34745LIBER PRIMVS.
ſuper ſuperficiem circuli b t o per 11 p 11, quæ ſit f m:
cadetq́;
punctus m in linea d g, ut patet ex præ-
miſsis: & ducatur linea t m. Palàm ergo, quoniam linea k d æqualis & æquidiſtans eſt lineæ f m per
25 huius. Sunt enim lineæ k d & f m ambæ perpendiculares ſuper ſuperficiem circuli b t o & ſuper
ſuperficiem circuli e s z p: quoniam illi circuli æquidiſtant per 24 huius: utraq; enim ipſarum æqui-
diſtat ambabus baſibus columnæ per 100 huius. Quia itaq; linea f m eſt æqualis & æquidiſtans li-
neæ d k, quæ eſt pars axis: ergo per 33 p 1 linea k f æqualis & æquidiſtans eſt lineæ d m. Et ſimiliter
erit linea f m æqualis & æquidiſtans lineæ longitudinis, quæ eſt e t per 30 p 1: quoniam linea e t eſt
æqualis & æquidiſtans axi k d per 92 huius, cũ ſit linea longitudinis: & erit, ut prius, linea k e æqua-
lis & æquidiſtans lineæ d t, & linea e f æqualis & æquidiſtans lineæ t m per eandem 33 p 1. Verùm
etiam ſuperficies k d l (quia tranſit axem columnę, & angulus g d b eſt rectus) eſt orthogonalis ſu-
per ſuperficiem ſectionis oxygoniæ a e c b, per definitionem ſuperficiei erectę ſuper ſuperficiem: &
eadem ſuperficies k d l eſt orthogonalis ſuper ſuperficiem circuli e s p. Quoniam enim illa ſuperfi-
cies k d l trãſiens per axem, per 18 p 11 erecta eſt ſuper baſes columnæ: ergo & ſuper ſuperficiem cir-
culi e s p æqui diſtantem baſibus columnæ, erecta eſt eadem ſuperficies k d l. Quia itaq; dicta ſuper-
ficies k d l eſt erecta ſuper ſuperficiem ſectionis oxygoniæ & circuli e s p: ergo per 19 p 11 eſt ipſa or-
thogonalis ſuper lineam communem dictæ ſectioni & circulo, quæ eſt linea e f. Et quia linea e f eſt
erecta ſuper ſuperficiem k d l, in qua ducta eſt linea k f: igitur per definitionem lineæ ſuper ſuperfi-
ciem erectæ, angulus e f k eſt rectus: ergo angulus t m d eſt rectus per 10 p 11: latera enim illos angu-
los continẽtia in æquidiſtantibus circulorum ſuperficiebus protracta, æqualia ſunt & æquidiſtan-
tia, ut patet ex præmiſsis. Cum ergo angulus d m t ſit rectus, & angulus g d t ſit rectus per 18 p 3: in
trigono ergo orthogonio d t g ducta eſt ab angulo ad baſim perpendicularis, quæ t m: ergo per 8 &
17 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ d m in lineam g m eſt æquale quadrato lineæ m t. Et quoniam
linea g t contingit circulum b t o, cum ſit in ſuperficie contingente ducta ad punctum contingẽtiæ,
quod eſt t: palàm, quoniam linea l g eſt æquidiſtans axi k d. Quoniam enim ſuperficies ſecũdum li-
neam longitudinis columnam contingẽs, quæ eſt l e t g, & ſuperficies ſecans columnã trans axem,
quæ eſt h d g l, ſunt erectæ ſuper baſium columnæ ſuperficies per 92 huius, & per 18 p 11. Ergo per 19
p 11 earum communis ſectio, quæ eſt in propoſito, linea l g, ſuper eaſdem ſuperficies baſium perpen
dicularis erit. Aequidiſtabit ergo axi h k per 6 p 11: ergo etiam æquidiſtat lineæ f m per 30 p 1. Quia
ergo in trigono l d g linea f m æquidiſtat baſi l g, patet per 2 p 6, quòd linea f m ſecat illa latera pro-
portionaliter: eſt ergo proportio lineæ d f a d lineam f l, ſicut lineæ d m ad lineam m g: ergo permu-
tatim per 16 p 5 erit proportio lineæ d f ad lineã d m, ſicut lineæ f l ad lineam m g: ſed linea d f maior
eſt quàm linea d m per 19 p 1, quoniam in trigono f d m angulus f d m eſt rectus per 8 p 11: ergo & li-
nea f l eſt maior quàm linea m g. Ergo illud, quod fit ex ductu lineæ f d in lineam f l, maius eſt illo,
quod fit ex ductu lineæ d m in lineã m g. Ergo & quadrato lineæ t m: ſed linea t m eſt æqualis lineæ
e f, ut patet ex præmiſsis. Ergo illud, quod fit ex ductu lineæ d f in lineam f l maius eſt quadrato li-
neæ e f. Eſt ergo in trigono d e l angulus l e d maior recto per 30 huius: quia ſi eſſet rectus, cum linea
e f ſit perpendicularis ſuper lineã d l: eſſet per 8 & 17 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ d f in lineam f
l æquale quadrato lineæ e f. Reſtat ergo ut linea perpendicularis ſuper lineam contingẽtem ſectio-
nem a e c b (quæ eſt q l, ducta à puncto e) cadat ſub linea e d, nõ perueniens in punctum d. Sit ergo
illa perpendicularis linea e u. Et quia angulus e d b eſt acutus, & angulus d e u eſt acutus: quoniam
angulus u e q eſt rectus. Ergo per 14 huius lineæ e u & d b productæ concurrent in puncto aliquo
ſub axe h k, & ſub concurſu lineæ e d cum linea d b: quod eſt euidens. Patet ergo propoſitum: per-
pendicularis enim ſuper lineam ſectionem contingentem, eſt perpendicularis ſuper ipſam ſectio-
nem columnarem per 5 definitionẽ factam in principio huius libri.
367[Figure 367]e b h a f c l m k d gmiſsis: & ducatur linea t m. Palàm ergo, quoniam linea k d æqualis & æquidiſtans eſt lineæ f m per
25 huius. Sunt enim lineæ k d & f m ambæ perpendiculares ſuper ſuperficiem circuli b t o & ſuper
ſuperficiem circuli e s z p: quoniam illi circuli æquidiſtant per 24 huius: utraq; enim ipſarum æqui-
diſtat ambabus baſibus columnæ per 100 huius. Quia itaq; linea f m eſt æqualis & æquidiſtans li-
neæ d k, quæ eſt pars axis: ergo per 33 p 1 linea k f æqualis & æquidiſtans eſt lineæ d m. Et ſimiliter
erit linea f m æqualis & æquidiſtans lineæ longitudinis, quæ eſt e t per 30 p 1: quoniam linea e t eſt
æqualis & æquidiſtans axi k d per 92 huius, cũ ſit linea longitudinis: & erit, ut prius, linea k e æqua-
lis & æquidiſtans lineæ d t, & linea e f æqualis & æquidiſtans lineæ t m per eandem 33 p 1. Verùm
etiam ſuperficies k d l (quia tranſit axem columnę, & angulus g d b eſt rectus) eſt orthogonalis ſu-
per ſuperficiem ſectionis oxygoniæ a e c b, per definitionem ſuperficiei erectę ſuper ſuperficiem: &
eadem ſuperficies k d l eſt orthogonalis ſuper ſuperficiem circuli e s p. Quoniam enim illa ſuperfi-
cies k d l trãſiens per axem, per 18 p 11 erecta eſt ſuper baſes columnæ: ergo & ſuper ſuperficiem cir-
culi e s p æqui diſtantem baſibus columnæ, erecta eſt eadem ſuperficies k d l. Quia itaq; dicta ſuper-
ficies k d l eſt erecta ſuper ſuperficiem ſectionis oxygoniæ & circuli e s p: ergo per 19 p 11 eſt ipſa or-
thogonalis ſuper lineam communem dictæ ſectioni & circulo, quæ eſt linea e f. Et quia linea e f eſt
erecta ſuper ſuperficiem k d l, in qua ducta eſt linea k f: igitur per definitionem lineæ ſuper ſuperfi-
ciem erectæ, angulus e f k eſt rectus: ergo angulus t m d eſt rectus per 10 p 11: latera enim illos angu-
los continẽtia in æquidiſtantibus circulorum ſuperficiebus protracta, æqualia ſunt & æquidiſtan-
tia, ut patet ex præmiſsis. Cum ergo angulus d m t ſit rectus, & angulus g d t ſit rectus per 18 p 3: in
trigono ergo orthogonio d t g ducta eſt ab angulo ad baſim perpendicularis, quæ t m: ergo per 8 &
17 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ d m in lineam g m eſt æquale quadrato lineæ m t. Et quoniam
linea g t contingit circulum b t o, cum ſit in ſuperficie contingente ducta ad punctum contingẽtiæ,
quod eſt t: palàm, quoniam linea l g eſt æquidiſtans axi k d. Quoniam enim ſuperficies ſecũdum li-
neam longitudinis columnam contingẽs, quæ eſt l e t g, & ſuperficies ſecans columnã trans axem,
quæ eſt h d g l, ſunt erectæ ſuper baſium columnæ ſuperficies per 92 huius, & per 18 p 11. Ergo per 19
p 11 earum communis ſectio, quæ eſt in propoſito, linea l g, ſuper eaſdem ſuperficies baſium perpen
dicularis erit. Aequidiſtabit ergo axi h k per 6 p 11: ergo etiam æquidiſtat lineæ f m per 30 p 1. Quia
ergo in trigono l d g linea f m æquidiſtat baſi l g, patet per 2 p 6, quòd linea f m ſecat illa latera pro-
portionaliter: eſt ergo proportio lineæ d f a d lineam f l, ſicut lineæ d m ad lineam m g: ergo permu-
tatim per 16 p 5 erit proportio lineæ d f ad lineã d m, ſicut lineæ f l ad lineam m g: ſed linea d f maior
eſt quàm linea d m per 19 p 1, quoniam in trigono f d m angulus f d m eſt rectus per 8 p 11: ergo & li-
nea f l eſt maior quàm linea m g. Ergo illud, quod fit ex ductu lineæ f d in lineam f l, maius eſt illo,
quod fit ex ductu lineæ d m in lineã m g. Ergo & quadrato lineæ t m: ſed linea t m eſt æqualis lineæ
e f, ut patet ex præmiſsis. Ergo illud, quod fit ex ductu lineæ d f in lineam f l maius eſt quadrato li-
neæ e f. Eſt ergo in trigono d e l angulus l e d maior recto per 30 huius: quia ſi eſſet rectus, cum linea
e f ſit perpendicularis ſuper lineã d l: eſſet per 8 & 17 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ d f in lineam f
l æquale quadrato lineæ e f. Reſtat ergo ut linea perpendicularis ſuper lineam contingẽtem ſectio-
nem a e c b (quæ eſt q l, ducta à puncto e) cadat ſub linea e d, nõ perueniens in punctum d. Sit ergo
illa perpendicularis linea e u. Et quia angulus e d b eſt acutus, & angulus d e u eſt acutus: quoniam
angulus u e q eſt rectus. Ergo per 14 huius lineæ e u & d b productæ concurrent in puncto aliquo
ſub axe h k, & ſub concurſu lineæ e d cum linea d b: quod eſt euidens. Patet ergo propoſitum: per-
pendicularis enim ſuper lineam ſectionem contingentem, eſt perpendicularis ſuper ipſam ſectio-
nem columnarem per 5 definitionẽ factam in principio huius libri.
115. Omnis recta perpẽdicularis ſuper oxygoniam ſectionem,
productataliter diuidet ſectionem, ut in unaqua illarum par-
tium unic{us} tantùm ſit punct{us}, à quo ducta contingens æquidi-
ſtet ipſi perpendiculari.
productataliter diuidet ſectionem, ut in unaqua illarum par-
tium unic{us} tantùm ſit punct{us}, à quo ducta contingens æquidi-
ſtet ipſi perpendiculari.
Eſto ſectio oxygonia, quę a b c d:
quã perpẽdicularis e b d ſecet in
duas partes, quæ ſint b c d & b a d. Dico quòd in unaquaq; illarum
partium eſt unicus tantùm punctus, à quo ducta contingens æqui-
diſtat perpendiculari e b d. Quoniam enim perpẽdicularis e b d di-
uidit ſectionem, diuidatur eius pars b d cadens intra ſectionem per
æqualia per 10 p 1 in puncto f: & ab illo pũcto f erigatur per 11 p 1 per
pendicularis ſuper lineam b d: quę producta ad peripheriam ſectio-
nis in punctum c, ſit f c: & à puncto c ducatur perpendicularis ſuper
lineam f c, quæ ſit g c h: eritq́; linea g c h contingens ſectionem: quo-
niam ad utranq; partẽ producta non ſecabit illam. Palàm itaq; , quo-
niam linea g c n æquidiſtat perpendiculari ſuper ſectionem, quæ eſt
e b d per 28 p 1. Quòd ſi ab alio aliquo puncto partis ſectionis, quæ
b c d, ut à puncto k, producatur linea contingens ſectionem, quæ
ſit k l: patet, quoniam illa concurret cum linea g c h per 14 huíus:
quia ducta linea recta c k à puncto contactus c ad illum alium punctum k: fient anguli c k l & k c g
minores duobus rectis, ideo quòd angulus f c g eſt rectus, & linea k l cũ aliqua linea ſecante lineam
duas partes, quæ ſint b c d & b a d. Dico quòd in unaquaq; illarum
partium eſt unicus tantùm punctus, à quo ducta contingens æqui-
diſtat perpendiculari e b d. Quoniam enim perpẽdicularis e b d di-
uidit ſectionem, diuidatur eius pars b d cadens intra ſectionem per
æqualia per 10 p 1 in puncto f: & ab illo pũcto f erigatur per 11 p 1 per
pendicularis ſuper lineam b d: quę producta ad peripheriam ſectio-
nis in punctum c, ſit f c: & à puncto c ducatur perpendicularis ſuper
lineam f c, quæ ſit g c h: eritq́; linea g c h contingens ſectionem: quo-
niam ad utranq; partẽ producta non ſecabit illam. Palàm itaq; , quo-
niam linea g c n æquidiſtat perpendiculari ſuper ſectionem, quæ eſt
e b d per 28 p 1. Quòd ſi ab alio aliquo puncto partis ſectionis, quæ
b c d, ut à puncto k, producatur linea contingens ſectionem, quæ
ſit k l: patet, quoniam illa concurret cum linea g c h per 14 huíus:
quia ducta linea recta c k à puncto contactus c ad illum alium punctum k: fient anguli c k l & k c g
minores duobus rectis, ideo quòd angulus f c g eſt rectus, & linea k l cũ aliqua linea ſecante lineam
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib