35048VITELLONIS OPTICAE
121. Lineam datam in duob{us} punctis taliter ſecare, ut ſui toti{us} proportio ad unã ſuarum
extremarum partium ſit ſimilis proportioni alteri{us} extremæ partis ad eam partẽ, quæ utraſ
interiacet ſectiones. E 10 p 6 element.
extremarum partium ſit ſimilis proportioni alteri{us} extremæ partis ad eam partẽ, quæ utraſ
interiacet ſectiones. E 10 p 6 element.
Eſto data linea a b, quam ſecundum modum propoſitum debemus diuidere.
Diuidatur itaq;
ſe-
cundum proportionem, quam libuerit: & ſit diuiſa in puncto c: & ſit pars eius a c maior quàm pars
373[Figure 373]a d c b cius c b. Quia itaq; propoſitæ ſunt nobis tres
lineæ a b, a c, c b: diuidatur ergo per 119 huius
linea a c ſecundum portionem lineæ a b ad li-
neam c b: fiatq́; diuiſio in puncto d ita, ut ſit proportio lineæ a d ad lineam d c, ſicut lineæ totius a b
ad lineã c b. Palàm ergo, quòd linea a b eſt modo propoſito diuiſa: eſt enim proportio totius lineæ
a b ad unam extremarum ſuarum partium, quæ eſt c b, ſicut reliquæ ſuæ partis extremę, quæ eſt a d,
ad partem, quę utraſq; interiacet ſectiones, quę eſt d c. Patet ergo factum eſſe, quod proponebatur.
cundum proportionem, quam libuerit: & ſit diuiſa in puncto c: & ſit pars eius a c maior quàm pars
373[Figure 373]a d c b cius c b. Quia itaq; propoſitæ ſunt nobis tres
lineæ a b, a c, c b: diuidatur ergo per 119 huius
linea a c ſecundum portionem lineæ a b ad li-
neam c b: fiatq́; diuiſio in puncto d ita, ut ſit proportio lineæ a d ad lineam d c, ſicut lineæ totius a b
ad lineã c b. Palàm ergo, quòd linea a b eſt modo propoſito diuiſa: eſt enim proportio totius lineæ
a b ad unam extremarum ſuarum partium, quæ eſt c b, ſicut reliquæ ſuæ partis extremę, quæ eſt a d,
ad partem, quę utraſq; interiacet ſectiones, quę eſt d c. Patet ergo factum eſſe, quod proponebatur.
122. Diuiſa linea recta taliter, ut ſuitoti{us} proportio ad unam ſuarum extremarũ partium
ſit ſimilis proportioni partis alteri{us} extremæ ad eam ſui partem, quæutraſ interiacet ſectio-
nes: ſi fuerint lineæ ductæ abuno termino datæ lineæ, & à punctis ſectionum æquidiſt antes in-
ter ſe: à terminó reliquo datæ lineæ producatur linea ſecans illas tres æquidiſtantes: erit linea
producta ſecundum eandem proportionem diuiſa. Alhazen 10 n 6.
374[Figure 374]c h z b d g dſit ſimilis proportioni partis alteri{us} extremæ ad eam ſui partem, quæutraſ interiacet ſectio-
nes: ſi fuerint lineæ ductæ abuno termino datæ lineæ, & à punctis ſectionum æquidiſt antes in-
ter ſe: à terminó reliquo datæ lineæ producatur linea ſecans illas tres æquidiſtantes: erit linea
producta ſecundum eandem proportionem diuiſa. Alhazen 10 n 6.
Sit linea a b diuiſa in punctis g & d taliter, ut lineę
a b ad lineam d b ſit proportio, ſicut lineæ a g ad li-
neam g d: & ab uno termino datę lineæ, qui eſt b, &
à punctis ſectionũ g & d per 31 primi ducantur lineæ
ad inuicem æquidiſtantes, quæ ſint b c, d h, g z: & ab
altero termino datæ lineæ, quę eſt a, producatur li-
nea ſecans illas æquidiſtantes in punctis z, h, c, quæ
ſit a z h c. Dico, quòd linea a c ſecundũ hanc propor-
tionem erit diuiſa. Cũ enim linea d h ſit æquidiſtans
lineæ g z ex hypotheſi, erit ex 2 p 6 proportio lineæ
a z ad lineã z h, ſicut lineæ a g ad lineam g d. Et cum
linea b c ſit æquidiſtans lineæ d h, erit per eandem 2
p 6 & 18 p 5 proportio lineæ a b ad lineam b d, ſicut
lineæ a c ad lineam c h: ſed ex hypotheſi fuit propor-
tio lineæ a b ad lineam b d, ſicut lineæ a g ad lineam
d g. Erit ergo per 11 p 5 proportio lineæ a c ad lineam
c h, ſicut lineæ a z ad lineam z h. Linea ergo a c, quæ
producitur à puncto a termino lineæ datæ, ſecat du-
ctas lineas æquidiſtantes b c, d h, g z, & ſecatur per illas ſecundum proportionem partium diuiſio-
nis lineæ datæ a b. Et hoc eſt propoſitum.
