34644VITELLONIS OPTICAE
per ſuperficiem erectæ.
Ducatur quoq;
à puncto z in ipſa ſuperficie ſectionis per 11 p 1 perpendicu-
laris ſuper lineam t q, quæ ſit linea z h. Cum itaq; linea k z ſit extra ſuperficiem ſectionis cõcurrens
cum linea h z in puncto z: palàm, quòd ipſa ſecabit lineam h z, nec erit una linea cum illa per 1 p 11.
Sunt itaq; lineæ k z & h z in una ſuperficie per 2 p 11. Superficies ergo k z h ſecat ſuperficiem ſectio-
nis ſuper lineam eis ambabus communem, quæ eſt h z, per 19 huius: & ſecat lineam t q in puncto
z: & ſuperficies h z k ſecat ſuperficiem d z h ſuper lineam communem ambabus illis ſuperficiebus,
quæ eſt linea h z p. Verùm linea d z eſt in ſuperficie ſectionis, ut ſuprà patuit, & ſecatur à linea k z in
puncto z: & punctus t eſt ſupra ſuperficiẽ k z h, & punctus q infra illam: & ita ſuperficies k z h ſecat
ſuperficiem d z q ſuper lineam communem, quæ eſt perpendicularis ſuper lineam t q: & eſt linea z
h: quia linea illa eſt in ſuperficie h z k, & ſuper eam eſt perpendicularis linea t q, ut patet ex præmiſ-
ſis. Et quoniam ſuperficies h z k ſecat ſuperficiem d z q, & declinatio ſuperficiei h z k à ſuperficie ſe-
ctionis, cuius pars eſt ſuperficies d z q, fit ex parte ſemidiametri z c: erit linea, quæ eſt cõmunis ſe-
ctio illarum ſuperficierum (& eſt linea h z p) cadens inter lineas q z & d z. Et ita linea z h, quæ eſt à
puncto z ducta perpendiculariter ſuper lineam ſectionem oxygoniam e f z in illo puncto contin-
gentem, concurret cum perpendiculari e d ſub axe a c k. Quoniam perpendicularis e d ſecat axem
pyramidis, quæ eſt a c k in puncto d. Quòd autem concurrant, patet per 14 huius. Producatur enim
linea h z ultra punctum z intra ſectionem in punctum p. Quia ergo angulus z d e eſt acutus, & an-
gulus d z p acutus: palàm, quoniam concurrent lineæ z h & e d ſub puucto d: & ſit concurſus pun-
ctum p. Patet ergo propoſitum.
laris ſuper lineam t q, quæ ſit linea z h. Cum itaq; linea k z ſit extra ſuperficiem ſectionis cõcurrens
cum linea h z in puncto z: palàm, quòd ipſa ſecabit lineam h z, nec erit una linea cum illa per 1 p 11.
Sunt itaq; lineæ k z & h z in una ſuperficie per 2 p 11. Superficies ergo k z h ſecat ſuperficiem ſectio-
nis ſuper lineam eis ambabus communem, quæ eſt h z, per 19 huius: & ſecat lineam t q in puncto
z: & ſuperficies h z k ſecat ſuperficiem d z h ſuper lineam communem ambabus illis ſuperficiebus,
quæ eſt linea h z p. Verùm linea d z eſt in ſuperficie ſectionis, ut ſuprà patuit, & ſecatur à linea k z in
puncto z: & punctus t eſt ſupra ſuperficiẽ k z h, & punctus q infra illam: & ita ſuperficies k z h ſecat
ſuperficiem d z q ſuper lineam communem, quæ eſt perpendicularis ſuper lineam t q: & eſt linea z
h: quia linea illa eſt in ſuperficie h z k, & ſuper eam eſt perpendicularis linea t q, ut patet ex præmiſ-
ſis. Et quoniam ſuperficies h z k ſecat ſuperficiem d z q, & declinatio ſuperficiei h z k à ſuperficie ſe-
ctionis, cuius pars eſt ſuperficies d z q, fit ex parte ſemidiametri z c: erit linea, quæ eſt cõmunis ſe-
ctio illarum ſuperficierum (& eſt linea h z p) cadens inter lineas q z & d z. Et ita linea z h, quæ eſt à
puncto z ducta perpendiculariter ſuper lineam ſectionem oxygoniam e f z in illo puncto contin-
gentem, concurret cum perpendiculari e d ſub axe a c k. Quoniam perpendicularis e d ſecat axem
pyramidis, quæ eſt a c k in puncto d. Quòd autem concurrant, patet per 14 huius. Producatur enim
linea h z ultra punctum z intra ſectionem in punctum p. Quia ergo angulus z d e eſt acutus, & an-
gulus d z p acutus: palàm, quoniam concurrent lineæ z h & e d ſub puucto d: & ſit concurſus pun-
ctum p. Patet ergo propoſitum.
