371309DE MATHÉMATIQUE. Liv. IX.
Demonstration.
Les choſes étant toujours les mêmes que ci-devant, nous
aurons (art. 649) G P2 = aa-xx, & (art. 650) G A2-G P2
= ou A P x P B = G K2 = xx. Or par la propriété de l’ellipſe,
l’on aura G A2 : G R2 : : A P x P B : P E2, ou analytiquement
a2 : b2 : : xx : {bbxx/aa}=P E2, & d’une autre part G A2 : G R2 : :
A K X K B : C K2, & en lettres a2 : b2 : : aa-xx : {aabb-bbxx/aa}.
Or lestriangles rectangles G P E, G K C donnent E G2=E P2
+ PG2=aa - xx+{bbxx/aa}, ou E G2={a4 - aaxx + bbxx/aa}, &
encore CG2=CK2+GK2={aabb-bbxx/aa}+xx={aabb-bbxx+aaxx/aa}:
donc E G2+C G2={a4-a2x2+b2x2+a2b2-bbxx+a2x2/a2}={a4+a2b2/a2},
& diviſant par a2, aa+bb=E G2+C G2, & en quadruplant
les termes de chaque membre A B2+Q R2=C D2+E F2.
C. Q. F. D.
aurons (art. 649) G P2 = aa-xx, & (art. 650) G A2-G P2
= ou A P x P B = G K2 = xx. Or par la propriété de l’ellipſe,
l’on aura G A2 : G R2 : : A P x P B : P E2, ou analytiquement
a2 : b2 : : xx : {bbxx/aa}=P E2, & d’une autre part G A2 : G R2 : :
A K X K B : C K2, & en lettres a2 : b2 : : aa-xx : {aabb-bbxx/aa}.
Or lestriangles rectangles G P E, G K C donnent E G2=E P2
+ PG2=aa - xx+{bbxx/aa}, ou E G2={a4 - aaxx + bbxx/aa}, &
encore CG2=CK2+GK2={aabb-bbxx/aa}+xx={aabb-bbxx+aaxx/aa}:
donc E G2+C G2={a4-a2x2+b2x2+a2b2-bbxx+a2x2/a2}={a4+a2b2/a2},
& diviſant par a2, aa+bb=E G2+C G2, & en quadruplant
les termes de chaque membre A B2+Q R2=C D2+E F2.
C. Q. F. D.
Corollaire.
657.
Il ſuit de cette propoſition, qu’il ne peut y avoir dans
une ellipſe que deux diametres conjugués qui ſoient égaux:
car puiſque la ſomme des quarrés de deux demi-diametres
conjugués eſt égale à celle des quarrés des deux demi-axes, ſi
l’on prend l’expreſſion générale de l’un de ces diametres pour
le quarré d’un des deux diametres conjugués égaux, par exem-
ple, celle de C G2, on aura cette équation {2aabb-2bbxx+2aaxx/aa}
= aa + bb, & multipliant tout par aa, 2aabb - 2bbxx+
2aaxx=a4+aabb, d’où l’on déduit, en effaçant aabb dans
chaque membre aabb-2bbxx+2aaxx=a4, ou en tranſ-
poſant aabb-a4=2bbxx-2aax, & diviſant tout par
bb-aa, il vient a2=2xx, ou x2={aa/2}, d’où l’on déduit
cette propoſition {1/2} a : x : : x : a, qui fait voir que l’abſciſſe qui
détermine les deux diametres conjugués égaux, eſt moyenne
proportionnelle entre le quart & la moitié du grand axe. Et
comme il n’y a qu’une moyenne proportionnelle entre ces
deux grandeurs, il s’enſuit qu’il n’y a auſſi dans une ellipſe que
deux diametres conjugués égaux entr’eux. C. Q. F. D.
une ellipſe que deux diametres conjugués qui ſoient égaux:
car puiſque la ſomme des quarrés de deux demi-diametres
conjugués eſt égale à celle des quarrés des deux demi-axes, ſi
l’on prend l’expreſſion générale de l’un de ces diametres pour
le quarré d’un des deux diametres conjugués égaux, par exem-
ple, celle de C G2, on aura cette équation {2aabb-2bbxx+2aaxx/aa}
= aa + bb, & multipliant tout par aa, 2aabb - 2bbxx+
2aaxx=a4+aabb, d’où l’on déduit, en effaçant aabb dans
chaque membre aabb-2bbxx+2aaxx=a4, ou en tranſ-
poſant aabb-a4=2bbxx-2aax, & diviſant tout par
bb-aa, il vient a2=2xx, ou x2={aa/2}, d’où l’on déduit
cette propoſition {1/2} a : x : : x : a, qui fait voir que l’abſciſſe qui
détermine les deux diametres conjugués égaux, eſt moyenne
proportionnelle entre le quart & la moitié du grand axe. Et
comme il n’y a qu’une moyenne proportionnelle entre ces
deux grandeurs, il s’enſuit qu’il n’y a auſſi dans une ellipſe que
deux diametres conjugués égaux entr’eux. C. Q. F. D.