35755LIBER PRIMVS.
ut eſt t c:
patet, quoniã illa minima linea intra ſuperficiem ſectionis producetur ad peripheriam cir
culi, ut in punctum m: aliqua ergo ſuperficies cõmunis erit circulo & ſectioni: circulus ergo & ſe-
ctio ſe ſecabunt. Hęc itaq; ſectio nõ erit niſi in duobus tantũ punctis g & k: quod per modum 10 p 3
conuinci poteſt. Patet ergo propoſitum.
culi, ut in punctum m: aliqua ergo ſuperficies cõmunis erit circulo & ſectioni: circulus ergo & ſe-
ctio ſe ſecabunt. Hęc itaq; ſectio nõ erit niſi in duobus tantũ punctis g & k: quod per modum 10 p 3
conuinci poteſt. Patet ergo propoſitum.
133. A pũcto dato in circuli circũferẽtia extra diametrũ: poßibile eſt ducere lineãք diametrũ
ad circũferentiã, ita, ut pars ei{us} interiacẽs diametrũ & reliquãpartẽ circũferẽtiæ, ſit æqualis
lineæ datæ eidẽ circulo inſcriptibili præmiſſo modo: ſed harum linearum æqualium ab eodẽ pun
cto dato in eodem circulo producibiles ſunt tantùm duæ. Alhazen 34 n 5.
ad circũferentiã, ita, ut pars ei{us} interiacẽs diametrũ & reliquãpartẽ circũferẽtiæ, ſit æqualis
lineæ datæ eidẽ circulo inſcriptibili præmiſſo modo: ſed harum linearum æqualium ab eodẽ pun
cto dato in eodem circulo producibiles ſunt tantùm duæ. Alhazen 34 n 5.
Eſto circulus a b g, cuius diameter ſit b g:
& punctus datus in ſui circũferentia ſita:
& ſit h z linea
data minor diametro b g, pręmiſſo modo poſsibilis inſcribi circulo. Dico, quòd â pũcto a poſsibile
eſt ducere lineã tranſeuntẽ per diametrũ b g, cuius pars interiacens diametrũ b g & circũferentiam
ſit ęqualis lineę datę, quę h z. Ducantur enim in circulo lineę b a & a g: & ſuper punctũ h lineę datę
h z fiat angulus ęqualis angulo a g b: qui ſit m h z, ducta linea m h, & ſuper idẽ punctũ h fiat angulus
æqualis angulo a b g, qui ſit l h z, ducta linea h l: & â puncto z ducatur linea æquidiſtans lineę h m,
quę ſit z n: quę quidẽ ſecabit lineã h l: ſit, ut ſecet ipſam in puncto x: & à pũcto z iterũ ducatur alia li
nea æquidiſtans lineę h l, quę ſit z t, ſecans lineã h m in puncto t: ſecabit autem per 2 huius: & à pun
cto t ducatur ſectio conica, quæ ſit t p, ſicut præmiſſum eſt in 131 huius. Hæc itaq; ſectio non contin
git aliquam linearũ z n & h l, inter quas ipſa iacet. Similiter fiat ſectio alia conica, iſti oppoſita, inter
390[Figure 390]a g e b d eaſdem lineas ex parte alia, quę ſit c u: & inter il-
las ſectiones omnium linearum ductarum mini-
ma ducta à puncto t ad ſectionem c u, ſit linea t c.
Hæc ergo linea t c ſi fuerit æqualis diametro cir-
culi b g: circulus factus ſecundum ſemidiametrũ
t c (poſito pede circini in puncto t) palàm, quia
ſectionem c u cõtinget. Si uerò linea t c fuerit mi-
nor diametro b g: circulus factus modo prędicto
ſecundum quantitatem lineæ b g ſecabit ſectionẽ
c u in duobus punctis, ut patet per pręmiſſam. Sit
ergo nunc primùm linea t c ęqualis diametro b g.
Cum ergo linea t c ducatur ad ſectionem conicã,
quæ interiacet lineas h l & z n: neceſſariò ſecabit
linea t c illas ambas lineas: quas ſi in puncto x (ꝗ
eſt pũctus communis ſectionis illarum linearũ)
ſecuerit, erit linea t x æqualis lineæ x c: quòd ſi
ipſas in alijs punctis ſecuerit: ſecet ergo lineã z n
391[Figure 391]h n t f x q c u p m z f in puncto q, & lineam h l ín puncto f: & du-
catur à puncto z per 31 p 1 linea æquidiſtans
ipſi lineæ t c: quæ per 2 huius ſecabit lineas
h m & h l, ſicut etiam ſua ęquidiſtans t c: ſecet
ergo eas in punctis m & l: & ſit ipſa linea m z
l. Super diametri ergo g b terminum g per 23
p 1 fiat angulus æqualis angulo h l m, qui ſit
angulus b g d: & ducantur duæ lineæ a d, d b.
