34947LIBER PRIMVS.
quoniam linea a b g d ſemper, ubicunq;
reuoluatur ſectio, eſt cõmunis differẽtia inter ſuperficiem
ſibi continuam & inter ſuperficiem planam ſecantem. Cum itaq; ſuperponitur ſectio a b g d ſectio-
ni a h e d, erit communis ſectio inter ſuperficiem ſecantem & ſuperficiem corporis linea a b g d: ſed
& eadem cõmunis ſectio eſt linea a h e d. Linea ergo a b g d & linea a h e d ſibi adinuicem ſuperpo-
ſitæ ſunt linea una. Linea ergo a h e eſt peripheria ſectionis parabolæ æqualis & ſimilis lineæ a b g.
Superficies ergo a h e d eſt ſectio parabola. Et idẽ patet in omnibus lineis illius corporis, quę ſunt
communes ſectiones ſuperficiei planæ ſecãtis corpus per axem a d, & omnis ſuperficiei illius cor-
poris. Patet ergo propoſitum in illis ſectionibus conicis quibuſcunq; Patet etiam eodẽ modo pro-
poſitum de quacunq; linea regulari uel irregulari. Et hoc eſt propoſitum principale.
ſibi continuam & inter ſuperficiem planam ſecantem. Cum itaq; ſuperponitur ſectio a b g d ſectio-
ni a h e d, erit communis ſectio inter ſuperficiem ſecantem & ſuperficiem corporis linea a b g d: ſed
& eadem cõmunis ſectio eſt linea a h e d. Linea ergo a b g d & linea a h e d ſibi adinuicem ſuperpo-
ſitæ ſunt linea una. Linea ergo a h e eſt peripheria ſectionis parabolæ æqualis & ſimilis lineæ a b g.
Superficies ergo a h e d eſt ſectio parabola. Et idẽ patet in omnibus lineis illius corporis, quę ſunt
communes ſectiones ſuperficiei planæ ſecãtis corpus per axem a d, & omnis ſuperficiei illius cor-
poris. Patet ergo propoſitum in illis ſectionibus conicis quibuſcunq; Patet etiam eodẽ modo pro-
poſitum de quacunq; linea regulari uel irregulari. Et hoc eſt propoſitum principale.
118. Omnis ſuperficies conuexa uel concaua regularis, aut eſt pars ſuperficiei ſphæræ: aut co-
lumnæ: aut pyramidis rotundæ.
lumnæ: aut pyramidis rotundæ.
Omnis enim linea regularis, quę uniformis eſt in qualibet ſui parte, aut eſt circulus:
aut linea re-
cta. Circulus uerò motu ſuo facit ſphæram: quoniam ſphæra eſt tranſitus circumferentiæ dimidij
circuli, ut patet ex principio 11. Linea uerò recta una motu ſuo non poteſt cauſſare niſi pyramidem,
cum eſt latus trigoni, uel columnam, cum eſt latus quadranguli: quoniam in omnibus alijs figuris
motis, uno latere remanente fixo, eſt angulus cauſſans diuerſitatem formæ in ſuperficie figuræ pro
ductæ. Non ergo efficit conuexam ſuperficiem uel concauam regularem. Patet ergo, quòd omnis
ſuperficies conuexa uel concaua regularis eſt talis, ut proponitur.
cta. Circulus uerò motu ſuo facit ſphæram: quoniam ſphæra eſt tranſitus circumferentiæ dimidij
circuli, ut patet ex principio 11. Linea uerò recta una motu ſuo non poteſt cauſſare niſi pyramidem,
cum eſt latus trigoni, uel columnam, cum eſt latus quadranguli: quoniam in omnibus alijs figuris
motis, uno latere remanente fixo, eſt angulus cauſſans diuerſitatem formæ in ſuperficie figuræ pro
ductæ. Non ergo efficit conuexam ſuperficiem uel concauam regularem. Patet ergo, quòd omnis
ſuperficies conuexa uel concaua regularis eſt talis, ut proponitur.
