Corollaire II.
640.
Il ſuit encore delà, que ſi du point H l’on mene l’or-
donnée H I au ſecond axe C D, le rectangle compris ſous les
11Figure 159. les parties I C, I D eſt au quarré de l’ordonnée correſpondante
I H, comme le quarré du même axe C D eſt au quarré de ſon
conjugué A B.
donnée H I au ſecond axe C D, le rectangle compris ſous les
11Figure 159. les parties I C, I D eſt au quarré de l’ordonnée correſpondante
I H, comme le quarré du même axe C D eſt au quarré de ſon
conjugué A B.
Pour le prouver, conſidérez que F H étant égale à E I, on
aura E I = y, & que F E étant égale à H I, on aura encore
H I = x; ainſi I D ſera b - y, & C I ſera b + y. Cela poſé,
puiſque par la propoſition préſente, on a aa - xx : yy : : aa : bb,
en prenant le produit des extrêmes & des moyens, on aura
a a y y = a a b b - b b x x. Si l’on fait paſſer - bbxx du ſecond
membre dans le premier, & aayy du premier dans le ſecond,
il viendra b b x x = a a b b - a a y y, d’où l’on tire cette pro-
portion b b - y y : x x : : b b : aa, c’eſt-à-dire que I D x D C:
I H2 : : D E2: A E2. Ainſi l’on voit que les propriétés des or-
données au petit axe ſont préciſément les mêmes que celles du
grand axe; d’où l’on peut conclure que les ordonnées H I au
petit axe de l’ellipſe, ſont troiſiemes proportionnelles au demi
petit axe, au demi-grand axe, & à l’ordonnée I N d’un cercle
décrit ſur le petit axe; c’eſt ce qu’il eſt aiſé de voir, ſi l’on fait
attention que dans la proportion I D x D C : I H2 : : A E2 : D E2,
on peut mettre au lieu du rectangle I D x D C le quarré de l’or-
donnée IN, qui lui eſt égal; d’où l’on déduit, en prenant les
racines, & faiſant un invertendo D E : A E : : I N : I H. On
peut donc définir l’ellipſe d’une maniere plus générale, en di-
ſant que c’eſt une courbe, dont toutes les ordonnées ont été
alongées ou raccourcies proportionnellement; alongées, lorſ-
que le cercle eſt décrit ſur le petit axe, & raccourcies, lorſ-
qu’il eſt décrit ſur le grand axe.
aura E I = y, & que F E étant égale à H I, on aura encore
H I = x; ainſi I D ſera b - y, & C I ſera b + y. Cela poſé,
puiſque par la propoſition préſente, on a aa - xx : yy : : aa : bb,
en prenant le produit des extrêmes & des moyens, on aura
a a y y = a a b b - b b x x. Si l’on fait paſſer - bbxx du ſecond
membre dans le premier, & aayy du premier dans le ſecond,
il viendra b b x x = a a b b - a a y y, d’où l’on tire cette pro-
portion b b - y y : x x : : b b : aa, c’eſt-à-dire que I D x D C:
I H2 : : D E2: A E2. Ainſi l’on voit que les propriétés des or-
données au petit axe ſont préciſément les mêmes que celles du
grand axe; d’où l’on peut conclure que les ordonnées H I au
petit axe de l’ellipſe, ſont troiſiemes proportionnelles au demi
petit axe, au demi-grand axe, & à l’ordonnée I N d’un cercle
décrit ſur le petit axe; c’eſt ce qu’il eſt aiſé de voir, ſi l’on fait
attention que dans la proportion I D x D C : I H2 : : A E2 : D E2,
on peut mettre au lieu du rectangle I D x D C le quarré de l’or-
donnée IN, qui lui eſt égal; d’où l’on déduit, en prenant les
racines, & faiſant un invertendo D E : A E : : I N : I H. On
peut donc définir l’ellipſe d’une maniere plus générale, en di-
ſant que c’eſt une courbe, dont toutes les ordonnées ont été
alongées ou raccourcies proportionnellement; alongées, lorſ-
que le cercle eſt décrit ſur le petit axe, & raccourcies, lorſ-
qu’il eſt décrit ſur le grand axe.
Corollaire III.
641.
Si l’on nomme a le premier axe d’une ellipſe, &
b le
ſecond, p le parametre du premier axe, on aura (art. 634)
a : b : : b : p, & (art. 503) a a : b b : : a : p. Mais par la propriété
de l’ellipſe, on a a a - x x : y y : : a a : b b; donc on aura auſſi
aa - xx : y y : : a : p; d’où l’on tire y y = aa - xx x {p/a},
ſecond, p le parametre du premier axe, on aura (art. 634)
a : b : : b : p, & (art. 503) a a : b b : : a : p. Mais par la propriété
de l’ellipſe, on a a a - x x : y y : : a a : b b; donc on aura auſſi
aa - xx : y y : : a : p; d’où l’on tire y y = aa - xx x {p/a},