Palàm ergo, cum angulus g a b ſit rectus per
31 p 3, quòd alij duo anguli trianguli g a b, ſcili
cet a g b & a b g ualent rectũ per 32 p 1: angu-
lus ergo l h m (qui æqualis eſt illis duobus angulis) eſt rectus: ergo æqualis angulo g d b: angulus
uerò h l m eſt æqualis angulo d g b: ergo per 32 p 1 angulus tertius unius, trigonorum g b d & h l m
erit ęqualis angulo tertio alterius, ſcilicet angulus h m l, angulo g b d: erit ergo per 4 p 6 proportio
lineæ g b ad b d, ſicut lineæ l m ad m h. Sit aũt pũctus, in quo linea a d ſecat diametrũ b g, punctus e.
Quia ergo ք 27 p 3 angulus a d b eſt æqualis angulo b g a: quia cadũt in eundẽ arcũ (qui a b) & an-
gulus b g a æqualis angulo m h z ex p̃miſsis: erit ergo angulus a d b æqualis angulo m h z: & patuit
prius, qđ angulus d b g eſt æqualis angulo h m z: erit ergo tertius angulus trianguli d e b per 32 p 1
ęqualis tertio angulo trigoni m h z, ſcilicet angulus d e b angulo m z h. Quia ergo trigona d e b & m
z h ſunt æquiangula, erit per 4 p 6 proportio lineę b d ad d e, ſicut lineę m h ad h z. Oſtẽſum eſt aũt
ſuperius, qđ eſt ꝓportio lineę g b ad b d, ſicut lineę l m ad m h: ergo ք 22 p 5 erit ք ęquã ꝓportiona-
litatẽ ꝓportio lineę b g ad d e, ſicut lineę l m ad h z: ſed ſicut ք 131 huius declaratũ eſt, patet, qđ linea
q t eſt ęqualis lineę f c: ſed linea t q eſt ęqualis lineę m z ք 34 p 1, cũ parallelogrãmũ m t q z ſit ęquidi-
ſtãtiũ laterũ, ut patet ex pręmiſsis: eſt igitur linea m z ęqualis lineę f c: ſed ք 34 p 1 linea z l eſt æqua-
lis lineę t f. Eſt igitur totalis linea m l æqualis totali lineę t c: ergo ք 7 p 5 eſt ꝓportio lineę t c ad h z,
ſicut lineę l m ad h z. Eſt ergo ꝓportio lineæ g b ad lineã d e, ſicut lineę t c ad h z: & քmutatim. Cũ
ergo linea t c ſit æqualis lineę g b, erit linea e d æqualis ipſi h z datę lineę. Quod eſt propoſitũ. Si au
tem linea t c ſit minor diametro b g: producatur ultra ſectionem, donec ipſa ſit æqualis diametro
data minor diametro b g, pręmiſſo modo poſsibilis inſcribi circulo. Dico, quòd â pũcto a poſsibile
eſt ducere lineã tranſeuntẽ per diametrũ b g, cuius pars interiacens diametrũ b g & circũferentiam
ſit ęqualis lineę datę, quę h z. Ducantur enim in circulo lineę b a & a g: & ſuper punctũ h lineę datę
h z fiat angulus ęqualis angulo a g b: qui ſit m h z, ducta linea m h, & ſuper idẽ punctũ h fiat angulus
æqualis angulo a b g, qui ſit l h z, ducta linea h l: & â puncto z ducatur linea æquidiſtans lineę h m,
quę ſit z n: quę quidẽ ſecabit lineã h l: ſit, ut ſecet ipſam in puncto x: & à pũcto z iterũ ducatur alia li
nea æquidiſtans lineę h l, quę ſit z t, ſecans lineã h m in puncto t: ſecabit autem per 2 huius: & à pun
cto t ducatur ſectio conica, quæ ſit t p, ſicut præmiſſum eſt in 131 huius. Hæc itaq; ſectio non contin
git aliquam linearũ z n & h l, inter quas ipſa iacet. Similiter fiat ſectio alia conica, iſti oppoſita, inter
390[Figure 390]a g e b d eaſdem lineas ex parte alia, quę ſit c u: & inter il-
las ſectiones omnium linearum ductarum mini-
ma ducta à puncto t ad ſectionem c u, ſit linea t c.
