametrũ e h f. Palàm etiã eſt ք 14 huius, quoniã linea g b ꝓducta ultra pũ-
ctũ b, neceſſariò cõcurret cũ linea f a, & linea c g ꝓducta ultra pũctũ c, cõcurret neceſſariò cũ linea
f d: linea enim k c rectũ angulũ cõtinẽs cũ linea a g, cõtinet acutũ cũ linea f d: patet ergo ꝓpoſitũ.
61. Si ad mediũ punctũ arcus interiacẽtis punct a contingẽtiæ duarũ linearũ, abuno puncto
ad circulũ productarũ, linea cõtingens circulũ ad alias contingẽtes producatur: illa in puncto
ſuæ contingentiæ per æqualia diuiditur: & ab alys lineis cõtingentib. partes abſcindit æquales.
ad circulũ productarũ, linea cõtingens circulũ ad alias contingẽtes producatur: illa in puncto
ſuæ contingentiæ per æqualia diuiditur: & ab alys lineis cõtingentib. partes abſcindit æquales.
Sit circulus a b c, quẽ contingãt duæ lineæ d a & d c, à puncto d productæ:
producatur ergo dia-
meter g b d: & palàm ք 59 huius, quoniã ipſa diuidit angulũ a d c, & arcũ a c per æqualia in pũcto b.
À puncto itaq; b producatur linea contingens circulũ per 17 p 3: h æ c itaq; quoniã eſt orthogonalis
ſuper diametrum g b, ut patet per 18 p 3: palàm per 14 huius, quia ipſa producta ſecabit lineas d a &
d c: ſit ergo ut ſecet lineam d a in puncto e, & lineam d c in puncto f. Quia itaq; e d b & f d b anguli
unt æquales per 59 huius, & anguli d b e & d b f ſunt recti: palàm, quia trigona e b d & f d b ſunt
meter g b d: & palàm ք 59 huius, quoniã ipſa diuidit angulũ a d c, & arcũ a c per æqualia in pũcto b.
À puncto itaq; b producatur linea contingens circulũ per 17 p 3: h æ c itaq; quoniã eſt orthogonalis
ſuper diametrum g b, ut patet per 18 p 3: palàm per 14 huius, quia ipſa producta ſecabit lineas d a &
d c: ſit ergo ut ſecet lineam d a in puncto e, & lineam d c in puncto f. Quia itaq; e d b & f d b anguli
unt æquales per 59 huius, & anguli d b e & d b f ſunt recti: palàm, quia trigona e b d & f d b ſunt