119. Lineã datam ſecundũ quamlibet proportionẽ duarum datarũ diuidere. 10 p 6 element.
371[Figure 371]c d e f a g k h b
Sit linea a b data, quæ debeat diuidi ſecundũ proportionem dua-
rum datarum linearum c d & e f. A puncto itaq; a datæ lineæ a b du-
catur linea indefinitè angulariter coniuncta cum linea a b: & à pun-
cto a incipiendo abſcindatur æqualis lineæ c d per 3 p 1, quę ſit a g, &
à puncto g incipiendo abſcindatur linea g h æqualis lineæ e f: & du-
catur linea b h: & à puncto g ducatur linea æquidiſtanter lineæ b h
per 31 p 1: hęc itaq; producta ſecabit lineam a b per 2 huius: ſecet ergo
in puncto k. Linea itaq; a b indiuiſa propoſita erit diuiſa ſecundum
modũ diuiſionis lineæ a h diuiſæ: erit enim per 2 p 6 proportio lineæ
a k ad lineam k b, ſicut lineæ a g ad lineam g h. Ergo ſicut lineæ c d ad
lineam e f per 7 p 5. Et hoc eſt propoſitum.
rum datarum linearum c d & e f. A puncto itaq; a datæ lineæ a b du-
catur linea indefinitè angulariter coniuncta cum linea a b: & à pun-
cto a incipiendo abſcindatur æqualis lineæ c d per 3 p 1, quę ſit a g, &
à puncto g incipiendo abſcindatur linea g h æqualis lineæ e f: & du-
catur linea b h: & à puncto g ducatur linea æquidiſtanter lineæ b h
per 31 p 1: hęc itaq; producta ſecabit lineam a b per 2 huius: ſecet ergo
in puncto k. Linea itaq; a b indiuiſa propoſita erit diuiſa ſecundum
modũ diuiſionis lineæ a h diuiſæ: erit enim per 2 p 6 proportio lineæ
a k ad lineam k b, ſicut lineæ a g ad lineam g h. Ergo ſicut lineæ c d ad
lineam e f per 7 p 5. Et hoc eſt propoſitum.
120. Ducta à puncto dato linea, aliam lineam ſecũdum datam
proportionem partium illarum linearum ſecãte: ab eodem puncto
inter eaſdem rectas, quæ pri{us} diuiſam ab eiſdem terminis ſerua-
ta denominatione proportionis, ſecundum eandem proportionem
ſecet, aliam lineam duci eſt impoßibile.
proportionem partium illarum linearum ſecãte: ab eodem puncto
inter eaſdem rectas, quæ pri{us} diuiſam ab eiſdem terminis ſerua-
ta denominatione proportionis, ſecundum eandem proportionem
ſecet, aliam lineam duci eſt impoßibile.
Verbi gratia:
ſit, ut linea a b ducta à dato puncto a, ſecet lineam d e
in puncto c ſecundum aliquam datam proportionem. Dico, quòd à
puncto a non poteſt duci alia linea ad lineam d c, quę ipſam ſecet ſe-
cundum eandem datam proportionem, ita, ut denominatio proportionis, ſeruetur ab eiſdem ter-
minis lineæ d e. Si enim à puncto a lineam aliam duci taliter ſit poſsibile, fiat ſuper punctum d ter-
minum lineæ e d per 23 p 1 angulus maior recto uerſus punctum b terminum lineæ a b: & produca-
tur linea b d, fiatq́; angulus c d b obtuſus: & producatur linea d b in continuum uerſus punctum at
372[Figure 372]e a c k h b i g d f& à puncto a ducatur linea perpendicularis ſuper li-
neam d b, quæ ſit a f: & ducatur linea a g ſecans lineã
e d in puncto h ſecundũ proportionem prius datam,
quę eſt lineæ d c ad lineã c e: & ducatur linea h i æqui-
diſtans lineæ c b per 31 p 1. Erit itaque linea h i maior
quã linea h g per 19 p 1. Angulus enim i g h eſt maior
recto b f a per 16 p 1: angulus uerò b f a rectus eſt ma-
ior angulo f b a per 32 p 1: ſed angulus g i h eſt per 29
p 1 æqualis angulo f b a: angulus ergo i g h eſt maior
angulo g i h. Ergo per 19 p 1 linea i h eſt maior quàm
linea h g. Et ducatur à puncto h linea h k æquidiſtans
lineæ d b: erit ergo per 34 p 1 linea b k æqualis lineæ i
h: ſed linea b c eſt maior quàm linea k b: ergo linea c b
eſt maior quàm linea h i: ergo c b eſt maior quã linea
h g: ſed & linea h e maior eſt quã linea c e, quoniã totũ
maius eſt ſua parte: erit ergo per 9 huius maior pro-
portio lineæ b c ad lineam c e, quàm lineę g h ad lineã
h e. Non eſt ergo eadẽ proportio: quod eſt contra hypotheſim: aut ſequetur lineam e c eſſe maiorem
quàm ſit linea e h per 14 p 5: quod totũ eſt impoſsibile. Faciliter uerò idẽ patet in linea d e, cũ linea
d h ſit minor quã linea d c, & h e ſit maior quã c e: per 9 ergo huius cõcludatur, ut prius. Nõ eſt ergo
poſsibile à puncto a duci aliã lineã ſecantẽ lineã d e ſecundũ datã proportionẽ. Quod eſt ppoſitu.
in puncto c ſecundum aliquam datam proportionem. Dico, quòd à
puncto a non poteſt duci alia linea ad lineam d c, quę ipſam ſecet ſe-
cundum eandem datam proportionem, ita, ut denominatio proportionis, ſeruetur ab eiſdem ter-
minis lineæ d e. Si enim à puncto a lineam aliam duci taliter ſit poſsibile, fiat ſuper punctum d ter-
minum lineæ e d per 23 p 1 angulus maior recto uerſus punctum b terminum lineæ a b: & produca-
tur linea b d, fiatq́; angulus c d b obtuſus: & producatur linea d b in continuum uerſus punctum at
372[Figure 372]e a c k h b i g d f& à puncto a ducatur linea perpendicularis ſuper li-
neam d b, quæ ſit a f: & ducatur linea a g ſecans lineã
e d in puncto h ſecundũ proportionem prius datam,
quę eſt lineæ d c ad lineã c e: & ducatur linea h i æqui-
diſtans lineæ c b per 31 p 1. Erit itaque linea h i maior
quã linea h g per 19 p 1. Angulus enim i g h eſt maior
recto b f a per 16 p 1: angulus uerò b f a rectus eſt ma-
ior angulo f b a per 32 p 1: ſed angulus g i h eſt per 29
p 1 æqualis angulo f b a: angulus ergo i g h eſt maior
angulo g i h. Ergo per 19 p 1 linea i h eſt maior quàm
linea h g. Et ducatur à puncto h linea h k æquidiſtans
lineæ d b: erit ergo per 34 p 1 linea b k æqualis lineæ i
h: ſed linea b c eſt maior quàm linea k b: ergo linea c b
eſt maior quàm linea h i: ergo c b eſt maior quã linea
h g: ſed & linea h e maior eſt quã linea c e, quoniã totũ
maius eſt ſua parte: erit ergo per 9 huius maior pro-
portio lineæ b c ad lineam c e, quàm lineę g h ad lineã
h e. Non eſt ergo eadẽ proportio: quod eſt contra hypotheſim: aut ſequetur lineam e c eſſe maiorem
quàm ſit linea e h per 14 p 5: quod totũ eſt impoſsibile. Faciliter uerò idẽ patet in linea d e, cũ linea
d h ſit minor quã linea d c, & h e ſit maior quã c e: per 9 ergo huius cõcludatur, ut prius. Nõ eſt ergo
poſsibile à puncto a duci aliã lineã ſecantẽ lineã d e ſecundũ datã proportionẽ. Quod eſt ppoſitu.
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib