33735LIBER PRIMVS.
tis, axe exiſtente cõmuni, omnes anguli ad centrum b cõſtituti ſunt æquales.
Patet ergo propoſitũ.
90. Omnis ſuperficiei planæ ſecantis pyramidem rotundam uel lateratam ſecundum a-
xis longitudinem & ſuperficiei conicæ communis ſectio eſt trigonum duab{us} lineis longitudi-
nis pyramid{ιs} & diametro baſis contentũ. Ex quo patet, quoniam illa ſuperficies dιuidit pyra-
midem per æqualia: & quòd ſuperficies, quæpyramidem ſecundum lineam longitudinis per æ-
qualia ſecuerit, ſecundum axem neceſſariò ſecabit. È 18 defin. 11 element. item 3. theor. 1 Co-
nicorum Apollonij.
xis longitudinem & ſuperficiei conicæ communis ſectio eſt trigonum duab{us} lineis longitudi-
nis pyramid{ιs} & diametro baſis contentũ. Ex quo patet, quoniam illa ſuperficies dιuidit pyra-
midem per æqualia: & quòd ſuperficies, quæpyramidem ſecundum lineam longitudinis per æ-
qualia ſecuerit, ſecundum axem neceſſariò ſecabit. È 18 defin. 11 element. item 3. theor. 1 Co-
nicorum Apollonij.
Eſto pyramis rotunda a b c, cuius uertex a:
& diameter baſis b c:
& ſit centrum baſis d.
Et palàm
per pręmiſſam, quoniã linea a d eſt axis illius pyramidis. Superficies
349[Figure 349]a b d citaq; plana ſecans pyramidem rotundam ſecundum axis longitudi-
nem, pertranſit puncta a & d: erit itaq; illa ſuperficies plana orthogo-
naliter erecta ſuper baſim pyramidis per 18 p 11. Communis itaq; ſe-
ctio baſis pyramidis & illιus ſuperficiei planę eſt linea recta per 3 p 11,
quæ eſt diameter baſis: & ſit hæc b c. Trigonũ itaq; a b c eſt in ſuper-
ficie ſecante: ſed & idem trigonum eſt in ſuperficie conica pyr mi-
dis. Et quoniam trigonum orthogonium b a d eſt illud, ex cuius per-
tranſitu deſcribιtur pyramis a b c, & trigonum a b c eſt duplum illi
per 1 p 6, patet illud, quod primò proponitur de pyramide rotunda.
Patet etiam, quòd illa ſuperficies taliter pyramidem ſecans, diuidit
ipſam per æqualia: quoniam tranſiens uerticem & concluſa diame-
tro, per æqualia diuidit & baſim. In laterata uerò pyramide, aut ſu-
perficies plana ſecans tranſit latus aut angulum: eritq́; productis li-
neis ad terminum axis pyramidis, illa communis ſectio ſemper trigo
nus maior uel minor. Patet ergo propoſitum: quoniam & conuerſa
per ſe & ex præmιſsis patet.
per pręmiſſam, quoniã linea a d eſt axis illius pyramidis. Superficies
349[Figure 349]a b d citaq; plana ſecans pyramidem rotundam ſecundum axis longitudi-
nem, pertranſit puncta a & d: erit itaq; illa ſuperficies plana orthogo-
naliter erecta ſuper baſim pyramidis per 18 p 11. Communis itaq; ſe-
ctio baſis pyramidis & illιus ſuperficiei planę eſt linea recta per 3 p 11,
quæ eſt diameter baſis: & ſit hæc b c. Trigonũ itaq; a b c eſt in ſuper-
ficie ſecante: ſed & idem trigonum eſt in ſuperficie conica pyr mi-
dis. Et quoniam trigonum orthogonium b a d eſt illud, ex cuius per-
tranſitu deſcribιtur pyramis a b c, & trigonum a b c eſt duplum illi
per 1 p 6, patet illud, quod primò proponitur de pyramide rotunda.
Patet etiam, quòd illa ſuperficies taliter pyramidem ſecans, diuidit
ipſam per æqualia: quoniam tranſiens uerticem & concluſa diame-
tro, per æqualia diuidit & baſim. In laterata uerò pyramide, aut ſu-
perficies plana ſecans tranſit latus aut angulum: eritq́; productis li-
neis ad terminum axis pyramidis, illa communis ſectio ſemper trigo
nus maior uel minor. Patet ergo propoſitum: quoniam & conuerſa
per ſe & ex præmιſsis patet.
91. Omnis pyramidis rotundæ uel lateratæ lineæ lõgitudinis ſu
per axem in uertice tantùm ſe interſecant: productæ quo aliam
ſimilem pyramidem principiant, cui{us} lineæ longitudinis ſecun-
dum poſitionem & ſitum priori pyramidi modo contrario ſe habent. È 18 defin. 11 elemen. item
1 defin. 1 Conicorum Apollonij.
per axem in uertice tantùm ſe interſecant: productæ quo aliam
ſimilem pyramidem principiant, cui{us} lineæ longitudinis ſecun-
dum poſitionem & ſitum priori pyramidi modo contrario ſe habent. È 18 defin. 11 elemen. item
1 defin. 1 Conicorum Apollonij.
Quòd omnes lineę longitudinis pyramidis cuiuſcunq;
prod ctę ſe ſuper axem in uertice ſecent,
euidens eſt: quonιam concurrunt omnes in illo puncto uerticis. Et quonιam omnes ſunt æquales
per 89 huius: patet, quia citra uerticem nulla ipſarum aliam interſe-
350[Figure 350]d e a b ccat. Quòd etiam product æ aliam pyramιdem priori ſimilem princi-
pient, patet. Secet enιm ſuperficies plana pyramidem ſecundũ axis
longitudinem: erit ergo per præcedentem communis ſectio iſtius
ſuperficiei & ſuperficiei conicę pyramidis, trigonum æquum duplo
trigoni rectanguli pyramidem cauſſantis: ſed palàm per 36 huius,
quòd latera cuiuslibet trigoni producta principiant alium trigonũ
priori ſimile, cuius latera poſitionem & ſitum prioris trigoni lateri-
bus contrarium habent. Et quoniam tot poſſunt imaginari planæ ſu
perficies trans axem pyramidem ſecantes, quot ſunt lineæ longitu-
dinis imaginabiles in medietate pyramidis, pater, quoniam omnes
lineæ longitudinis productæ, principiant aliam pyramidem priori
ſimilem, lineis longitudinis à dextro prioris prodeuntibus in ſini-
ſtrum poſterioris, & à ſiniſtro prioris in dextrũ poſterioris, & è con-
uerſo. Patet ergo propoſitum.
euidens eſt: quonιam concurrunt omnes in illo puncto uerticis. Et quonιam omnes ſunt æquales
per 89 huius: patet, quia citra uerticem nulla ipſarum aliam interſe-
350[Figure 350]d e a b ccat. Quòd etiam product æ aliam pyramιdem priori ſimilem princi-
pient, patet. Secet enιm ſuperficies plana pyramidem ſecundũ axis
longitudinem: erit ergo per præcedentem communis ſectio iſtius
ſuperficiei & ſuperficiei conicę pyramidis, trigonum æquum duplo
trigoni rectanguli pyramidem cauſſantis: ſed palàm per 36 huius,
quòd latera cuiuslibet trigoni producta principiant alium trigonũ
priori ſimile, cuius latera poſitionem & ſitum prioris trigoni lateri-
bus contrarium habent. Et quoniam tot poſſunt imaginari planæ ſu
perficies trans axem pyramidem ſecantes, quot ſunt lineæ longitu-
dinis imaginabiles in medietate pyramidis, pater, quoniam omnes
lineæ longitudinis productæ, principiant aliam pyramidem priori
ſimilem, lineis longitudinis à dextro prioris prodeuntibus in ſini-
ſtrum poſterioris, & à ſiniſtro prioris in dextrũ poſterioris, & è con-
uerſo. Patet ergo propoſitum.
92. Omnes lineæ longitudinis uni{us} columnæ rotundæ ſunt æ-
quales, rectos angulos cum ſemidiametris ſuarum baſium conti-
nentes, & in eadem ſuperficie cum axe exiſtentes. Ex quo patet,
quoniam axis cui{us}lιbet columnæ rotundæ centris ſuaru baſium
orthogonaliter inſiſtit. È 21 defin. 11 element.
quales, rectos angulos cum ſemidiametris ſuarum baſium conti-
nentes, & in eadem ſuperficie cum axe exiſtentes. Ex quo patet,
quoniam axis cui{us}lιbet columnæ rotundæ centris ſuaru baſium
orthogonaliter inſiſtit. È 21 defin. 11 element.
Hoc non indiget demonſtratione alia, niſi ſimili illi, quæ fit in 89 huius.
Sicut enim trigonum
orthogonium altero laterum rectum angulum continentium fixo, per reuolutionem ſuam cauſ-
ſat pyramidem rotundum: ſic quadrilaterum rectangulum altero ſuorum laterum fixo manente,
alijs tribus, quouſque ad locum ſuum redeant, circumductis, cauſſat motu ſuo figuram colu-
mnarem rotundam. fiet ergo probatio omnium eorum, quæ proponunttur hîc, ut in illa: quia pa-
tet totum euidenter.
orthogonium altero laterum rectum angulum continentium fixo, per reuolutionem ſuam cauſ-
ſat pyramidem rotundum: ſic quadrilaterum rectangulum altero ſuorum laterum fixo manente,
alijs tribus, quouſque ad locum ſuum redeant, circumductis, cauſſat motu ſuo figuram colu-
mnarem rotundam. fiet ergo probatio omnium eorum, quæ proponunttur hîc, ut in illa: quia pa-
tet totum euidenter.