33937LIBER PRIMVS.
bit per axem a g per 90 huius.
Trigonum ergo a b g cum linea d e eſt in eadem ſuperficie.
Quia ergo
linea e d cum uno latere trigoni b a g, quod eſt a b, continet angulũ rectum, qui eſt d e a: angulus ue-
rò e a g eſt acutus: palàm, quia linea d e concurret cum linea a g per 14 huius. Tranſit ergo per axem
pyramidis uel columnæ rotundę. Quod eſt propoſitum: quoniã in columna rotunda eodem modo
demonſtandũ. In illa enim, quia linea longitudinis a b æquidiſtat axi, & lineę d e & a b & axis ſunt
in eadem ſuperficie: patet per 2 huius, quia linea d e concurrẽs cum una linearum æquidiſtantium,
ideo cum a b & cum axe neceſſariò concurret. Et hoc proponebatur.
linea e d cum uno latere trigoni b a g, quod eſt a b, continet angulũ rectum, qui eſt d e a: angulus ue-
rò e a g eſt acutus: palàm, quia linea d e concurret cum linea a g per 14 huius. Tranſit ergo per axem
pyramidis uel columnæ rotundę. Quod eſt propoſitum: quoniã in columna rotunda eodem modo
demonſtandũ. In illa enim, quia linea longitudinis a b æquidiſtat axi, & lineę d e & a b & axis ſunt
in eadem ſuperficie: patet per 2 huius, quia linea d e concurrẽs cum una linearum æquidiſtantium,
ideo cum a b & cum axe neceſſariò concurret. Et hoc proponebatur.
97. Omnis ſuperficies plana ſuperficiei contingenti pyramidem uel columnam in loco con-
tact{us} orthogonaliter inſiſtens, neceſſariò ſecat pyramidem uel columnam per ipſi{us} axem.
tact{us} orthogonaliter inſiſtens, neceſſariò ſecat pyramidem uel columnam per ipſi{us} axem.
Sit pyramis uel columna rotunda, quam contingat ſuperficies plana.
Palàm ergo per 95 huius,
quoniã continget illam ſecundũ lineã longitudinis. Superficies itaq; huic ſuperficiei orthogonali-
ter in loco contactus inſiſtẽs, eſt perpendicularis ſuper ſuperficiẽ curuam pyramidis uel columnę:
& ipſarũ cõmunis ſectio eſt linea longitudinis, ſuper quã in ſuperficie erecta ducantur perpendicu-
lares. Eæ itaq; lineæ per præmiſſam tranſibunt axem pyramidis uel columnæ rotundæ. Er go & ſu-
perficies illa axem tranſiens, ſecabit pyramidẽ uel columnã ſecundum axem. Et hoc proponebatur.
quoniã continget illam ſecundũ lineã longitudinis. Superficies itaq; huic ſuperficiei orthogonali-
ter in loco contactus inſiſtẽs, eſt perpendicularis ſuper ſuperficiẽ curuam pyramidis uel columnę:
& ipſarũ cõmunis ſectio eſt linea longitudinis, ſuper quã in ſuperficie erecta ducantur perpendicu-
lares. Eæ itaq; lineæ per præmiſſam tranſibunt axem pyramidis uel columnæ rotundæ. Er go & ſu-
perficies illa axem tranſiens, ſecabit pyramidẽ uel columnã ſecundum axem. Et hoc proponebatur.
98. Omnis ſuperficiei planæ ſecantis pyramidem rotundam non per uerticẽ, & ſuperficiei co-
nicæ pyramidis communem ſectionem figuram triangularem eſſe impoßibile.
nicæ pyramidis communem ſectionem figuram triangularem eſſe impoßibile.
