34442VITELLONIS OPTICAE
ramidis abſciſſæ ab altiori, baſi alterius abſciſſæ minorem eſſe.
Duarum pyramidũ rotundarum ambarũ, uel lateratarũ ambarum, ęqualiũ baſium, ſit altior a b c,
cuius axis ſit a d, & uertex a: & baſsior pyramis ſit e f g, cuius axis ſit f h, & uertex f: a b ſcindaturq́; a b
axe a d linea a k æqualis lineę f l abſciſſæ ab axe f h. Secetur itaq; pyramis altior per ſuperficiẽ planã
per axem: eritq́; per 90 huius ſectio
363[Figure 363]a m k n b d c364[Figure 364]f o l p p h g cõmunis trigonus, qui ſit a b c. Et ſi-
militer ſecetur altera pyramis per
axem: & ſit ſectio trigonus e f g: & à
puncto k ducatur linea k m æquidi-
ſtanter baſi b d. Et ſimiliter à puncto
l ducatur linea l o æquidiſtanter baſi
e h per 31 p 1: eritq́; per 29 p 1 & 4 p 6
proportio lineæ b d ad lineam k m,
ſicut lineæ d a ad lineã a k: & propor
tio lineæ e h ad lineam o l, ſicut lineę
h f ad lineam f l: eſt aũt linea a k ęqua
lis lineę f l, & linea d a maior quàm li
nea f h ex hypotheſi. Ergo per 8 p 5
maior eſt ꝓportio lineę d a ad lineã
a k, ꝗ̃ ſit linea h f ad lineã f l: eſt ergo
maior proportio lineę b d ad lineam
m k, ꝗ̃ lineæ e h ad lineã o l: ſed linea
b d eſt æqualis ipſi e h ex hypotheſi. Ergo per 10 p 5 linea o l eſt maior ꝗ̃ linea k m. Et ſimiliter pro-
ducta m k ad latus trigoni a c, & linea o l ad latus trigoni f g, ſequetur lineã l p eſſe maiorẽ, ꝗ̃ ſit linea
k n: & tota linea o p erit maior, quàm linea m n. Circũducãtur itaq; per 102 huius pyramidibus datis
duo circuli, quorũ unius diameter ſit m n, & alterius o p: eritq́; circulus o p maior circulo m n. Et ꝗa
circuli illi æquidiſtant baſibus pyramidium, patet per 100 huius, quoniã à uerticibus abſcindunt py
ramides, quarũ axes ſunt a k & f l, quę ex pręmiſsis ſunt æquales. I demq́; penitus accidit in lateratis
pyramidibus aſſumptis trigonis, & ductis lineis æquidiſtantibus baſibus trigoni, hoc eſt lateribus
baſis datę pyramidis & lineis ad axes æquidiſtãtibus, ꝗbuſdã lineis ꝓductis à terminis laterũ baſiũ
ipſarũ pyramidum ad punctum terminantẽ axem ſuper baſim. Patet ergo propoſitũ per 99 huius.
cuius axis ſit a d, & uertex a: & baſsior pyramis ſit e f g, cuius axis ſit f h, & uertex f: a b ſcindaturq́; a b
axe a d linea a k æqualis lineę f l abſciſſæ ab axe f h. Secetur itaq; pyramis altior per ſuperficiẽ planã
per axem: eritq́; per 90 huius ſectio
363[Figure 363]a m k n b d c364[Figure 364]f o l p p h g cõmunis trigonus, qui ſit a b c. Et ſi-
militer ſecetur altera pyramis per
axem: & ſit ſectio trigonus e f g: & à
puncto k ducatur linea k m æquidi-
ſtanter baſi b d. Et ſimiliter à puncto
l ducatur linea l o æquidiſtanter baſi
e h per 31 p 1: eritq́; per 29 p 1 & 4 p 6
proportio lineæ b d ad lineam k m,
ſicut lineæ d a ad lineã a k: & propor
tio lineæ e h ad lineam o l, ſicut lineę
h f ad lineam f l: eſt aũt linea a k ęqua
lis lineę f l, & linea d a maior quàm li
nea f h ex hypotheſi. Ergo per 8 p 5
maior eſt ꝓportio lineę d a ad lineã
a k, ꝗ̃ ſit linea h f ad lineã f l: eſt ergo
maior proportio lineę b d ad lineam
m k, ꝗ̃ lineæ e h ad lineã o l: ſed linea
b d eſt æqualis ipſi e h ex hypotheſi. Ergo per 10 p 5 linea o l eſt maior ꝗ̃ linea k m. Et ſimiliter pro-
ducta m k ad latus trigoni a c, & linea o l ad latus trigoni f g, ſequetur lineã l p eſſe maiorẽ, ꝗ̃ ſit linea
k n: & tota linea o p erit maior, quàm linea m n. Circũducãtur itaq; per 102 huius pyramidibus datis
duo circuli, quorũ unius diameter ſit m n, & alterius o p: eritq́; circulus o p maior circulo m n. Et ꝗa
circuli illi æquidiſtant baſibus pyramidium, patet per 100 huius, quoniã à uerticibus abſcindunt py
ramides, quarũ axes ſunt a k & f l, quę ex pręmiſsis ſunt æquales. I demq́; penitus accidit in lateratis
pyramidibus aſſumptis trigonis, & ductis lineis æquidiſtantibus baſibus trigoni, hoc eſt lateribus
baſis datę pyramidis & lineis ad axes æquidiſtãtibus, ꝗbuſdã lineis ꝓductis à terminis laterũ baſiũ
ipſarũ pyramidum ad punctum terminantẽ axem ſuper baſim. Patet ergo propoſitũ per 99 huius.
110. Si pyramis rotunda ſphæram interſecet, nec eius conica ſuperficies à ſuperficie ſphæræ
interſecetur: communis ſectio ſuperficierum ſphæræ & pyramidis erit circumferentia circu-
li baſis pyramidis.
interſecetur: communis ſectio ſuperficierum ſphæræ & pyramidis erit circumferentia circu-
li baſis pyramidis.
Quoniam enim per 69 huius ſuperficies plana ſecundum circulum ſecat ſphærã, baſisq́;
pyrami-
dis ſuperficies plana eſt, quia circulus: palàm, quòd illa baſis ſphæram ſecundum circulum interſe-
cabit: interſecat autem pyramis ſphæræ ſuperficiem ſecundum totam ſuam baſim: quia ſuperficies
eius cõuexa conica à ſuperficie ſphæræ non interſecatur, ut patet per hypotheſim. Patet itaq; , quòd
communis ſectio ſuperficierum dictarum erit circumferentia circuli baſis pyramidis, ſuperficiesq́;
illa circumferentia contenta (quæ eſt circulus, qui eſt baſis pyramidis) erit ſuperficies communis:
quamuis aliàs corpuſculum (quod eſt pars ſphæræ) reſectum à ſphæra per illam ſuperficiem, ſit cor-
pus utriq; dictorum corporum commune.
dis ſuperficies plana eſt, quia circulus: palàm, quòd illa baſis ſphæram ſecundum circulum interſe-
cabit: interſecat autem pyramis ſphæræ ſuperficiem ſecundum totam ſuam baſim: quia ſuperficies
eius cõuexa conica à ſuperficie ſphæræ non interſecatur, ut patet per hypotheſim. Patet itaq; , quòd
communis ſectio ſuperficierum dictarum erit circumferentia circuli baſis pyramidis, ſuperficiesq́;
illa circumferentia contenta (quæ eſt circulus, qui eſt baſis pyramidis) erit ſuperficies communis:
quamuis aliàs corpuſculum (quod eſt pars ſphæræ) reſectum à ſphæra per illam ſuperficiem, ſit cor-
pus utriq; dictorum corporum commune.
111. Si pyramis ſphæram interſecet ſic, ut circulus baſis pyramidis in ſphæræ ſuperficie circu-
lo maiori ſphæræ æquidiſtet: diametrum ſphæræ ſuper illum circulum maiorem erectã, centrum
circuli baſis pyramidis orthogonaliter tranſire neceſſe eſt. Ex quo manifeſtum eſt, diametrum
ſphæræ & axem pyramidis coniuncta eſſe lineam unam.
lo maiori ſphæræ æquidiſtet: diametrum ſphæræ ſuper illum circulum maiorem erectã, centrum
circuli baſis pyramidis orthogonaliter tranſire neceſſe eſt. Ex quo manifeſtum eſt, diametrum
ſphæræ & axem pyramidis coniuncta eſſe lineam unam.
Quia enim per præcedentem circulus (qui eſt baſis pyramidis) communis eſt ſphæræ, ſicut pyra-
midi: tunc per 68 huius patet propoſitum. Quia enim circulus (qui eſt baſis pyramidis) æquidiſtat
circulo magno ſphæræ, & ij circuli æquidiſtãtes ſunt ambo in ſuperficie ſphærę: erit diameter ſphæ
ræ centrũ circuli baſis pyramidis orthogonaliter tranſiens: tranſit enim orthogonaliter centra am-
borum illorum circulorum. Et quoniam à termino alicuius lineæ ductæ à centro communis circuli
ad circumferentiam, exeunt duæ lineæ orthogonaliter ſuper ipſam inſiſtentes, ſcilicet axis pyrami-
dis, ut patet per 89 huius, & diameter ſphæræ, ut præmiſſum eſt: patet ex 14 p 1, quoniam illę duæ li-
neæ coniunctæ, ſunt linea una. Diametrum ergo ſphærę & axem pyramidis coniuncta eſſe lineam
unam neceſſe eſt. Et hoc eſt quod proponebatur.
midi: tunc per 68 huius patet propoſitum. Quia enim circulus (qui eſt baſis pyramidis) æquidiſtat
circulo magno ſphæræ, & ij circuli æquidiſtãtes ſunt ambo in ſuperficie ſphærę: erit diameter ſphæ
ræ centrũ circuli baſis pyramidis orthogonaliter tranſiens: tranſit enim orthogonaliter centra am-
borum illorum circulorum. Et quoniam à termino alicuius lineæ ductæ à centro communis circuli
ad circumferentiam, exeunt duæ lineæ orthogonaliter ſuper ipſam inſiſtentes, ſcilicet axis pyrami-
dis, ut patet per 89 huius, & diameter ſphæræ, ut præmiſſum eſt: patet ex 14 p 1, quoniam illę duæ li-
neæ coniunctæ, ſunt linea una. Diametrum ergo ſphærę & axem pyramidis coniuncta eſſe lineam
unam neceſſe eſt. Et hoc eſt quod proponebatur.
112. Omnium linearum perpendicularium ſuper peripheriam oxygoniæ ſectionis product a
rum trans eius ſuperficiem, unιca eſt perpendicularis ſuper ſecti corporis axem: & ipſa eſt mini-
ma diametrorum ſectionis.
rum trans eius ſuperficiem, unιca eſt perpendicularis ſuper ſecti corporis axem: & ipſa eſt mini-
ma diametrorum ſectionis.
Sicut enim patet per 104 huius, communis ſectio ſuperficiei ipſius ſectionis oxygoniæ & circuli
ſecundum idem punctum axem ſecantium, eſt linea orthogonalis ſuper axem ſecti corporis: in alijs
ſecundum idem punctum axem ſecantium, eſt linea orthogonalis ſuper axem ſecti corporis: in alijs