359297DE MATHÉMATIQUE. Liv. IX.
Corollaire III.
624.
Puiſque le quarré d’une ordonnée à un diametre quel-
conque eſt égal au produit de l’abſciſſe par le parametre, qui
eſt une grandeur conſtante pour chaque diametre, & variable
ſuivant les différens diametres, il ſuit qu’en déſignant par p le
parametre d’un diametre quelconque, par x, l’abſciſſe priſe
ſur le même diametre, à commencer de l’origine du diametre,
& par y, l’ordonnée correſpondante à cette abſciſſe, on aura
toujours y y = p x pour l’équation qui renferme les propriétés
de la parabole, ſoit par rapport aux diametres, ſoit par rap-
port à l’axe. Si l’on ſuppoſe que l’abſciſſe ſoit priſe ſur l’axe,
& qu’elle ſoit égale au quart du parametre, cette équation
deviendra y y = {1/4}pp, d’où l’on tire y = {1/2}p, & en doublant
2y = p; ce qui montre que la double ordonnée qui paſſe par
le foyer eſt égale au parametre; ce qui eſt encore vrai par rap-
port à un diametre quelconque, comme on peut aiſément le
reconnoître, ſi l’on conçoit bien ce que nous avons expliqué
(art. 622).
conque eſt égal au produit de l’abſciſſe par le parametre, qui
eſt une grandeur conſtante pour chaque diametre, & variable
ſuivant les différens diametres, il ſuit qu’en déſignant par p le
parametre d’un diametre quelconque, par x, l’abſciſſe priſe
ſur le même diametre, à commencer de l’origine du diametre,
& par y, l’ordonnée correſpondante à cette abſciſſe, on aura
toujours y y = p x pour l’équation qui renferme les propriétés
de la parabole, ſoit par rapport aux diametres, ſoit par rap-
port à l’axe. Si l’on ſuppoſe que l’abſciſſe ſoit priſe ſur l’axe,
& qu’elle ſoit égale au quart du parametre, cette équation
deviendra y y = {1/4}pp, d’où l’on tire y = {1/2}p, & en doublant
2y = p; ce qui montre que la double ordonnée qui paſſe par
le foyer eſt égale au parametre; ce qui eſt encore vrai par rap-
port à un diametre quelconque, comme on peut aiſément le
reconnoître, ſi l’on conçoit bien ce que nous avons expliqué
(art. 622).
PROPOSITION VIII.
Theoreme.
625.
Si l’on coupe un cône par un plan parallele à un de ſes
11Figure 155. côtés, la ſection ſera une parabole.
11Figure 155. côtés, la ſection ſera une parabole.
Si l’on a coupé le cône A B C par un plan parallele à un de
ſes côtés B C, je dis que la ſection qui ſera, par exemple
D E I, aura formé ſur la ſurface du cône une courbe DHEKI
qui ſera une parabole. Suppoſons encore que le cône a été
coupé par un plan L M parallele à ſa baſe, la ſection ſera un
cercle, dont les lignes F K & F H ſeront des perpendiculaires
au diametre LM, & en même-tems des ordonnées de la courbe,
parce que l’on ſuppoſe que le plan coupant E D I eſt perpen-
diculaire au plan du triangle A B C, que l’on appelle le triangle
par l’axe. Cela poſé, prenez ſur le côté B C la partie B O
égale à F M, & du point O, menez à F M la parallele O N,
qui ſera le parametre de la parabole; car nous démontrerons
que le rectangle compris ſous N O, & l’abſciſſe E F, eſt égal
au quarré de l’ordonnée F K; après avoir nommé les lignes
B O ou F M, a; N O, p; E F, x, & F K, y.
ſes côtés B C, je dis que la ſection qui ſera, par exemple
D E I, aura formé ſur la ſurface du cône une courbe DHEKI
qui ſera une parabole. Suppoſons encore que le cône a été
coupé par un plan L M parallele à ſa baſe, la ſection ſera un
cercle, dont les lignes F K & F H ſeront des perpendiculaires
au diametre LM, & en même-tems des ordonnées de la courbe,
parce que l’on ſuppoſe que le plan coupant E D I eſt perpen-
diculaire au plan du triangle A B C, que l’on appelle le triangle
par l’axe. Cela poſé, prenez ſur le côté B C la partie B O
égale à F M, & du point O, menez à F M la parallele O N,
qui ſera le parametre de la parabole; car nous démontrerons
que le rectangle compris ſous N O, & l’abſciſſe E F, eſt égal
au quarré de l’ordonnée F K; après avoir nommé les lignes
B O ou F M, a; N O, p; E F, x, & F K, y.