Eſto pyramis, cuius uertex a, diameter baſis b c, centrũ baſis d, & axis a d, quã ſecundum axis lon
gitudinem ſecet ſuperficies plana ſecundum trigonũ a b c per 90 huius: ſecetq́; ipſam alia ſuperfi-
cies erecta ſuper trigonũ a
353[Figure 353]d f f f g g b h h d c h e e c b c, nõ per uerticem, ſecun-
dum ſectionẽ, quæ ſit e f g,
cuius ſupremus pũctus ſit
f, & ſit linea e g æquidiſtãs
alicui diametro baſis pyra-
midis, cuius medius pun-
ctus ſit h: & ducatur linea f
h à ſupremo puncto ſectio-
nis ad mediũ ſuæ baſis. Et
quia linea e g eſt linea re-
cta, quę eſt æquidiſtãs dia-
metro baſis pyramidis, &
punctũ f ſignatum eſt in ſu-
perficie conica in ſupremo,
ſuperficies e f g ſecat coni-
cam ſuperficiẽ. Si itaq; ſe-
ctio e f g ſit trigonũ ſcilicet
rectilineum: patet, quoniã duæ lineæ longitudinis pyramidis, quæ ſunt e f & g f, concurrunt in pun-
cto f, præter uerticem pyramidis, quod eſt impoſsibile & cõtra 91 huius. Trigonũ quoq; curuilineũ
fieri eſt impoſsibile: quoniã ſuperficies ſecans ſupponitur eſſe plana, & ſuperficies illius trigoni eſt
curua, ut patet ex definitione. Erit ergo linea e f g linea una. Cum itaq; illa ſectio ſit linea una: dica-
tur ſectio conica uel pyramidalis. Si itaq́ axis pyramidis, qui eſt a d, ſit æqualis ſemidiametro baſis,
quæ eſt d b: palàm, quia pyramis a b c eſt orthogonia, quoniam angulus b a c trigoni a b c eſt rectus.
Si ergo linea f h, quæ eſt communis ſectio ſuperficiei e f g, & trigoni a b c æquidiſtet lineæ a c, quæ
eſt latus trigoni, & linea longitudinis pyramidis: palàm per 29 p 1, cum angulus b a c ſit rectus, quòd
etiam angulus b f h erit rectus: & ſimiliter angulus h f a: tunc itaq; ſectio e f g dicetur ſectio rectangu
la, uel parabola: & eſt illa, quam Arabes dicunt mukefi. Si uerò lineæ h f & a c non æquidiſtent, ſed
concurrant: ſi concurſus fiat ad partem puncti a, qui eſt uertex pyramidis: tunc patet per 14 huius,
quòd angulus h f a erit obtuſus: & tunc ſectio e f g dicetur amblygonia uel hyperbole uel mukefi
addita. Si uerò lineæ h f & a c concurrant uerſus punctum c, qui non eſt uertex pyramidis: tunc per
14 huius erit angulus h f a acutus: & tunc ſectio e f g dicetur oxygonia, uel ellipſis uel mukefi dimi-
nuta. Et ſecundum hunc modum iſtæ ſectiones & earum paſsiones ampliſsimè uariantur.
gitudinem ſecet ſuperficies plana ſecundum trigonũ a b c per 90 huius: ſecetq́; ipſam alia ſuperfi-
cies erecta ſuper trigonũ a
353[Figure 353]d f f f g g b h h d c h e e c b c, nõ per uerticem, ſecun-
dum ſectionẽ, quæ ſit e f g,
cuius ſupremus pũctus ſit
f, & ſit linea e g æquidiſtãs
alicui diametro baſis pyra-
midis, cuius medius pun-
ctus ſit h: & ducatur linea f
h à ſupremo puncto ſectio-
nis ad mediũ ſuæ baſis. Et
quia linea e g eſt linea re-
cta, quę eſt æquidiſtãs dia-
metro baſis pyramidis, &
punctũ f ſignatum eſt in ſu-
perficie conica in ſupremo,
ſuperficies e f g ſecat coni-
cam ſuperficiẽ. Si itaq; ſe-
ctio e f g ſit trigonũ ſcilicet
rectilineum: patet, quoniã duæ lineæ longitudinis pyramidis, quæ ſunt e f & g f, concurrunt in pun-
cto f, præter uerticem pyramidis, quod eſt impoſsibile & cõtra 91 huius. Trigonũ quoq; curuilineũ
fieri eſt impoſsibile: quoniã ſuperficies ſecans ſupponitur eſſe plana, & ſuperficies illius trigoni eſt
curua, ut patet ex definitione. Erit ergo linea e f g linea una. Cum itaq; illa ſectio ſit linea una: dica-
tur ſectio conica uel pyramidalis. Si itaq́ axis pyramidis, qui eſt a d, ſit æqualis ſemidiametro baſis,
quæ eſt d b: palàm, quia pyramis a b c eſt orthogonia, quoniam angulus b a c trigoni a b c eſt rectus.
Si ergo linea f h, quæ eſt communis ſectio ſuperficiei e f g, & trigoni a b c æquidiſtet lineæ a c, quæ
eſt latus trigoni, & linea longitudinis pyramidis: palàm per 29 p 1, cum angulus b a c ſit rectus, quòd
etiam angulus b f h erit rectus: & ſimiliter angulus h f a: tunc itaq; ſectio e f g dicetur ſectio rectangu
la, uel parabola: & eſt illa, quam Arabes dicunt mukefi. Si uerò lineæ h f & a c non æquidiſtent, ſed
concurrant: ſi concurſus fiat ad partem puncti a, qui eſt uertex pyramidis: tunc patet per 14 huius,
quòd angulus h f a erit obtuſus: & tunc ſectio e f g dicetur amblygonia uel hyperbole uel mukefi
addita. Si uerò lineæ h f & a c concurrant uerſus punctum c, qui non eſt uertex pyramidis: tunc per
14 huius erit angulus h f a acutus: & tunc ſectio e f g dicetur oxygonia, uel ellipſis uel mukefi dimi-
nuta. Et ſecundum hunc modum iſtæ ſectiones & earum paſsiones ampliſsimè uariantur.
99. Omnis ſuperficiei planæ ſecantis pyramidem uel columnam lateratã trans axem æquidi-
stanter baſi & ſuperficiei pyramidalis uel columnaris cõmunis ſectio eſt ſimilis peripheriæ baſis:
& ſi illa ſectio peripheriæ baſis eſt ſimilis, ſuperficies ſecans æquidistat baſi pyramidis uel colũnæ.
stanter baſi & ſuperficiei pyramidalis uel columnaris cõmunis ſectio eſt ſimilis peripheriæ baſis:
& ſi illa ſectio peripheriæ baſis eſt ſimilis, ſuperficies ſecans æquidistat baſi pyramidis uel colũnæ.
Si enim illa ſectio baſi æquidiſtat, omnes trigoni laterales totius pyramidis & partiales trigoni
ſunt æquianguli per 29 p 1. Patet ergo per 4 p 6, quòd tota peripheria ſectionis eſt ſimilis baſi pyra-
midis, quoniam omnia latera trigonorum totalium & partialium erunt proportionalia. Et ſi illa
ſectio eſt baſi ſimilis, eſt etiam baſi æquidiſtans. Quoniam ſi nõ eſt æquidiſtans, erit alia ſecundum
idem punctum ſecans axem, æquidiſtans baſi, ſimilis peripheriæ baſis per præmiſſa, Sequitur itaq;
ut una ſimilis, alia quoq; non ſimilis, ſecundum idem punctum ſecent axem pyramidis. Alia uerò
ſunt æquianguli per 29 p 1. Patet ergo per 4 p 6, quòd tota peripheria ſectionis eſt ſimilis baſi pyra-
midis, quoniam omnia latera trigonorum totalium & partialium erunt proportionalia. Et ſi illa
ſectio eſt baſi ſimilis, eſt etiam baſi æquidiſtans. Quoniam ſi nõ eſt æquidiſtans, erit alia ſecundum
idem punctum ſecans axem, æquidiſtans baſi, ſimilis peripheriæ baſis per præmiſſa, Sequitur itaq;
ut una ſimilis, alia quoq; non ſimilis, ſecundum idem punctum ſecent axem pyramidis. Alia uerò
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib