36159LIBER PRIMVS.
ſi ambo puncta e & d data ſint extra circulum.
Patet ergo totum propoſitum.
136. Dato circulo & in eo diametro, punctó extra circulum: poßibile eſt à dato pũcto ad dia
metrum ducere lineam, ſecantem circulum ſic, quòd pars ductæ lineæ interiacens circumferen
tiam & diametrum, ſit æqualis parti diametri interiacenti ipſam & centrũ. Alhazen 37 n 5.
metrum ducere lineam, ſecantem circulum ſic, quòd pars ductæ lineæ interiacens circumferen
tiam & diametrum, ſit æqualis parti diametri interiacenti ipſam & centrũ. Alhazen 37 n 5.
Eſto datus circulus, cuius centrum ſit g:
& in eo data diameter ſit x g b:
ſit quoq;
punctus e pun-
ctus extra circulum. Dico, quòd poſsibile eſt duci à puncto e ad diametrum x g b lineam ſecantem
circulum ſecundum prædictum modum. Ducatur enim à puncto e perpendicularis ſuper diame-
trum x g b per 12 p 1, quæ ſit e c: & ſit exempli cauſſa, ut cadat illa perpendicularis ſuper ſemidiame-
trum b g, & ducatur linea e g: & aſſumatur linea q t æqualis lineę e c: & fiat per 33 p 3 ſuper lineam q t
portio circuli talis, ut quilibet angulus cadens in hanc portionem, ſit æqualis angulo e g b: & com-
pleatur circulus: & à medio puncto l, lineę q t, quod ſit ſuper ipſam q t ducatur perpendicularis per
10 & 11 p 1, & ducatur ex utraq; parte uſq; ád circumferentiam circuli: erit ergo ducta perpendicula
ris diameter circuli illius per 1 p 3: & à puncto q ducatur linea ad hanc diametrum, ſecans ipſam in
puncto f: & producatur uſq; ad p punctum circumferentiæ, ita, ut eius pars, quę f p, ſit æqualis me-
dietati lineę g b ſemidiametro dati circuli: quod fiet per 133 huius: & ducantur lineę p t & t f: & duca
tur à puncto p linea p u ęquidiſtans diametro, concurrens cum linea t f in puncto u (concurret au-
tem per 2 huius) & à puncto u ducatur linea æquidiſtans lineę q t, quę ſit u o, ſecans diametrum fl
in puncto m, & lineam p q in puncto o: & à puncto t ducatur perpendicularis ſuper lineam p q per
12 p 1, quę ſit t n: & à puncto t ducatur linea æquidiſtãs lineę p q per 31 p 1, quę ſit t s: & à puncto u du-
catur perpendicularis ſuper lineam p q, quę ſit u h. Dein de ex angulo b g e ſecetur angulus æqualis
angulo q p u per 27 huius, qui ſit b g d, ducta linea g d ad peripheriã circuli: & à puncto e ducatur li
396[Figure 396]p n f o m u q l c397[Figure 397]k b d z e i c g x nea e d z. Dico, quòd
linea d z eſt æqualis
parti diametri, q̃ eſt
z g, ſicut proponitur.
Ducatur enim à pun
cto d perpendicularis
ſuper lineam b g, quę
ſit d i: & ducatur à pũ
cto d linea contingens
circulũ per 17 p 3, quę
ſit d k. Palã itaq; (cũ
ex præmiſsis diame-
ter fi ſit perpendicularis ſuper lineam q t, & ſuper eius æquidiſtantem o u per 29 p 1, linea uerò p u
ſit æquidiſtans illi diametro) quòd angulus o u p erit rectus per eandem 29 p 1. Et cum linea o u di
uidatur per diametrum fl in partes æquales, & orthogonaliter per 29 p 1. 4 p 6 & 22 p 5, eò quòd li-
nea q t ſibi ęquidiſtans ſimiliter eſt diuiſa: erũt per 4 p 1 trianguli o f m & u f m ęquianguli: ergo per
4 p 6 cum latus f m ſit ęquale ſibijpſi, erit o m ęquale m u, & f o ęquale f u. Sed cum duo anguli p o u
& o p u ualeantunum rectum per 32 p 1, ideo quòd angulus p u o eſt rectus, ut patet ex pręmiſsis &
29 p 1, erit angulus f u p ęqualis angulo f p u: ideo, quia, ut pręmiſſum eſt, angulus f o u ęqualis eſt
angulo f u o: ſed angulus f p u cum angulo f o u ualet unum rectum, ut pręoſtenſum eſt: ergo angu-
lus f p u cum angulo f u o ualet unum rectum: eſt ergo angulus f u p æqualis angulo f p u, quia ſi ab
ęqualibus ęqualia demas, quę relin quuntur, & c. Ergo per 6 p 1 latus f p ęquale erit lateri f u: erit er-
go f p ęquale ipſi f o. Sic ergo erit linea p o ęqualis ſemidiametro g b, ergo & ipſi g d per definitionẽ
