35856VITELLONIS OPTICAE
b g, & ſecundum quantitatem eius fiat circulus.
Palàm per pręmiſſam, quòd ille ſecabit ſectionem
in punctis duobus, qui ſint c & u: à quibus lineæ ductę ad punctum t erunt æquales lineę b g per
definitionem circuli: & tunc à puncto z ducatur linea æquidiſtans alteri illarum, & item alia a qui-
diſtans alteri: & tunc erit ducere à puncto a per modum prędictum duas lineas e d æquales lineæ
datę: & erit idem penitus probandi modus, qui ſuprà. Patet ergo propoſitum.
in punctis duobus, qui ſint c & u: à quibus lineæ ductę ad punctum t erunt æquales lineę b g per
definitionem circuli: & tunc à puncto z ducatur linea æquidiſtans alteri illarum, & item alia a qui-
diſtans alteri: & tunc erit ducere à puncto a per modum prędictum duas lineas e d æquales lineæ
datę: & erit idem penitus probandi modus, qui ſuprà. Patet ergo propoſitum.
134. Dato trigono orthogonio, & dato puncto in uno ſuorum laterum angulum rectum con-
tinentium: poßibile est ducere à puncto illo ad aliud laterum continentium angulum rectum
lineam ſecantem baſim it a, quòd pars ductæ lineæ interiacens punctum ſectionis, & latus, in
quo non est punctus datus, ſe habeat ad partem baſis, quæ est à ſectione ad latus, in quo eſt pun
ctus datus, ſicut data linea ad datam lineam. Alhazen 35 n 5.
tinentium: poßibile est ducere à puncto illo ad aliud laterum continentium angulum rectum
lineam ſecantem baſim it a, quòd pars ductæ lineæ interiacens punctum ſectionis, & latus, in
quo non est punctus datus, ſe habeat ad partem baſis, quæ est à ſectione ad latus, in quo eſt pun
ctus datus, ſicut data linea ad datam lineam. Alhazen 35 n 5.
Eſto a b g triangulus datus, cuius angulus a b g ſit rectus:
& in latere illius b g ſit pũctus datus,
qui ſit d, extra triangulum aut intra: ſintq́; datę lineę duę e & z. Dico, quòd à puncto d poſsibile eſt
ducere lineam ſecantem baſim a g, & concurrentem cum latere a b, ita, quòd pars lineæ ſecãtis in-
392[Figure 392]q ſ a e z a h t d m c b d g n teriacens latus a b & baſim a g, ſit eiuſdem proportionis ad partem
baſis a g, quę eſt ab illa linea uſq; ad punctum g, cuius eſt data linea
e ad datam lineam z. Sit enim primò pũctus d in ipſo trigono a b g:
& ducatur ab eo linea æquidiſtans lineę a b per 31 p 1, quę ſit d m: &
fiat circulus per tria puncta g, d, m per 5 p 4: eritq́; linea g m diame-
ter huius circuli per 31 p 3: ſubtenditur enim angulo recto per 29 p 1:
& protrahatur linea a d. Et quia per eandem 29 p 1 angulus g m d eſt
æqualis angulo g a b: palàm, quia angulus g m d erit maior angulo
g a d, cum angulus g a b ſit maior angulo g a d: ſecetur ergo ex angu-
lo g m d angulus æqualis angulo g a d per 27 huius, ducta linea m n
ad peripheriam circuli: ſitq́; angulus d m n: quę autem eſt proportio
lineę e ad lineam z, eadẽ ſit per 3 huius proportio lineę a d ad lineã
h: & à puncton, qui eſt punctus in peripheria circuli, ducatur linea
ad diametrum g m, quę ſit n l, ſecans circulum in pũcto c, ita, ut eius
