33331LIBER PRIMVS.
77. Sphærarum ſe contingentium, centra diuerſa eſſe eſt neceſſe.
Signentur enim in utralibet ſphærarum à puncto contactus duo circuli maiores per 69 huius,
ſecantes eorum ſuperficiebus planis ſphæras per ſua centra, & per puncta contactuum. Et quia cen
tra horum circulorum ſunt centra ſphærarum ſuarum per definitionem circulorum magnorũ: hos
autem circulos centra diuerſa habere eſt concluſio 6 p 3. Patet ergo propoſitum.
ſecantes eorum ſuperficiebus planis ſphæras per ſua centra, & per puncta contactuum. Et quia cen
tra horum circulorum ſunt centra ſphærarum ſuarum per definitionem circulorum magnorũ: hos
autem circulos centra diuerſa habere eſt concluſio 6 p 3. Patet ergo propoſitum.
78. Centrorum, ſphærarum ſe extrinſecus contingentium, diſtantiam ſecundum lineam com
poſitam ex ambarum ſphærarum ſemidiametris. intrinſecus uerò ſe contingentium, ſecundum
exceſſum ſemidiametri maioris ad ſemidiametrum minoris eſſe, palàm est.
poſitam ex ambarum ſphærarum ſemidiametris. intrinſecus uerò ſe contingentium, ſecundum
exceſſum ſemidiametri maioris ad ſemidiametrum minoris eſſe, palàm est.
Hoc patet per 76 huius.
Quoniam enim contactus ſphærarum fit ſecundum unum tantùm pun-
ctum: punctus uerò eſt, cui pars nõ eſt: tunc euidẽs eſt, quòd punctus ille cõmunis in utraq; interſe
ctione nihil adimit de diametrorum quantitate: indiuiſibile enim (cum non ſit pars quanti) nec ad-
dit nec minuit aliquid de quanto. Et ſic patet propoſitum.
ctum: punctus uerò eſt, cui pars nõ eſt: tunc euidẽs eſt, quòd punctus ille cõmunis in utraq; interſe
ctione nihil adimit de diametrorum quantitate: indiuiſibile enim (cum non ſit pars quanti) nec ad-
dit nec minuit aliquid de quanto. Et ſic patet propoſitum.
79. Si concauũ alicuius ſphæræ, ſuperficiem aliquam ſecundum eam totam contingat: neceſſe
eſt ſuperficiem contactam partem ſphæræ minoris eſſe.
eſt ſuperficiem contactam partem ſphæræ minoris eſſe.
Sit, ut aliqua ſphæra ſecundũ ſuum concauũ contingat aliquã ſuperficiem ſecundũ oẽs illius par
tes, ſicut uas ſphæricũ ſuperficiem aquę contentę. Dico, quòd uerũ eſt quod proponitur. Ducantur
enim lineę plurimę à centro ſphærę ad locum contactus ſui cum illa ſuperficie. Et quia omnes lineę
productæ ad cõcauũ ſphærę ſunt æquales inter ſe ex definitione ſphæræ, & ſunt æquales productis
lineis ad conuexũ ſuperficiei cõtactę: patet ex dicta definitiõe, quoniã illa ſuքficies eſt pars ſphærę:
& quælibet intellecta exten di ſecundũ cõcauũ ambientis ſphærę, ſphærã minorẽ cõplebit. Eſt ergo
pars minoris ſphærę. Linea quoq; in illa ſuperficie ſignata, eſt pars circuli ex 9 p 3, idem habens cen
trum cum circulo, cui applicatur. Et ſic illa ſuperficies eſt pars minoris ſphærę. Quod eſt propoſitũ.
tes, ſicut uas ſphæricũ ſuperficiem aquę contentę. Dico, quòd uerũ eſt quod proponitur. Ducantur
enim lineę plurimę à centro ſphærę ad locum contactus ſui cum illa ſuperficie. Et quia omnes lineę
productæ ad cõcauũ ſphærę ſunt æquales inter ſe ex definitione ſphæræ, & ſunt æquales productis
lineis ad conuexũ ſuperficiei cõtactę: patet ex dicta definitiõe, quoniã illa ſuքficies eſt pars ſphærę:
& quælibet intellecta exten di ſecundũ cõcauũ ambientis ſphærę, ſphærã minorẽ cõplebit. Eſt ergo
pars minoris ſphærę. Linea quoq; in illa ſuperficie ſignata, eſt pars circuli ex 9 p 3, idem habens cen
trum cum circulo, cui applicatur. Et ſic illa ſuperficies eſt pars minoris ſphærę. Quod eſt propoſitũ.