circuli: & ita erit per 7 p 5 proportio lineę e c, quę eſt ęqualis lineę q t, ad lineam g d, ſicut lineę q t
ad p o ęqualem g d. Sed cum angulus k d g ſit rectus per 18 p 3, ęqualis eſt ipſi angulo recto g i d, &
angulus i g d eſt communis: erit ergo per 32 p 1 triangulus i g d ęquiangulus triangulo k g d: erit er-
go per 4 p 6 proportio lineę g d ad d i, ſicut lineę g k ad k d: ſed angulus k g d eſt ęqualis angulo
q p u, & angulus g d k, qui rectus eſt per 18 p 3, eſt ęqualis angulo recto o u p: erit ergo per 32 p 1 ter-
tius tertio ęqualis, & triãgulus k d g ęquiangulus triangulo o u p: eſt ergo per 4 p 6 proportio lineę
g k ad k d, ſicut lineę o p ad o u. Et quoniã ex pręmiſsis eſt proportio lineę g k ad k d, ſicut lineę g d
ad d i: ergo per 11 p 5 eſt proportio lineę g d ad d i, ſicut lineę o p ad ou: fuit autem ex pręmiſsis pro-
portio lineę e c ad g d, ſicut lineę t q ad p o: ergo per 22 p 5 erit ꝓportio lineę e c ad d i, ſicut lineę q t
ad o u: ſed proportio q t ad o u eſt, ſicut t f ad f u per 29 p 1, & per 4 p 6, cum triangulus t f q ſit æqui-
angulus triangulo o f u. Verùm angulus u t s eſt æqualis angulo h f ù per 29 p 1, eſt enim coalternus
illi inter lineas ęquidiſtantes, quę ſunt h q & s t: ſed & angulus u s t eſt rectus ęqualis angulo f h u
recto, & angulus f u h æqualis eſt angulo s u t per 15 p 1: erit ergo triangulus u s t æquiangulus
triangulo h u f: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ t u ad u f, ſicut lineæ s u ad u h: ergo per 18
p 5 erit cõiunctim proportio lineę t f ad f u, ſicut lineę s h ad h u: ſed linea t n ęqualis eſt lineę s h per
34 p 1: ergo per 7 p 5 erit proportio lineę t n ad lineã h u, ſicut lineę t f ad f u. Sed, ſicut patuit ex prę-
miſsis, quę eſt proportio lineę t f ad f u, eadem eſt lineę q t ad o u per 4 p 6. Ergo per 11 p 5 propor-
tio lineę q t ad o u eſt, ſicut lineę t n ad h u: ergo & proportio lineę e c ad d i eſt, ſicut lineę t n ad u h.
Sed cum angulus g i d ſit rectus, eſt ęqualis angulo p h u recto, & angulus i g d æqualis angulo h p u
ctus extra circulum. Dico, quòd poſsibile eſt duci à puncto e ad diametrum x g b lineam ſecantem
circulum ſecundum prædictum modum. Ducatur enim à puncto e perpendicularis ſuper diame-
trum x g b per 12 p 1, quæ ſit e c: & ſit exempli cauſſa, ut cadat illa perpendicularis ſuper ſemidiame-
trum b g, & ducatur linea e g: & aſſumatur linea q t æqualis lineę e c: & fiat per 33 p 3 ſuper lineam q t
portio circuli talis, ut quilibet angulus cadens in hanc portionem, ſit æqualis angulo e g b: & com-
pleatur circulus: & à medio puncto l, lineę q t, quod ſit ſuper ipſam q t ducatur perpendicularis per
10 & 11 p 1, & ducatur ex utraq; parte uſq; ád circumferentiam circuli: erit ergo ducta perpendicula
ris diameter circuli illius per 1 p 3: & à puncto q ducatur linea ad hanc diametrum, ſecans ipſam in
puncto f: & producatur uſq; ad p punctum circumferentiæ, ita, ut eius pars, quę f p, ſit æqualis me-
dietati lineę g b ſemidiametro dati circuli: quod fiet per 133 huius: & ducantur lineę p t & t f: & duca
tur à puncto p linea p u ęquidiſtans diametro, concurrens cum linea t f in puncto u (concurret au-
tem per 2 huius) & à puncto u ducatur linea æquidiſtans lineę q t, quę ſit u o, ſecans diametrum fl
in puncto m, & lineam p q in puncto o: & à puncto t ducatur perpendicularis ſuper lineam p q per
12 p 1, quę ſit t n: & à puncto t ducatur linea æquidiſtãs lineę p q per 31 p 1, quę ſit t s: & à puncto u du-
catur perpendicularis ſuper lineam p q, quę ſit u h. Dein de ex angulo b g e ſecetur angulus æqualis
angulo q p u per 27 huius, qui ſit b g d, ducta linea g d ad peripheriã circuli: & à puncto e ducatur li
396[Figure 396]p n f o m u q l c397[Figure 397]k b d z e i c g x nea e d z. Dico, quòd
linea d z eſt æqualis
parti diametri, q̃ eſt
z g, ſicut proponitur.
Ducatur enim à pun
cto d perpendicularis
ſuper lineam b g, quę
ſit d i: & ducatur à pũ
cto d linea contingens
circulũ per 17 p 3, quę
ſit d k. Palã itaq; (cũ
ex præmiſsis diame-
ter fi ſit perpendicularis ſuper lineam q t, & ſuper eius æquidiſtantem o u per 29 p 1, linea uerò p u
ſit æquidiſtans illi diametro) quòd angulus o u p erit rectus per eandem 29 p 1. Et cum linea o u di
uidatur per diametrum fl in partes æquales, & orthogonaliter per 29 p 1. 4 p 6 & 22 p 5, eò quòd li-
nea q t ſibi ęquidiſtans ſimiliter eſt diuiſa: erũt per 4 p 1 trianguli o f m & u f m ęquianguli: ergo per
4 p 6 cum latus f m ſit ęquale ſibijpſi, erit o m ęquale m u, & f o ęquale f u. Sed cum duo anguli p o u
& o p u ualeantunum rectum per 32 p 1, ideo quòd angulus p u o eſt rectus, ut patet ex pręmiſsis &
29 p 1, erit angulus f u p ęqualis angulo f p u: ideo, quia, ut pręmiſſum eſt, angulus f o u ęqualis eſt
angulo f u o: ſed angulus f p u cum angulo f o u ualet unum rectum, ut pręoſtenſum eſt: ergo angu-
lus f p u cum angulo f u o ualet unum rectum: eſt ergo angulus f u p æqualis angulo f p u, quia ſi ab
ęqualibus ęqualia demas, quę relin quuntur, & c. Ergo per 6 p 1 latus f p ęquale erit lateri f u: erit er-
go f p ęquale ipſi f o. Sic ergo erit linea p o ęqualis ſemidiametro g b, ergo & ipſi g d per definitionẽ
circuli: & ita erit per 7 p 5 proportio lineę e c, quę eſt ęqualis lineę q t, ad lineam g d, ſicut lineę q t
ad p o ęqualem g d. Sed cum angulus k d g ſit rectus per 18 p 3, ęqualis eſt ipſi angulo recto g i d, &
angulus i g d eſt communis: erit ergo per 32 p 1 triangulus i g d ęquiangulus triangulo k g d: erit er-
go per 4 p 6 proportio lineę g d ad d i, ſicut lineę g k ad k d: ſed angulus k g d eſt ęqualis angulo
q p u, & angulus g d k, qui rectus eſt per 18 p 3, eſt ęqualis angulo recto o u p: erit ergo per 32 p 1 ter-
tius tertio ęqualis, & triãgulus k d g ęquiangulus triangulo o u p: eſt ergo per 4 p 6 proportio lineę
g k ad k d, ſicut lineę o p ad o u. Et quoniã ex pręmiſsis eſt proportio lineę g k ad k d, ſicut lineę g d
ad d i: ergo per 11 p 5 eſt proportio lineę g d ad d i, ſicut lineę o p ad ou: fuit autem ex pręmiſsis pro-
portio lineę e c ad g d, ſicut lineę t q ad p o: ergo per 22 p 5 erit ꝓportio lineę e c ad d i, ſicut lineę q t
ad o u: ſed proportio q t ad o u eſt, ſicut t f ad f u per 29 p 1, & per 4 p 6, cum triangulus t f q ſit æqui-
angulus triangulo o f u. Verùm angulus u t s eſt æqualis angulo h f ù per 29 p 1, eſt enim coalternus
illi inter lineas ęquidiſtantes, quę ſunt h q & s t: ſed & angulus u s t eſt rectus ęqualis angulo f h u
recto, & angulus f u h æqualis eſt angulo s u t per 15 p 1: erit ergo triangulus u s t æquiangulus
triangulo h u f: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ t u ad u f, ſicut lineæ s u ad u h: ergo per 18
p 5 erit cõiunctim proportio lineę t f ad f u, ſicut lineę s h ad h u: ſed linea t n ęqualis eſt lineę s h per
34 p 1: ergo per 7 p 5 erit proportio lineę t n ad lineã h u, ſicut lineę t f ad f u. Sed, ſicut patuit ex prę-
miſsis, quę eſt proportio lineę t f ad f u, eadem eſt lineę q t ad o u per 4 p 6. Ergo per 11 p 5 propor-
tio lineę q t ad o u eſt, ſicut lineę t n ad h u: ergo & proportio lineę e c ad d i eſt, ſicut lineę t n ad u h.
Sed cum angulus g i d ſit rectus, eſt ęqualis angulo p h u recto, & angulus i g d æqualis angulo h p u