Hæc ergo linea t c ſi fuerit æqualis diametro cir-
culi b g: circulus factus ſecundum ſemidiametrũ
t c (poſito pede circini in puncto t) palàm, quia
ſectionem c u cõtinget. Si uerò linea t c fuerit mi-
nor diametro b g: circulus factus modo prędicto
ſecundum quantitatem lineæ b g ſecabit ſectionẽ
c u in duobus punctis, ut patet per pręmiſſam. Sit
ergo nunc primùm linea t c ęqualis diametro b g.
Cum ergo linea t c ducatur ad ſectionem conicã,
quæ interiacet lineas h l & z n: neceſſariò ſecabit
linea t c illas ambas lineas: quas ſi in puncto x (ꝗ
eſt pũctus communis ſectionis illarum linearũ)
ſecuerit, erit linea t x æqualis lineæ x c: quòd ſi
ipſas in alijs punctis ſecuerit: ſecet ergo lineã z n
391[Figure 391]h n t f x q c u p m z f in puncto q, & lineam h l ín puncto f: & du-
catur à puncto z per 31 p 1 linea æquidiſtans
ipſi lineæ t c: quæ per 2 huius ſecabit lineas
h m & h l, ſicut etiam ſua ęquidiſtans t c: ſecet
ergo eas in punctis m & l: & ſit ipſa linea m z
l. Super diametri ergo g b terminum g per 23
p 1 fiat angulus æqualis angulo h l m, qui ſit
angulus b g d: & ducantur duæ lineæ a d, d b.
Palàm ergo, cum angulus g a b ſit rectus per
31 p 3, quòd alij duo anguli trianguli g a b, ſcili
cet a g b & a b g ualent rectũ per 32 p 1: angu-
lus ergo l h m (qui æqualis eſt illis duobus angulis) eſt rectus: ergo æqualis angulo g d b: angulus
uerò h l m eſt æqualis angulo d g b: ergo per 32 p 1 angulus tertius unius, trigonorum g b d & h l m
erit ęqualis angulo tertio alterius, ſcilicet angulus h m l, angulo g b d: erit ergo per 4 p 6 proportio
lineæ g b ad b d, ſicut lineæ l m ad m h. Sit aũt pũctus, in quo linea a d ſecat diametrũ b g, punctus e.
Quia ergo ք 27 p 3 angulus a d b eſt æqualis angulo b g a: quia cadũt in eundẽ arcũ (qui a b) & an-
gulus b g a æqualis angulo m h z ex p̃miſsis: erit ergo angulus a d b æqualis angulo m h z: & patuit
prius, qđ angulus d b g eſt æqualis angulo h m z: erit ergo tertius angulus trianguli d e b per 32 p 1
ęqualis tertio angulo trigoni m h z, ſcilicet angulus d e b angulo m z h. Quia ergo trigona d e b & m
z h ſunt æquiangula, erit per 4 p 6 proportio lineę b d ad d e, ſicut lineę m h ad h z. Oſtẽſum eſt aũt
ſuperius, qđ eſt ꝓportio lineę g b ad b d, ſicut lineę l m ad m h: ergo ք 22 p 5 erit ք ęquã ꝓportiona-
litatẽ ꝓportio lineę b g ad d e, ſicut lineę l m ad h z: ſed ſicut ք 131 huius declaratũ eſt, patet, qđ linea
q t eſt ęqualis lineę f c: ſed linea t q eſt ęqualis lineę m z ք 34 p 1, cũ parallelogrãmũ m t q z ſit ęquidi-
ſtãtiũ laterũ, ut patet ex pręmiſsis: eſt igitur linea m z ęqualis lineę f c: ſed ք 34 p 1 linea z l eſt æqua-
lis lineę t f. Eſt igitur totalis linea m l æqualis totali lineę t c: ergo ք 7 p 5 eſt ꝓportio lineę t c ad h z,
ſicut lineę l m ad h z. Eſt ergo ꝓportio lineæ g b ad lineã d e, ſicut lineę t c ad h z: & քmutatim. Cũ
ergo linea t c ſit æqualis lineę g b, erit linea e d æqualis ipſi h z datę lineę. Quod eſt propoſitũ. Si au
tem linea t c ſit minor diametro b g: producatur ultra ſectionem, donec ipſa ſit æqualis diametro
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