a b ad lineam d b ſit proportio, ſicut lineæ a g ad li-
neam g d: & ab uno termino datę lineæ, qui eſt b, &
à punctis ſectionũ g & d per 31 primi ducantur lineæ
ad inuicem æquidiſtantes, quæ ſint b c, d h, g z: & ab
altero termino datæ lineæ, quę eſt a, producatur li-
nea ſecans illas æquidiſtantes in punctis z, h, c, quæ
ſit a z h c. Dico, quòd linea a c ſecundũ hanc propor-
tionem erit diuiſa. Cũ enim linea d h ſit æquidiſtans
lineæ g z ex hypotheſi, erit ex 2 p 6 proportio lineæ
a z ad lineã z h, ſicut lineæ a g ad lineam g d. Et cum
linea b c ſit æquidiſtans lineæ d h, erit per eandem 2
p 6 & 18 p 5 proportio lineæ a b ad lineam b d, ſicut
lineæ a c ad lineam c h: ſed ex hypotheſi fuit propor-
tio lineæ a b ad lineam b d, ſicut lineæ a g ad lineam
d g. Erit ergo per 11 p 5 proportio lineæ a c ad lineam
c h, ſicut lineæ a z ad lineam z h. Linea ergo a c, quæ
producitur à puncto a termino lineæ datæ, ſecat du-
ctas lineas æquidiſtantes b c, d h, g z, & ſecatur per illas ſecundum proportionem partium diuiſio-
nis lineæ datæ a b. Et hoc eſt propoſitum.
123. Linea in duob{us} punctis taliter diuiſa, ut ſui toti{us} proportio adunam ſuarum extre-
marum partium ſimilis ſit proportioni alteri{us} extremæ partis ad eam ſui partem, quæ utraſ
interiacet ſectiones: ſi ab uno termino illi{us} lineæ, & à punctis ſectionis ducantur tres lineæ con
currentes in punctum unum, & ab alio termino producatur linea ſecans illas tres ductas: erit
linea producta ſecundum prædictum modum pro
portionaliter diuiſa. Alhazen 8 n 6.
375[Figure 375]e c q h m z b d g amarum partium ſimilis ſit proportioni alteri{us} extremæ partis ad eam ſui partem, quæ utraſ
interiacet ſectiones: ſi ab uno termino illi{us} lineæ, & à punctis ſectionis ducantur tres lineæ con
currentes in punctum unum, & ab alio termino producatur linea ſecans illas tres ductas: erit
linea producta ſecundum prædictum modum pro
portionaliter diuiſa. Alhazen 8 n 6.
Eſto linea propoſita a b taliter diuiſa in punctis g
& d, ut ſit proportio totius lineæ a b ad lineam b d,
ſicut lineæ a g ad lineam g d: & à puncto b, & à pun-
ctis ſectionũ g & d ducantur tres lineæ concurren-
tes in unum punctũ e, quę ſint g e, d e, b e: & à pũcto
a ducatur linea, quæ ſit a c, ſecãs illas tres lineas, ſci-
licet g e in puncto z, & d e in puncto h, & b e in pun-
cto c. Dico, quòd erit proportio lineæ a c ad lineam
c h, ſicut lineæ a z ad lineã z h. Ducatur enim à pun-
cto h linea æquidiſtans lineæ a b per 31 p 1, quę ſit q
h. Palàm ergo per 13 huius, quoniã proportio lineæ
a b ad lineam b d, conſtat ex proportionibus lineæ
a b ad lineam h q, & lineæ h q ad lineã b d. Sed quo-
niam linea q h ęquidiſtat lineę a b, erit per 29 p 1 an
gulus c q h ęqualis angulo c b a: ſed angulus c b a eſt
communis ambobus trigonis a b c & q h c: ergo per
32 p 1 illa trigona ſunt ęquiangula. Ergo per 4 p 6 erit proportio lineę a b ad lineam q h, ſicut lineę a
cad lineam c h. Similiter quoq; trigona q e h & b e d ſunt ſimilia. Eſt ergo proportio lineę q h ad li-
neam b d, ſicut lineę h e ad lineam d e. Proportio ergo lineę a b ad lineam b d per 13 huius componi-
& d, ut ſit proportio totius lineæ a b ad lineam b d,
ſicut lineæ a g ad lineam g d: & à puncto b, & à pun-
ctis ſectionũ g & d ducantur tres lineæ concurren-
tes in unum punctũ e, quę ſint g e, d e, b e: & à pũcto
a ducatur linea, quæ ſit a c, ſecãs illas tres lineas, ſci-
licet g e in puncto z, & d e in puncto h, & b e in pun-
cto c. Dico, quòd erit proportio lineæ a c ad lineam
c h, ſicut lineæ a z ad lineã z h. Ducatur enim à pun-
cto h linea æquidiſtans lineæ a b per 31 p 1, quę ſit q
h. Palàm ergo per 13 huius, quoniã proportio lineæ
a b ad lineam b d, conſtat ex proportionibus lineæ
a b ad lineam h q, & lineæ h q ad lineã b d. Sed quo-
niam linea q h ęquidiſtat lineę a b, erit per 29 p 1 an
gulus c q h ęqualis angulo c b a: ſed angulus c b a eſt
communis ambobus trigonis a b c & q h c: ergo per
32 p 1 illa trigona ſunt ęquiangula. Ergo per 4 p 6 erit proportio lineę a b ad lineam q h, ſicut lineę a
cad lineam c h. Similiter quoq; trigona q e h & b e d ſunt ſimilia. Eſt ergo proportio lineę q h ad li-
neam b d, ſicut lineę h e ad lineam d e. Proportio ergo lineę a b ad lineam b d per 13 huius componi-
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