114. Ab altero duorum punctorum in ſectione columnari ſignatorum ducta perpẽdiculari
ſuper axem columnæ in ipſa ſuperficie ſectionis, & à reliquo puncto ducta linea acutum angu-
lum cum illa perpendiculari ſuper axem columnæ continente: ſi ab eodem puncto reliquo duca-
tur perpendicularis ſuper ipſam ſectionem: hæc concurret cum priori perpendiculari ſub axe,
& ſub puncto concurſus prioris lineæ cum perpendiculari. Alhazen 24 n 6.
ſuper axem columnæ in ipſa ſuperficie ſectionis, & à reliquo puncto ducta linea acutum angu-
lum cum illa perpendiculari ſuper axem columnæ continente: ſi ab eodem puncto reliquo duca-
tur perpendicularis ſuper ipſam ſectionem: hæc concurret cum priori perpendiculari ſub axe,
& ſub puncto concurſus prioris lineæ cum perpendiculari. Alhazen 24 n 6.
Sit ſectio columnaris, quæ a b c e:
in qua ſignati ſint duo puncti, qui ſint b & e:
ſitq́;
columnæ, in
cuius ſuperficie cadit illa ſectio, axis linea h d k: & ab altero ſignatorum punctorum, ut à puncto b,
ducatur in ipſa ſuperficie ſectionis linea b d, perpendiculariter ſuper axem incidens puncto d: &
ducatur item in ſuperficie ſectionis à reliquo datorum punctorum, quod eſt e, linea e d acutum an-
gulum continens cũ perpendiculari d b, qui ſit e d b: ſitq́; linea cõtingens ſectionẽ in puncto e, quæ
ſit exempli cauſſa, linea l e q. Dico, quòd perpendicularis à puncto e ducta ſuper lineam l e q, con-
curret cum perpendiculari b d ſub axe h k, & ſub puncto d, qui eſt punctus cõcurſus lineæ e d cum
perpendiculari b d. Fiat enim per 102 huius ſuper punctũ ſectionis, quod eſt b, circulus ęquidiſtans
baſibus columnæ, qui ſit b t o, cuius centrũ ſit d: & ducatur à puncto e linea longitudinis columnæ
per 101 huius, quæ ſit e t: & à puncto d per 11 p 1 ducatur linea d g perpendicularis ſuper lineam b d
in ipſa circuli ſuperficie. Palàm ergo, quòd ſuperficies h d g cum per axem tranſeat (qui erectus eſt
ſuper circuli ſuperficiem) perpendicularis eſt ſuper eandem circuli ſuperficiem per 18 p 11. Super-
366[Figure 366]n q e t o l g f m d K d h c a s u p z b ficies uerò contingens columnam in puncto
b, erit æquidiſtãs ſuperficiei b d g. Ideo enim,
quia linea lõgitudinis columnæ ducta à pun-
cto b eſt æquidiſtãs axi h k per 92 huius, & 28
p 1, & linea circulum b t o contingens ſuper
punctũ b, eſt æquidiſtans lineæ d g per 28 p 1:
angulus enim g d b eſt rectus ex pręmiſsis, &
angulus contentus ſub linea d b, & ſub linea
contingente in puncto b eſt rectus per 18 p 3.
Ergo illæ ſuperficies æquidiſtant per 15 p 11.
Igitur ſuperficies, in qua ſunt lineæ l e & et
non eſt æquidiſtans ſuperficiei b d g per 24
huius: quoniam ſuperficies contingẽs ſectionem oxygoniam in puncto b, non eſt æquidiſtans ſu-
perficiei contingenti eandem ſectionem in puncto e, in qua ſunt lineæ, l e q contingens ſectionem,
& linea longitudinis, quæ eſt e t: angulus enim e d b eſt acutus ex hypotheſi. Superficies ergo b d g
non æquidiſtat ſuperficiei l e t. Ergo concurret cum illa. Concurrat ergo in linea l g per 3 p 11: & du-
catur linea g t: quæ neceſſariò erit contingens circulum b t o, cuius ſuperficies, in qua ipſa ducitur,
columnam fit contingens. Ducta autem linea t d, erit angulus g t d rectus per 18 p 3: quoniam linea
t d eſt ſemidiameter circuli, & linea g t contingit circulum in puncto t. Fiat quoq; , ut prius, ſuper e
punctum ſectionis circulus æquidiſtans baſibus columnæ, qui ſit e s z p, & cẽtrum huius circuli ſit
punctus axis, qui k: & ducatur linea k e: & ducatur etiam linea d l: quæ quidem ſecabit ſuperficiem
e s p: ſecet ergo illã in puncto f. Quia itaq; punctũ d eſt in ſuperficie ſectionis, ut patet ex præmiſsis
& exhypotheſi, & punctũ l, quod eſt punctũ lineæ contingẽtis ſectionem, eſt in eadẽ ſuperficie ſe-
ctionis: ergo per 1 p 11 tota linea d l eſt in ſuperficie ſectionis. Punctũ ergo f eſt in ſuperficie ſectionis
& circuli e s z p: ſed & punctum e eſt in eiſdem ambabus ſuperficiebus: ergo per 1 p 11 linea e f pro-
ducta erit in ambabus illis ſuperficiebus. Ergo per 19 huius ſecundum lineam e f ſecantſe ſuper-
ficies ſectionis & circuli e s z p. Ducatur itaq; linea k f: & à puncto f ducatur linea perpendicularis
cuius ſuperficie cadit illa ſectio, axis linea h d k: & ab altero ſignatorum punctorum, ut à puncto b,
ducatur in ipſa ſuperficie ſectionis linea b d, perpendiculariter ſuper axem incidens puncto d: &
ducatur item in ſuperficie ſectionis à reliquo datorum punctorum, quod eſt e, linea e d acutum an-
gulum continens cũ perpendiculari d b, qui ſit e d b: ſitq́; linea cõtingens ſectionẽ in puncto e, quæ
ſit exempli cauſſa, linea l e q. Dico, quòd perpendicularis à puncto e ducta ſuper lineam l e q, con-
curret cum perpendiculari b d ſub axe h k, & ſub puncto d, qui eſt punctus cõcurſus lineæ e d cum
perpendiculari b d. Fiat enim per 102 huius ſuper punctũ ſectionis, quod eſt b, circulus ęquidiſtans
baſibus columnæ, qui ſit b t o, cuius centrũ ſit d: & ducatur à puncto e linea longitudinis columnæ
per 101 huius, quæ ſit e t: & à puncto d per 11 p 1 ducatur linea d g perpendicularis ſuper lineam b d
in ipſa circuli ſuperficie. Palàm ergo, quòd ſuperficies h d g cum per axem tranſeat (qui erectus eſt
ſuper circuli ſuperficiem) perpendicularis eſt ſuper eandem circuli ſuperficiem per 18 p 11. Super-
366[Figure 366]n q e t o l g f m d K d h c a s u p z b ficies uerò contingens columnam in puncto
b, erit æquidiſtãs ſuperficiei b d g. Ideo enim,
quia linea lõgitudinis columnæ ducta à pun-
cto b eſt æquidiſtãs axi h k per 92 huius, & 28
p 1, & linea circulum b t o contingens ſuper
punctũ b, eſt æquidiſtans lineæ d g per 28 p 1:
angulus enim g d b eſt rectus ex pręmiſsis, &
angulus contentus ſub linea d b, & ſub linea
contingente in puncto b eſt rectus per 18 p 3.
Ergo illæ ſuperficies æquidiſtant per 15 p 11.
Igitur ſuperficies, in qua ſunt lineæ l e & et
non eſt æquidiſtans ſuperficiei b d g per 24
huius: quoniam ſuperficies contingẽs ſectionem oxygoniam in puncto b, non eſt æquidiſtans ſu-
perficiei contingenti eandem ſectionem in puncto e, in qua ſunt lineæ, l e q contingens ſectionem,
& linea longitudinis, quæ eſt e t: angulus enim e d b eſt acutus ex hypotheſi. Superficies ergo b d g
non æquidiſtat ſuperficiei l e t. Ergo concurret cum illa. Concurrat ergo in linea l g per 3 p 11: & du-
catur linea g t: quæ neceſſariò erit contingens circulum b t o, cuius ſuperficies, in qua ipſa ducitur,
columnam fit contingens. Ducta autem linea t d, erit angulus g t d rectus per 18 p 3: quoniam linea
t d eſt ſemidiameter circuli, & linea g t contingit circulum in puncto t. Fiat quoq; , ut prius, ſuper e
punctum ſectionis circulus æquidiſtans baſibus columnæ, qui ſit e s z p, & cẽtrum huius circuli ſit
punctus axis, qui k: & ducatur linea k e: & ducatur etiam linea d l: quæ quidem ſecabit ſuperficiem
e s p: ſecet ergo illã in puncto f. Quia itaq; punctũ d eſt in ſuperficie ſectionis, ut patet ex præmiſsis
& exhypotheſi, & punctũ l, quod eſt punctũ lineæ contingẽtis ſectionem, eſt in eadẽ ſuperficie ſe-
ctionis: ergo per 1 p 11 tota linea d l eſt in ſuperficie ſectionis. Punctũ ergo f eſt in ſuperficie ſectionis
& circuli e s z p: ſed & punctum e eſt in eiſdem ambabus ſuperficiebus: ergo per 1 p 11 linea e f pro-
ducta erit in ambabus illis ſuperficiebus. Ergo per 19 huius ſecundum lineam e f ſecantſe ſuper-
ficies ſectionis & circuli e s z p. Ducatur itaq; linea k f: & à puncto f ducatur linea perpendicularis
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib