34846VITELLONIS OPTICAE
b d, continet angulum rectum, ut fortè cum linea k m.
Quia itaq;
anguli c k l & k c g ſunt minores
duobus rectis: concurret linea k l cum perpendiculari h c g per 14 huius. Ergo per 2 huius illa linea
contingens, quę k l, concurret cum perpendiculari e b d. Similiter quoq; in parte ſectionis, quæ eſt
b a d, facta deductione, patet propoſitum.
duobus rectis: concurret linea k l cum perpendiculari h c g per 14 huius. Ergo per 2 huius illa linea
contingens, quę k l, concurret cum perpendiculari e b d. Similiter quoq; in parte ſectionis, quæ eſt
b a d, facta deductione, patet propoſitum.
116. Omnes oxygoniæ pyramidales ſectiones ampliantur exparte baſis pyramidis: quod nõ
accidit in columnis.
accidit in columnis.
Hoc quod proponitur, accidit propter corporis pyramidalis acuitatẽ, & propter columnarum
æqualitatem. Si enim ſecundum punctum axis pyramidis, cui incidit linea perpendicularis ſuper
ſectionem pyramidalem, circumducatur pyramidi circulus per 102 huius, & imaginetur columna,
cuius baſis ſit ille circulus: patet, quòd inferior pars pyramidis excedit illam columnam, & colu-
mna excedit ſuperiorem partem pyramidis: & ſic inferior pars ſectionis pyramidalis continebit
inferiorem partem ſectionis columnaris, & ſuperior pars ſectionis columnaris cõtinebit ſuperio-
rem ſectionis partem pyramidalis. Partes autem ſectionis columnaris ſunt æquales propter æqua-
litatem corporis & angulorum ſuper axem per 92 huius. Patet ergo propoſitum.
æqualitatem. Si enim ſecundum punctum axis pyramidis, cui incidit linea perpendicularis ſuper
ſectionem pyramidalem, circumducatur pyramidi circulus per 102 huius, & imaginetur columna,
cuius baſis ſit ille circulus: patet, quòd inferior pars pyramidis excedit illam columnam, & colu-
mna excedit ſuperiorem partem pyramidis: & ſic inferior pars ſectionis pyramidalis continebit
inferiorem partem ſectionis columnaris, & ſuperior pars ſectionis columnaris cõtinebit ſuperio-
rem ſectionis partem pyramidalis. Partes autem ſectionis columnaris ſunt æquales propter æqua-
litatem corporis & angulorum ſuper axem per 92 huius. Patet ergo propoſitum.
117. Omnis ſuperficiei planæ ſuper axem fixum reuolutæ, donec ad locũ, unde exiuit, redeat,
linea mota deſcribit ſuperficiem corporis ſibi ſimilem, cui{us} ſuperficiei corporis & ſuperficiei
planæ ipſum corp{us} per axem ſecantis, communis ſectio eſt linea ſimilis motæ lineæ illam ſuper-
ficiem cauſſanti.
linea mota deſcribit ſuperficiem corporis ſibi ſimilem, cui{us} ſuperficiei corporis & ſuperficiei
planæ ipſum corp{us} per axem ſecantis, communis ſectio eſt linea ſimilis motæ lineæ illam ſuper-
ficiem cauſſanti.
Quod hic proponitur, patet ſatis euidenter in lineis rectis motis:
quælibet enim illarum linea-
rum circa axem aliquem mota deſcribit ſuperficiem, cuius omnes lineæ ſunt ſimiles ipſi lineæ mo-
tæ cauſſanti motu ſuo illam ſuperficiem. Hoc enim patet in ſuperficie rectangula, quæ uno latere
fixo ſuo & alijs tribus motis deſcribit columnam rotundã, cuius ſuperficiei & ſuperficiei planę co-
lumnam per axem ſecantis, communis ſectio eſt linea ſimilis lineæ priori motæ. Et hoc idem patet
in triangulo moto, qui motu ſuorum duorum laterum, fixo tertio, efficit pyramidem rotundam: &,
ut patet per 90 huius, omnis ſuperficiei planæ ſecantis ipſam pyramidem per axem & ſuperficiei
conicæ pyramidis, communis ſectio eſt triangulus continens lineas ſimiles prioribus lineis motis
& axi. Hoc idem etiã in ſemicirculo moto, cuius diametro fixa deſcribitur ſphæra, & omnis ſuper-
ficiei planæ ſecantis ſphæram per axem, qui eſt diameter, & ſuperficiei ſphæricæ communis ſectio
eſt circulus, ut patent hæc omnia ex principijs lib. 11. Quòd ſi linea mota circa axem fixum (qui ſit
368[Figure 368]b d a c e f g369[Figure 369]a b c d e f fg) fuerit compoſi-
ta ex lineis rectis,
ut ex a b & b c & c d
& d e, continẽtibus
angulos a b c, b c d,
c d e: uel ſi linea mo
ta fuerit compoſita
ex lineis rectis &
curuis actu, ut ſi a b
& c d ſint rectę, qua
rũ media b c utrãq;
rectarum illarũ co-
pulans, ſit curua, fiatq́; motus circa axẽ fixum, qui e f, fiet adhuc ſuperficies corporis deſcripti ſimi-
les habẽs lineas ipſis lineis cauſſantibus illam rotundam ſuperficiem motu ſuo. Quòd ſi linea mo-
ta fuerit compoſita eſſentialiter ex natura linearum rectarũ & curuarum, ut ſunt multæ lineæ, quæ
370[Figure 370]a h b z d g fiunt per motũ, uerbi gratia, aliqua ſectio co-
nica, ut ſi ſectionis parabolæ medietas, quæ
mouetur, ſit a b g, cuius axis a d, & ſit linea g
d perpẽdicularis ſuper ipſum axem a d, figa-
turq́; axis a d, & reuoluatur ſectio a b g, do-
nec redeat ad locum, à quo exiuit: tũc fiet ex
motu illius lineæ ſuperficies cõcaua uel con-
uexa, cuius baſis erit circulus proueniens ex
motu lineæ rectæ, quæ eſt d g: ſitq́; ille circu-
lus g e z, & eius centrum eſt punctum d: quo-
niam punctum g motu ſuo illius circuli peri-
pheriam deſcribit, eritq́; uertex illius cauſſati
corporis pũctum a. Egrediatur quoq; ex axe
illius corporis, qui eſt a d, ſuperficies plana,
utcũq; id ſit poſsibile accidere, & ſecet illius corporis ſuperficiẽ. Palàm itaq; per 3 p 11, quoniã illius
ſuperficiei & ſuperficiei corporis cõmunis eſt linea, quę ſit a h e. Dico, quòd linea a h e eſt ſectio pa-
rabola ęqualis & ſimilis ſectioni a b g. Ducatur enim linea d e, & imaginetur moueri ſectio a b g cir-
ca axẽ a d. Cum ergo punctũ g քuenit ad punctũ e, cooperit tota ſuքficies a b g d totã ſuperficiẽ a h
e d, & fiẽt ſuքficies una. Et quoniã ſectio a b g d facit euenire ſuքficiẽ concauã uel cõuexam: palàm,
rum circa axem aliquem mota deſcribit ſuperficiem, cuius omnes lineæ ſunt ſimiles ipſi lineæ mo-
tæ cauſſanti motu ſuo illam ſuperficiem. Hoc enim patet in ſuperficie rectangula, quæ uno latere
fixo ſuo & alijs tribus motis deſcribit columnam rotundã, cuius ſuperficiei & ſuperficiei planę co-
lumnam per axem ſecantis, communis ſectio eſt linea ſimilis lineæ priori motæ. Et hoc idem patet
in triangulo moto, qui motu ſuorum duorum laterum, fixo tertio, efficit pyramidem rotundam: &,
ut patet per 90 huius, omnis ſuperficiei planæ ſecantis ipſam pyramidem per axem & ſuperficiei
conicæ pyramidis, communis ſectio eſt triangulus continens lineas ſimiles prioribus lineis motis
& axi. Hoc idem etiã in ſemicirculo moto, cuius diametro fixa deſcribitur ſphæra, & omnis ſuper-
ficiei planæ ſecantis ſphæram per axem, qui eſt diameter, & ſuperficiei ſphæricæ communis ſectio
eſt circulus, ut patent hæc omnia ex principijs lib. 11. Quòd ſi linea mota circa axem fixum (qui ſit
368[Figure 368]b d a c e f g369[Figure 369]a b c d e f fg) fuerit compoſi-
ta ex lineis rectis,
ut ex a b & b c & c d
& d e, continẽtibus
angulos a b c, b c d,
c d e: uel ſi linea mo
ta fuerit compoſita
ex lineis rectis &
curuis actu, ut ſi a b
& c d ſint rectę, qua
rũ media b c utrãq;
rectarum illarũ co-
pulans, ſit curua, fiatq́; motus circa axẽ fixum, qui e f, fiet adhuc ſuperficies corporis deſcripti ſimi-
les habẽs lineas ipſis lineis cauſſantibus illam rotundam ſuperficiem motu ſuo. Quòd ſi linea mo-
ta fuerit compoſita eſſentialiter ex natura linearum rectarũ & curuarum, ut ſunt multæ lineæ, quæ
370[Figure 370]a h b z d g fiunt per motũ, uerbi gratia, aliqua ſectio co-
nica, ut ſi ſectionis parabolæ medietas, quæ
mouetur, ſit a b g, cuius axis a d, & ſit linea g
d perpẽdicularis ſuper ipſum axem a d, figa-
turq́; axis a d, & reuoluatur ſectio a b g, do-
nec redeat ad locum, à quo exiuit: tũc fiet ex
motu illius lineæ ſuperficies cõcaua uel con-
uexa, cuius baſis erit circulus proueniens ex
motu lineæ rectæ, quæ eſt d g: ſitq́; ille circu-
lus g e z, & eius centrum eſt punctum d: quo-
niam punctum g motu ſuo illius circuli peri-
pheriam deſcribit, eritq́; uertex illius cauſſati
corporis pũctum a. Egrediatur quoq; ex axe
illius corporis, qui eſt a d, ſuperficies plana,
utcũq; id ſit poſsibile accidere, & ſecet illius corporis ſuperficiẽ. Palàm itaq; per 3 p 11, quoniã illius
ſuperficiei & ſuperficiei corporis cõmunis eſt linea, quę ſit a h e. Dico, quòd linea a h e eſt ſectio pa-
rabola ęqualis & ſimilis ſectioni a b g. Ducatur enim linea d e, & imaginetur moueri ſectio a b g cir-
ca axẽ a d. Cum ergo punctũ g քuenit ad punctũ e, cooperit tota ſuքficies a b g d totã ſuperficiẽ a h
e d, & fiẽt ſuքficies una. Et quoniã ſectio a b g d facit euenire ſuքficiẽ concauã uel cõuexam: palàm,