367305DE MATHÉMATIQUE. Liv. IX.
A K x K B (x z) :
A P x P B (aa - f f) :
: K C2 :
P E2;
&
que
ſi au lieu de aa dans le ſecond terme de cette proportion on
met x x + x z, qui lui eſt égal (art. 648), & au lieu de K C2
& P E2, on met K O2 (z z) & P G2 (f f) qui ſont dans la
même raiſon, à cauſe des triangles ſemblables C O K, E G P,
qui donnent C K : P E : : K O : P G, on aura A K x K B : A P
x P B : : K C2, : P E2, ou x z : xx + xz - f f : : z z : f f, dont le
produit des extrêmes & des moyens donnent cette équation
x x z z + x z3 - f f z z = f f x z; d’où tranſpoſant f f z z du pre-
mier membre dans le ſecond, vient xxzz+xz3=ffzz+ffxz,
& diviſant chaque membre de l’équation par z, il vient x x z
+ z2x = f f z + f f x, & diviſant encore chaque membre par
z + x, il vient x z = f f, ou A K x K B = G P2. C. Q. F. D.
ſi au lieu de aa dans le ſecond terme de cette proportion on
met x x + x z, qui lui eſt égal (art. 648), & au lieu de K C2
& P E2, on met K O2 (z z) & P G2 (f f) qui ſont dans la
même raiſon, à cauſe des triangles ſemblables C O K, E G P,
qui donnent C K : P E : : K O : P G, on aura A K x K B : A P
x P B : : K C2, : P E2, ou x z : xx + xz - f f : : z z : f f, dont le
produit des extrêmes & des moyens donnent cette équation
x x z z + x z3 - f f z z = f f x z; d’où tranſpoſant f f z z du pre-
mier membre dans le ſecond, vient xxzz+xz3=ffzz+ffxz,
& diviſant chaque membre de l’équation par z, il vient x x z
+ z2x = f f z + f f x, & diviſant encore chaque membre par
z + x, il vient x z = f f, ou A K x K B = G P2. C. Q. F. D.
Corollaire.
650.
Comme on a xx + xz = aa (art.
648), il ſuit de cette
propoſition, que ſi l’on met ff à la place de xz qui lui eſt égal,
on aura x x + f f = a a; & faiſant paſſer f f du premier mem-
bre dans le ſecond, on aura G K2 (xx) = A P x P B (aa-ff).
propoſition, que ſi l’on met ff à la place de xz qui lui eſt égal,
on aura x x + f f = a a; & faiſant paſſer f f du premier mem-
bre dans le ſecond, on aura G K2 (xx) = A P x P B (aa-ff).
PROPOSITION III.
Théoreme.
651.
Le rectangle fait des parties C H, H D du diametre C D,
eſt au quarré d’une ordonnée H I, comme le quarré de ce même dia-
metre eſt à celui de ſon conjugué E F.
eſt au quarré d’une ordonnée H I, comme le quarré de ce même dia-
metre eſt à celui de ſon conjugué E F.
Après avoir tiré les lignes I N, H L paralleles à C K, &
la
ligne H M parallele à A B, nous nommerons G K, x; C K, y;
A G, a; K O, z; M H, ou L N, c; G L, g; G C, s.
ligne H M parallele à A B, nous nommerons G K, x; C K, y;
A G, a; K O, z; M H, ou L N, c; G L, g; G C, s.
Demonstration.
Les triangles G K C, G L H ſont évidemment ſemblables,
& donnent G K (x) : K C (y) : : G L (g) : L H {g y/x}; & les trian-
gles C O K, I H M, qui ſont auſſi ſemblables, puiſqu’ils ont les
côtés paralleles chacun à chacun, nous donnent O K (z) : K C (y)
: : H M (c) : I M ({cy/z};) d’où l’on tire IM+HL = IM+MN
ou I N = {g y/x} + {c y/z}, dont le quarré eſt {yygg/xx} + {2cgy2/xz} + {ccyy/zz}. De
plus, conſidérez que L N - L G = G N = c - g, dont
& donnent G K (x) : K C (y) : : G L (g) : L H {g y/x}; & les trian-
gles C O K, I H M, qui ſont auſſi ſemblables, puiſqu’ils ont les
côtés paralleles chacun à chacun, nous donnent O K (z) : K C (y)
: : H M (c) : I M ({cy/z};) d’où l’on tire IM+HL = IM+MN
ou I N = {g y/x} + {c y/z}, dont le quarré eſt {yygg/xx} + {2cgy2/xz} + {ccyy/zz}. De
plus, conſidérez que L N - L G = G N = c - g, dont