pars interiacens peripheriam circuli & diametrum, quę eſt c l, ſit æ-
qualis lineę datę h per 128 uel per 130 huius: & ducatur linea g c: & à
pũcto d ducatur linea ad punctũ c, quę cũ cadat inter duas lineas ę-
quidiſtantes, quę ſunt d m & b a, tenens angulum acutũ cum earum
altera, ut cũ m d, ſi producatur, neceſſariò concurret cũ reliqua per
2 huius: cõcurrat ergo in puncto q. Quia itaq; per 27 p 3 angulus g m
d eſt æqualis angulo g c d, & angulus g m d eſt ęqualis angulo g a b
per 29 p 1: palàm, quòd angulus g c d eſt ęqualis angulo g a b: ergo per 13 p 1 erit angulus g c q ęqua-
lis angulo b a l: ſed angulus b a l per 15 p 1 eſt ęqualis angulo g a q: angulus ergo g c q eſt æqualis an-
393[Figure 393]l d b q a a e z h d l g c e z h t g c b q a d m n a m n d gulo g a q. Sit autẽ t punctus, in quo li
nea d q ſecat lineam a g: erit ergo per
15 p 1 angulus g t c æqualis angulo at
q. Quia ergo trigonorum a t q & t c g
duo anguli ſunt ęquales, erit & terti-
us tertio ęqualis: trianguli ergo a t q
& t c g ſunt æquianguli: ergo ք 4 p 6
erit proportio lineę q t ad t g, ſicut li-
neę a t ad t c: uerùm angulus n m d ex
p̃miſsis eſt ęqualis angulo t a d. Quia
enim anguli g m d & t a b ſunt ęqua-
les: & anguli g m n & d a g ęquales: re-
linquitur n m a ęqualis angulo t a d:
ſed & angulus n c d ք 27 p 3 eſt ęqualis
angulo n m d: quare angulus n c d eſt
ęqualis angulo t a d: ergo ք 15 p 1 angu
lus t c l, qui eſt contra poſitus angulo
n c d, eſt æqualis angulo t a d. Quia er
go angulus t c l eſt cõmunis duobus
trigonis, ſcilicet trigono t c l & trigo-
no t a d, & anguli t c l & t a d ſunt ęquales: erũt ք 32 p 1 trigoni t c l & t a d ęquianguli: ergo ք 4 p 6 eſt
ꝓportio lineę t a ad lineã t c, ſicut lineæ a d ad lineã l c. Fuit aũt oſtẽ ſum ſuperius, qđ eſt ꝓportio li-
neę t q ad lineã t g, ſicut lineę a t ad lineã t c: ergo ք 11 p 5 erit proportio lineę a d ad l c, ſicut lineę q t
ad t g: ſed linea l c eſt æqualis lineę h, & proportio lineę a d, ad lineam h eſt, ſicut proportio lineæ
e a d z. Ergo ք 7 & 11 p 5 erit ꝓportio lineæ q t ad lineã t g, ſicut lineę e ad lineã z. Quod eſt ꝓpoſitũ.
Si uerò d pũctus datus ſit in latere trigoni, qđ eſt b g, extra triangulũ ꝓducto: ducatur prius à pun
cto d linea ęquidiſtãs lineę a b: & ſit d m: & ducatur linea a g, donec cõcurrat cũ linea d m in pũcto
qui ſit d, extra triangulum aut intra: ſintq́; datę lineę duę e & z. Dico, quòd à puncto d poſsibile eſt
ducere lineam ſecantem baſim a g, & concurrentem cum latere a b, ita, quòd pars lineæ ſecãtis in-
392[Figure 392]q ſ a e z a h t d m c b d g n teriacens latus a b & baſim a g, ſit eiuſdem proportionis ad partem
baſis a g, quę eſt ab illa linea uſq; ad punctum g, cuius eſt data linea
e ad datam lineam z. Sit enim primò pũctus d in ipſo trigono a b g:
& ducatur ab eo linea æquidiſtans lineę a b per 31 p 1, quę ſit d m: &
fiat circulus per tria puncta g, d, m per 5 p 4: eritq́; linea g m diame-
ter huius circuli per 31 p 3: ſubtenditur enim angulo recto per 29 p 1:
& protrahatur linea a d. Et quia per eandem 29 p 1 angulus g m d eſt
æqualis angulo g a b: palàm, quia angulus g m d erit maior angulo
g a d, cum angulus g a b ſit maior angulo g a d: ſecetur ergo ex angu-
lo g m d angulus æqualis angulo g a d per 27 huius, ducta linea m n
ad peripheriam circuli: ſitq́; angulus d m n: quę autem eſt proportio
lineę e ad lineam z, eadẽ ſit per 3 huius proportio lineę a d ad lineã
h: & à puncton, qui eſt punctus in peripheria circuli, ducatur linea
ad diametrum g m, quę ſit n l, ſecans circulum in pũcto c, ita, ut eius
pars interiacens peripheriam circuli & diametrum, quę eſt c l, ſit æ-
qualis lineę datę h per 128 uel per 130 huius: & ducatur linea g c: & à
pũcto d ducatur linea ad punctũ c, quę cũ cadat inter duas lineas ę-
quidiſtantes, quę ſunt d m & b a, tenens angulum acutũ cum earum
altera, ut cũ m d, ſi producatur, neceſſariò concurret cũ reliqua per
2 huius: cõcurrat ergo in puncto q. Quia itaq; per 27 p 3 angulus g m
d eſt æqualis angulo g c d, & angulus g m d eſt ęqualis angulo g a b
per 29 p 1: palàm, quòd angulus g c d eſt ęqualis angulo g a b: ergo per 13 p 1 erit angulus g c q ęqua-
lis angulo b a l: ſed angulus b a l per 15 p 1 eſt ęqualis angulo g a q: angulus ergo g c q eſt æqualis an-
393[Figure 393]l d b q a a e z h d l g c e z h t g c b q a d m n a m n d gulo g a q. Sit autẽ t punctus, in quo li
nea d q ſecat lineam a g: erit ergo per
15 p 1 angulus g t c æqualis angulo at
q. Quia ergo trigonorum a t q & t c g
duo anguli ſunt ęquales, erit & terti-
us tertio ęqualis: trianguli ergo a t q
& t c g ſunt æquianguli: ergo ք 4 p 6
erit proportio lineę q t ad t g, ſicut li-
neę a t ad t c: uerùm angulus n m d ex
p̃miſsis eſt ęqualis angulo t a d. Quia
enim anguli g m d & t a b ſunt ęqua-
les: & anguli g m n & d a g ęquales: re-
linquitur n m a ęqualis angulo t a d:
ſed & angulus n c d ք 27 p 3 eſt ęqualis
angulo n m d: quare angulus n c d eſt
ęqualis angulo t a d: ergo ք 15 p 1 angu
lus t c l, qui eſt contra poſitus angulo
n c d, eſt æqualis angulo t a d. Quia er
go angulus t c l eſt cõmunis duobus
trigonis, ſcilicet trigono t c l & trigo-
no t a d, & anguli t c l & t a d ſunt ęquales: erũt ք 32 p 1 trigoni t c l & t a d ęquianguli: ergo ք 4 p 6 eſt
ꝓportio lineę t a ad lineã t c, ſicut lineæ a d ad lineã l c. Fuit aũt oſtẽ ſum ſuperius, qđ eſt ꝓportio li-
neę t q ad lineã t g, ſicut lineę a t ad lineã t c: ergo ք 11 p 5 erit proportio lineę a d ad l c, ſicut lineę q t
ad t g: ſed linea l c eſt æqualis lineę h, & proportio lineę a d, ad lineam h eſt, ſicut proportio lineæ
e a d z. Ergo ք 7 & 11 p 5 erit ꝓportio lineæ q t ad lineã t g, ſicut lineę e ad lineã z. Quod eſt ꝓpoſitũ.
Si uerò d pũctus datus ſit in latere trigoni, qđ eſt b g, extra triangulũ ꝓducto: ducatur prius à pun
cto d linea ęquidiſtãs lineę a b: & ſit d m: & ducatur linea a g, donec cõcurrat cũ linea d m in pũcto
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