80. Si ſphæra ſphæram interſecet, communis ſectio ſuperficierum ſphæricarum ſe interſecan-
tium erit peripheria circuli.
tium erit peripheria circuli.
Quod hic proponitur, patet.
Imaginetur enim ſuperficies ſecans ambas ſphæras ſecundum lineã
cõmunẽ ſectionis ſphærarũ, qualiſcũq; fuerit. Hæc ergo ſuperficies propter ſimilitudinẽ corporũ ſe
interſecantiũ plana erit: cõmunis ergo ſectio illius ſuperficiei & utriuſq; ſphærarũ erit circulus per
69 huius. Palàm ergo, quòd cõmunis linea interſectionis ſuperficierũ ſphærarum illarum erit peri-
pheria circuli, in qua incluſa ſuperficies, erit circulus communis illi ſectioni: quoniam aliàs corpus,
quo utræq; ſphærę communicant, eſt corpus cõmune ſphærarum interſectioni: & eſt corpus irregu
lare, duabus ſcilicet ſuperficiebus ſphæricis contentum & diuerſis, ſecundum diſpoſitionẽ ſe inter-
ſecantium ſphærarum. Patet ergo propoſitum.
cõmunẽ ſectionis ſphærarũ, qualiſcũq; fuerit. Hæc ergo ſuperficies propter ſimilitudinẽ corporũ ſe
interſecantiũ plana erit: cõmunis ergo ſectio illius ſuperficiei & utriuſq; ſphærarũ erit circulus per
69 huius. Palàm ergo, quòd cõmunis linea interſectionis ſuperficierũ ſphærarum illarum erit peri-
pheria circuli, in qua incluſa ſuperficies, erit circulus communis illi ſectioni: quoniam aliàs corpus,
quo utræq; ſphærę communicant, eſt corpus cõmune ſphærarum interſectioni: & eſt corpus irregu
lare, duabus ſcilicet ſuperficiebus ſphæricis contentum & diuerſis, ſecundum diſpoſitionẽ ſe inter-
ſecantium ſphærarum. Patet ergo propoſitum.
81. Sphærarum ſe interſecantium, maiores circulos ſe inuicem ſecare palàm est. Ex quo patet
interſecantium ſe ſphærarum centra diuerſa eſſe.
interſecantium ſe ſphærarum centra diuerſa eſſe.
Primum patet ex definitione ſphærarum ſe interſecantium.
Quoniam enim interſecantibus ſe
ſphæris, diameter unius per alteram abſcinditur, & maiorum circulorũ diametri ſunt etiam diame-
tri ſuarum ſphærarum (diuidunt enim circuli magni ſuas ſphæras per æqualia) tunc patet, quòd cir-
culis unius ſphæræ & alterius ſe interſecantium aliqua linea eſt cõmunis. Cum ergo unus circulus
aliũ non cõtineat, quia nec una ſphæra ſphæram aliam continet: palàm, quia tales circuli ſe inuicem
ſecant ex definitione taliũ circulorũ. Quia uerò ex 5 p 3 circulorũ ſe inuicem ſecantiũ centra eſſe di
uerſa neceſſe eſt, & idem eſt centrũ ſphærę, quod eſt centrũ circuli magni in illa ſphæra: patet corol-
arium, ſcilicet, quia interſecantium ſe ſphærarum centra ſunt diuerſa. Et hoc proponebatur.
ſphæris, diameter unius per alteram abſcinditur, & maiorum circulorũ diametri ſunt etiam diame-
tri ſuarum ſphærarum (diuidunt enim circuli magni ſuas ſphæras per æqualia) tunc patet, quòd cir-
culis unius ſphæræ & alterius ſe interſecantium aliqua linea eſt cõmunis. Cum ergo unus circulus
aliũ non cõtineat, quia nec una ſphæra ſphæram aliam continet: palàm, quia tales circuli ſe inuicem
ſecant ex definitione taliũ circulorũ. Quia uerò ex 5 p 3 circulorũ ſe inuicem ſecantiũ centra eſſe di
uerſa neceſſe eſt, & idem eſt centrũ ſphærę, quod eſt centrũ circuli magni in illa ſphæra: patet corol-
arium, ſcilicet, quia interſecantium ſe ſphærarum centra ſunt diuerſa. Et hoc proponebatur.
82. Si ſphæra ſphæram interſecet: linea, quæ centra illarum ſphærarum tranſit, centrũ circuli
peripheriæ cõmunis ſectionis tranſire, & ſuper ipſius ſuperficiem perpendicularẽ eſſe, neceſſe eſt.
peripheriæ cõmunis ſectionis tranſire, & ſuper ipſius ſuperficiem perpendicularẽ eſſe, neceſſe eſt.
Circulus cõmunis ſectiõis ſphærarũ aut eſt circulus maior alterius ſpherarũ ſe interſecantiũ, aut
minor: ſi maior: hoc erit ſolũ, cũ maior ſphæra minorẽ interſecat. Si enim æquales ſphærę ſecundũ
circulũ maiorẽ ſe interſecarẽt, nõ eſſet ſphærarũ interſectio, ſed unius ſphærę ex duobus hemiſphæ
rijs æqualibus cõpoſitio. Si ergo circulus cõis ſectionis ſphęrarũ ſit circulus maior, nõ erit ille circu
lus maior, niſi in ſphæris inæqualibus ſe interſecãtibus, circulus ſphærę minoris: quoniã ipſum eſſe
circulũ maiorẽ ſphærę maioris eſt impoſsibile: quoniã maior circulus ſphærę maioris nõ poteſt ca-
dere in ſuperficiẽ ſphęrę minoris. Sit itaq; circulus talis a b c: & ſit centrũ maioris ſphærę d: ſphærę
uerò minoris e: erit quoq; e centrũ circuli a b c ex hypotheſi. Ducatur ergo linea d e: & patebit pro-
poſitum primum. Item ducantur lineę d a, b d, d c, & lineę a e, b e, c e: eruntq́; triangulorum d a e &
d b e latera æqualia: ideo, quoniam linea d e latus eſt commune, & latus d a æquale eſt lateri d b ex
definitione ſphærę: latus quoque a e ęquale eſt lateri b e ex definitione circuli: ergo per 8 p 1 anguli
ęquis lateribus contenti, erunt ęquales. Angulus ergo d e b ęqualis erit angulo d e a: ſimiliter an
gulus d e c erit ęqualis angulo d e b: & uniuerſaliter à quocunq; puncto circuli a b c ducantur lineę
ad e centrum ſphærę, anguli ſuper centrum e ſemper erunt æquales. Et quia ſuper eandem diame-
trum oppoſitis punctis ſignatis linea d e æquales angulos conſtituit: patet per definitionem per-
pendicularis, quoniam ipſa linea d e ſuper omnes diametros perpendicularis erit. Ergo per 4 p 11
linea d e ſuper ſuperficiem circuli a b c erecta eſt, & ſupeream perpendicularis. Si uerò circu-
minor: ſi maior: hoc erit ſolũ, cũ maior ſphæra minorẽ interſecat. Si enim æquales ſphærę ſecundũ
circulũ maiorẽ ſe interſecarẽt, nõ eſſet ſphærarũ interſectio, ſed unius ſphærę ex duobus hemiſphæ
rijs æqualibus cõpoſitio. Si ergo circulus cõis ſectionis ſphęrarũ ſit circulus maior, nõ erit ille circu
lus maior, niſi in ſphæris inæqualibus ſe interſecãtibus, circulus ſphærę minoris: quoniã ipſum eſſe
circulũ maiorẽ ſphærę maioris eſt impoſsibile: quoniã maior circulus ſphærę maioris nõ poteſt ca-
dere in ſuperficiẽ ſphęrę minoris. Sit itaq; circulus talis a b c: & ſit centrũ maioris ſphærę d: ſphærę
uerò minoris e: erit quoq; e centrũ circuli a b c ex hypotheſi. Ducatur ergo linea d e: & patebit pro-
poſitum primum. Item ducantur lineę d a, b d, d c, & lineę a e, b e, c e: eruntq́; triangulorum d a e &
d b e latera æqualia: ideo, quoniam linea d e latus eſt commune, & latus d a æquale eſt lateri d b ex
definitione ſphærę: latus quoque a e ęquale eſt lateri b e ex definitione circuli: ergo per 8 p 1 anguli
ęquis lateribus contenti, erunt ęquales. Angulus ergo d e b ęqualis erit angulo d e a: ſimiliter an
gulus d e c erit ęqualis angulo d e b: & uniuerſaliter à quocunq; puncto circuli a b c ducantur lineę
ad e centrum ſphærę, anguli ſuper centrum e ſemper erunt æquales. Et quia ſuper eandem diame-
trum oppoſitis punctis ſignatis linea d e æquales angulos conſtituit: patet per definitionem per-
pendicularis, quoniam ipſa linea d e ſuper omnes diametros perpendicularis erit. Ergo per 4 p 11
linea d e ſuper ſuperficiem circuli a b c erecta eſt, & ſupeream perpendicularis. Si uerò circu-